八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)專題講解《勾股定理》

PAGEPAGE4八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)專題講解《勾股定理》【培優(yōu)圖解】【技法透析】勾股定理是幾何中重要的定理之一，它是把直角三角形的“形”與三邊關(guān)系這一“數(shù)”結(jié)合起來，是數(shù)形結(jié)合思想方法的典范．1．勾股定理反逆定理的應(yīng)用主要用于計算和證明等．2．勾股數(shù)的推算公式①若任取兩個正整數(shù)m、n(m>n)，那么m2－n2，2mn，m2＋n2是一組勾股數(shù)．②如果k是大于1的奇數(shù)，那么k，，是一組勾股數(shù)．③如果k是大于2的偶數(shù)，那么k，，是一組勾股數(shù)，④如果a，b，c是勾股數(shù)，那么na，nb，nc(n是正整數(shù))也是勾股數(shù)．3．創(chuàng)設(shè)勾股定理運用條件當(dāng)勾股定理不能直接運用時，常需要通過等線段代換、作輔助線段等途徑，為勾股定理的運用創(chuàng)造必要的條件，有時又需要由線段的數(shù)量關(guān)系去判斷線段的位置關(guān)系．在有等邊三角形、正方形的條件下，可將圖形旋轉(zhuǎn)60°或90°，旋轉(zhuǎn)過程中角度、線段的長度保持不變，在新的位置上分散條件相對集中，以便挖掘隱含條件，探求解題思路．【名題精講】考點1運用勾股定理解有關(guān)＂折疊＂問題例1如圖，折疊長方形ABCD一邊，點D落在BC邊的點F處，若AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的長．【切題技巧】由圖形易知△ADF≌△AFE，從而AD＝AF，DE＝EF．先在Rt△ABF中用勾股定理求出BF，再在Rt△EFC中由勾骰定理列方程可求EC的長．【規(guī)范解答】【借題發(fā)揮】圖形折疊問題一般是“全等形”，或“等腰三角形”等對稱圖形問題，勾股定理是常常用到的計算方法，體現(xiàn)了勾股定理作為主要計算工具在解決與直角三角形相關(guān)圖形變換的綜合題中的具體應(yīng)用．【同類拓展】1．把一張長方形紙片(長方形ABCD)按如圖17－2所示的方式折疊，使頂點B和點D重合，折痕為EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，則重疊部分△DEF的面積是_______cm2．考點2運用勾股定理的逆定理求角度例2如圖，在正方形ABCD中，PA＝1，PB＝2，PC＝3，P在正方形內(nèi)部，試求∠APB的度數(shù)． 【切題技巧】 【規(guī)范解答】考點5勾股定理在實際問題中應(yīng)用例5如圖(1)，護(hù)城河在CC'處直角轉(zhuǎn)彎，寬度保持4米，從A處往B處，經(jīng)過兩座橋：DD'、EE'．設(shè)護(hù)城河是東西——南北方向的，A、B在東西向相距64米，南北方向相距84米，恰當(dāng)?shù)丶芎涌墒笰D、D'E'、EB的路程最短，這個最短距離是_______米．【切題技巧】要判斷最短路程，需先確定兩座橋的位置，確定橋的位置后，再根據(jù)護(hù)城河的直角轉(zhuǎn)彎形成的直角三角形利用勾股定理求解．【規(guī)范解答】如圖(2)，作AA'⊥CD，AA'＝DD'，BB'⊥CE，BB'＝EE'，則折線ADD'E'EB的長度等于折線AA，D'E'B'B的長度，即等于折線A'D'E'B'的長度＋AA'＋BB'．而折線A'D'E'B'以線段A'B'最短，故題目所求最短路程S＝A'B'＋8，而A'、B'在東西方向上相距為64－4＝60（米），在南北方向上相距84－8＝80（米）由勾股定理可知，A'B'＝＝100(米)，S＝108（米）【借題發(fā)揮】實際問題中，最短路程問題等常常在構(gòu)造直角三角形后，利用勾股定理計算求解．5．如圖所示的長方體是某種飲料的紙質(zhì)包裝盒，規(guī)格為5×6×10(單位：cm)，在上蓋中開有一孔便于插吸管，吸管長為13cm，小孔到圖中邊AB距離為1cm，到上蓋中與AB相鄰的的兩邊距離相等，設(shè)插入吸管后露在盒外面的長為hcm，則h的最小值大約為_______cm．（精確到個位，參考數(shù)據(jù)：＝1.4，＝1.7，＝2.2）．考點6勾股定理與函數(shù)的綜合問題例6如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線y＝與直線y＝交于點A、B．(1)求AB的長．(2)若點P是第一象限雙曲線上一動點，如圖②所示，BC⊥AP于點C，交x軸于點F，AP交y軸于點E，試判斷的值是否為定值？并加以證明．【切題技巧】(1)因為A、B為雙曲線與直線的交點，所以只需將兩個已知函數(shù)的解析式成方程組，它們的解即交點A、B的坐標(biāo)．(2)從結(jié)論入手，聯(lián)想勾股定理，通過作輔助線將AE、BF、EF這三條線段轉(zhuǎn)移到同一直角三角形中．【規(guī)范解答】【借題發(fā)揮】(1)當(dāng)題目中涉及線段平方時應(yīng)聯(lián)想到勾股定理，若這些線段不在直角三角形中則應(yīng)添加輔助線，將分散的線段集中在同一直角三角形中，本題還可以過點B作BN∥AE交y軸于點N，將三條線段收集在Rt△BNF中，如圖17－11③所示．(2)利用“中點”能構(gòu)成多種輔助線，要根據(jù)題目的需要進(jìn)行構(gòu)造．【同類拓展】6．已知△OMN中，OM＝ON，∠MON＝90°，點B為MN的延長線上一點，OC⊥OB．且OC＝OB，OG⊥BC于G，交MN于點A．(1)如圖①所示，①求證：∠CMB＝90°；②求證：AM2＋BN2＝AB2；(2)如圖②，在條件(1)上，過A作AE⊥OM于E，過B作BF⊥ON于F，EA、BF的延長線交于點P，則PA、AE、BF之間的數(shù)量關(guān)系為_______；△AME、△PAB、△BFN的面積之間的關(guān)系為_______．(3)如圖③，在條件(2)下，分別以O(shè)M