超幾何分布課件 【知識精講精研】 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

7.4.2超幾何分布第七章

隨機變量及其分布

二項分布：一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X~B(n，p).若X~B(n,p)，則有二項分布的均值與方差：二點分布是特殊的二項分布.

E(X)=

,D(X)=

.npnp(1-p)復(fù)習(xí)回顧

每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一個試驗，且各次抽取的結(jié)果不獨立，故X不服從二項分布.則X的分布列是：

每次抽到次品的概率為0.08，且各次抽樣的結(jié)果相互獨立,此時X服從二項分布,即X～B(4，0.08).采用有放回抽樣采用不放回抽樣解：由題意可知，X可能的取值為0,1,2，3，4

則X的分布列是：X01234P

新知探究問題1

已知100件產(chǎn)品中有8件次品，現(xiàn)從中分別采用有放回和不放回的方式隨機抽取4件．設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機變量X的分布列.

概念生成一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為:超幾何分布:其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-(N-M)},

r＝min{n,M}.

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機變量X服從超幾何分布.

記為X~H(N,n,M).N—總體中的個體總數(shù)M—總體中的特殊個體總數(shù)(如次品總數(shù))n—樣本容量k—樣本中的特殊個體數(shù)（如次品數(shù))

概念理解超幾何分布:

其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-(N-M)},

r＝min{n,M}.

當N=10,M=4時,N-M=6,n=3.當N=10,M=4時,N-M=6,n=8.k的第一個值是

m=max{0,3-6}=0,r=3;k的第一個值是

m=max{0,8-6}=2,r=4.追問1怎么去理解m＝max{0,n-(N-M)}的取值？概念理解超幾何分布:

其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-(N-M)},

r＝min{n,M}.

①總體中含有兩類不同的個體；②不放回地抽??；③隨機變量是從總體中抽取的n個個體中某一類個體的數(shù)量.追問2

怎樣判斷一個變量是否服從超幾何分布？B概念辨析解：設(shè)X表示選出的5名學(xué)生中含甲的人數(shù)，則X服從超幾何分布，

且N＝50,M＝1,n＝5.例1

從50名學(xué)生中隨機選出5名學(xué)生代表，求甲被選中的概率.容易發(fā)現(xiàn)，每個人被抽到的概率都是.這個結(jié)論非常直觀，上述解答過程就是這一結(jié)論的推導(dǎo)過程.因此甲被選中的概率為典例解析反思：以前我們是用什么方法解決這個問題的？解：設(shè)X表示抽取10個零件中不合格品數(shù)，則X服從超幾何分布，其分布列為例2

一批零件共有30個，其中有3個不合格.隨機抽取10個零件進行檢測，求至少有1件不合格的概率.∴至少有1件不合格的概率為(直接法)(間接法)典例解析(1)設(shè)隨機變量X，驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)

N，M，n的值；(2)根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率；(3)用表格的形式列出分布列.求超幾何分布的分布列的步驟方法歸納1.一箱24罐的飲料中4罐有獎券，每張獎券獎勵飲料一罐，從中任意抽取2罐，求這2罐中有獎券的概率.鞏固練習(xí)課本80頁

設(shè)抽出的2罐中有獎券的罐數(shù)為X，則X服從超幾何分布，從而抽取2罐中有獎券的概率為解：2.學(xué)校要從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會,已知有4名候選人來自甲班.假設(shè)每名候選人都有相同的機會被選到,求甲班恰有2名同學(xué)被選到的概率.鞏固練習(xí)課本80頁

設(shè)選到的4人中甲班同學(xué)的人數(shù)為X，則X服從超幾何分布，從而甲班恰有2人被選到的概率為解：新知探究：超幾何分布的均值問題2服從超幾何分布的隨機變量的均值是什么?設(shè)隨機變量X

服從超幾何分布，則X

可以解釋為從包含M件次品的N

件產(chǎn)品中，不放回地隨機抽取n

件產(chǎn)品中的次品數(shù).令，則p是N件產(chǎn)品的次品率，而是抽取的n件產(chǎn)品的次品率.我們猜想下面對均值進行證明.證明：令m＝max{0,n-N+M},

r＝min{n,M}.

由隨機變量的定義：當m>0時，當m=0時，類似可以證明結(jié)論依然成立.若隨機變量X服從超幾何分布，則有

新知探究：二項分布的均值我們猜想解：(1)對于有放回摸球，每次摸到黃球的概率為0.4，且各次試驗之間的結(jié)果是獨立的，因此X~B(20,0.4)，X的分布列為例3

一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機地摸出20個球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個數(shù).(1)分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率.對于不放回摸球,各次試驗的結(jié)果不獨立,X服從超幾何分布,X的分布列為n重伯努利試驗隨機變量服從二項分布隨機變量服從超幾何分布典例解析例3

(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率.解：(2)利用統(tǒng)計軟件計算出兩個分布列的概率值(精確到0.00001)，如下表所示.

樣本中黃球的比例f20=是一個隨機變量,根據(jù)表7.4-2算得|f20-0.4|≤0.16≤X≤10有放回摸球:P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7469.不放回摸球:P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7988.典例解析

因此，在相同的誤差限制下，采用不放回摸球估計的結(jié)果更可靠些.解：(2)利用統(tǒng)計軟件計算出兩個分布列的概率值(精確到0.00001)，如下表所示.XP

兩種摸球方式下,隨機變量X分別服從二項分布和超幾何分布.雖然這兩種分布有相等的均值(都是8),但從兩種分布的概率分布圖(圖7.4-4)看,超幾何分布更集中在均值附近.例3

(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率.典例解析

二項分布和超幾何分布都可以描述隨機抽取的n件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律,并且二者的均值相同,對于不放回抽樣,當n遠遠小于N時,每抽取一次后,對N的影響很小,此時,超幾何分布可以用二項分布近似.問題3：二項分布、超幾何分布有什么區(qū)別和聯(lián)系？超幾何分布二項分布試驗類型

抽樣

抽樣試驗種數(shù)有

種物品有

種結(jié)果總體容量

個

個隨機變量取值的概率利用

計算利用

計算聯(lián)系不放回放回兩兩有限無限古典概型獨立重復(fù)試驗(1)對于同一模型，兩個分布的均值相同，但超幾何分布的方差較小，隨機變量的取值更集