N階行列式畢業(yè)論文

目錄TOC\o"1-3"\h\u116131.引言 3184922.n階行列式 321172.1n階行列式的概念 3298692.2n階行列式的性質(zhì) 4202183.n階行列式的計(jì)算方法 11136183.1定義法 11282633.2化為三角形法 12239323.3降階法 13235083.4遞推法 14273833.5利用范德蒙行列式〔Vandermonde〕法 1662013.6加邊法〔升階法〕. 16217303.7歸納法 1851893.8分解行列式法〔拆項(xiàng)法〕 20281493.9別離線性因子法 21290673.10構(gòu)造法 22277163.11鑲邊法 2313693.12利用因式定理法 2544263.13利用拉普拉斯定理法 26202483.14交換元素法 27263103.15利用乘法定理法 27128393.16待定系數(shù)法 28195463.17析因子法 28220663.18公式法 2917943.19規(guī)律缺損補(bǔ)足法 30199653.20特征根法 32263034.n階行列式的應(yīng)用 33236554.1行列式在證明微分中值定理中的應(yīng)用 33238164.1.1拉格朗日〔Lagrange〕中值定理 3330814.1.2柯西中值定理 33110844.2行列式在求逆矩陣中的應(yīng)用 34194224.3行列式在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用 3496064.4行列式在解析幾何中的應(yīng)用 358014.4.1在向量積、混合積中的應(yīng)用 3552594.4.2在面積、體積中的應(yīng)用 35255484.4.3在求解幾何圖形方程中的應(yīng)用 3694674.5行列式在求解線性方程組中的應(yīng)用 36266995.總結(jié) 3637655.謝辭 37316417.參考文獻(xiàn) 38N階行列式的幾種計(jì)算方法及其應(yīng)用1.引言高等代數(shù)是數(shù)學(xué)類專業(yè)的一門重要的根底課,而行列式又是高等代數(shù)課程里根本而又重要的內(nèi)容之一。在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，因此懂得如何計(jì)算行列式顯得尤為重要。本文主要進(jìn)行歸納總結(jié)了20種行列式計(jì)算方法和在數(shù)學(xué)其他方面的5種應(yīng)用，并通過一些典型的例題介紹，計(jì)算行列式的一些技巧。行列式的計(jì)算方法作為處理行列式的重要的方法,在學(xué)習(xí)行列式的計(jì)算方法之后,我們不僅僅只會計(jì)算行列式,還要學(xué)會更深層的問題,要學(xué)會觀察,聯(lián)想,猜測.學(xué)會用行列式的計(jì)算方法去解決在高等代數(shù)中遇到的問題。下面主要介紹了N行列式的概念,行列式的計(jì)算方法,以及行列式在高等代數(shù)中的幾個(gè)應(yīng)用.2.n階行列式2.1n階行列式的概念n階行列式的定義:n階行列式等于所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和，這里是1,2····n的一個(gè)排列。每一項(xiàng)中把行下標(biāo)按自然順序排列后，其符號由列下標(biāo)排列的奇偶性決定。當(dāng)是偶排列時(shí)取正號，當(dāng)是奇排列時(shí)取負(fù)號，即=2.2n階行列式的性質(zhì) 性質(zhì)1(對稱性)行列互換，行列式不變，即=證明：元素位于上式右端的第j行第i列，將上式右端按列的順序展開得右端==左端將行列式的行、列互換，得到一個(gè)行列式這個(gè)行列式稱為D轉(zhuǎn)置，記作或.因此，性質(zhì)1說明:行列式的轉(zhuǎn)置與原行列式相等.從性質(zhì)1可知：行列式中有關(guān)行的性質(zhì)對于列也同樣成立，反之亦然.性質(zhì)2〔提公因式性〕=k這就是說，行列式中某一行的公因子可以提出來，或者說，用一個(gè)數(shù)來乘行列式的某一行〔即用此數(shù)乘這一行的每一個(gè)元素〕就等于這個(gè)數(shù)乘此行列式。證明：上式左端===右端.關(guān)于列也有類似的性質(zhì)，即=k.這可以由性質(zhì)1及性質(zhì)2給以證明：==k=k性質(zhì)3〔可加性〕=+這就是說，如果行列式中某一行〔如第p行〕是兩組數(shù)的和，那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式分別以這兩組數(shù)為這一行〔第p行〕的元素，而除去這一行以外，這兩個(gè)行列式的其他各行與原來行列式的對應(yīng)各行都相同的。證明：左端==+=右端這一性質(zhì)顯然可以推廣到某一行為多個(gè)數(shù)的和的情形.性質(zhì)4〔交錯(cuò)性〕互換行列式中兩行的位置，行列式反號，即=-證明：由定義，左端=現(xiàn)在在右端的行列式中仍然是不同行不同列的.所以它們的乘積也是右端行列式的一個(gè)項(xiàng).但是在右端位于第q行第列；在右端位于第p行第列.所以這個(gè)項(xiàng)的因子在這種順序下它們的行標(biāo)與列標(biāo)所成的排列分別是及排列是從自然順序中將p,q對換而得的，所以這是一個(gè)奇排列.所以這一項(xiàng)作為右端行列式的展開式中的一項(xiàng)，前面的符號應(yīng)是=從而右端=左端.性質(zhì)5〔比例性〕如果行列式中有兩行成比例，那么行列式等于零，即證明：首先證明一個(gè)特殊情形，即k=1的情形：此時(shí)，根據(jù)性質(zhì)4，把第p,q兩行對換，得=-所以2=0即原行列式=0根據(jù)這個(gè)特殊情形，由性質(zhì)2即可得到性質(zhì)5，即===0性質(zhì)6〔初等變換性〕行列式的某一行加上另一行的k倍，行列式不變，即=證明：右端==+0=左端注：上述性質(zhì)對于行列式的列也成立。3.n階行列式的計(jì)算方法3.1定義法利用n階行列式的定義計(jì)算其值.例1計(jì)算n階行列式解:據(jù)行列式的定義,行列式展開后每項(xiàng)都是n個(gè)元素相乘,且這n個(gè)元素是中位于不同行與不同列的,故中只有一個(gè)非零項(xiàng)12…(n-1)n=n!這一項(xiàng)行標(biāo)為自然數(shù)順序排列,對應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列為23…n1,其逆序數(shù)為n-1,故=3.2化為三角形法運(yùn)用行列式的性質(zhì)把行列式變換成位于主對角線一側(cè)的所有元素全等于零,這樣得的行列式等于主對角線上元素的乘積,對于次對角線的情形,行列式的值等于與次對角線上所有元素的乘積?！?〕上〔或下〕三角形行列式〔2〕非主對角的三角形行例2.計(jì)算n階行列式解:這個(gè)行列式的特點(diǎn)是每一行有一個(gè)元素a,其余n-1個(gè)元素是b,根據(jù)行列式的性質(zhì),把第二列加到第一列,行列式不變,再把第三列加到第一列,行列式不變,…,直到第n列也加到第一列,即得=[a+(n-1)b]第二行到第n行都分別加上第一行的(-1)倍,就有3.3降階法運(yùn)用行列式按行(列)展開的相關(guān)定理使高階行列式轉(zhuǎn)化為低階行列式來計(jì)算其值.例3.計(jì)算n階行列式解:據(jù)行列式按行展開定理,將按第一行展開,那么將后面的行列式按第一列展開,那么3.4遞推法利用已給的行列式的特點(diǎn),建立起n階行列式與n一1階行列式(或更低階)行列式之間遞推關(guān)系式,利用這個(gè)關(guān)系式求行列式的值.降階遞推法,常見的有兩類.型；這是根據(jù)地推關(guān)系有：型這時(shí)我們可以設(shè)是方程的根，那么，于是有：〔1〕〔2〕假設(shè)，那么由〔1〕和〔2〕得注意又由(1)和(2)遞推可得假設(shè)，那么〔1〕和〔2〕變?yōu)榧从谑且来巫飨氯タ傻茫豪?.計(jì)算n階行列式解:將按第一行展開后再將第二個(gè)行列式按第一列展開得即此式對一切n都成立,故遞推得〔1〕在上式中的地位等同,故同理可得〔2〕-〔1〕得故3.5利用范德蒙行列式〔Vandermonde〕法利用范德蒙行列式的結(jié)果計(jì)算n階行列式.范德蒙行列式D==例5計(jì)算以下行列式解：從第i行可以提取公因式i(i=1,2,3,n)有3.6加邊法〔升階法〕.在運(yùn)算中可以通過增加一行一列,使行列式在原來的根底上增加一行一列〔增加的一行一列元素一般是由0和1構(gòu)成〕,同時(shí)保證行列式的值不變,從而使行列式的計(jì)算變得容易把n階行列式轉(zhuǎn)化為n+1階行列式，只要巧妙地選取結(jié)合行列式的性質(zhì)例6計(jì)算解：3.7歸納法利用數(shù)學(xué)歸納法來計(jì)算(證明)某些n階行列式.例7利用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：當(dāng)時(shí)有：命題成立。假設(shè)時(shí)，命題成立，要證時(shí)，等式成立。b按最后一行展開得：將按最后一列展可得=將前列加到最后一列得按最后一列展開得：=所以因?yàn)?，所以故此題得證.注：此題可按行列式定義展開，也可按行或者列展開，還可將第行乘以都加到第1行，再按第1行展開。同樣可證得此式3.8分解行列式法〔拆項(xiàng)法〕分解行列法的原理:如果行列式某行(列)是兩行(列)之和,將行列式分解為兩個(gè)行列式的和,然后再利用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。例8計(jì)算n級行列式解：〔1〕當(dāng)y=z時(shí)，容易計(jì)算的〔2〕當(dāng)時(shí)，將n列寫成兩項(xiàng)和那么可以拆成兩個(gè)行列式之和，即，其中因此有，根據(jù)y,z的對稱性，類似可得：作差可得即3.9別離線性因子法別離線性因子法是把行列式看成含其中一個(gè)或多個(gè)字母的多項(xiàng)式,變換它,如果發(fā)現(xiàn)它可被一些線性因子所整除且這些線性因子互質(zhì),那么它可被這些因子的積整除。例9計(jì)算二階Vandemronde行列式解：將看作的多項(xiàng)式,因?yàn)闀r(shí)故可被除盡,從而可被除盡,于是按最后一行展開,可知是關(guān)于的n-1次多項(xiàng)式且,的系數(shù)等于的vnadermonde行列式,故由上面的等式可知多項(xiàng)式中不含且因此由此遞推式即可得到3.10構(gòu)造法構(gòu)造法是根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造一個(gè)新行列式,然后再利用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.例10計(jì)算解:根據(jù)行列式的特點(diǎn),把原行列式加一行一列構(gòu)造成范德蒙行列式,即這是一個(gè)關(guān)于y的n階多項(xiàng)式，由于是中的系數(shù)的相反數(shù),由上式右端可知的系數(shù)為.故原行列式的值就是3.11鑲邊法利用行列式按行(列)展開的性質(zhì),把n階行列式通過加行(列)變成與之相等的n+1階行列式,利用行列式的性質(zhì)把添加進(jìn)去的行(列)的適當(dāng)?shù)谋稊?shù)加到其它行(列),使其它行(列)出現(xiàn)更多為零的元素后再進(jìn)行計(jì)算.添加的行與列一般有四種方式,分別是添加在:(1)首行首列、(2)首行末列、(3)末行首列、(4)末行末列.當(dāng)然有時(shí)也添加在行列式的一般行與列的位置.(1)添加首行首列或末行末列.注意：能夠利用鑲邊法的題目往往具有如下兩種特征之一:(1)各行(列)有很多相同的元素,但是直接利用行列式的性質(zhì)把一行(列)的適當(dāng)?shù)谋稊?shù)加到其它行(列)的時(shí)候不容易變成三角形行列式,或者說出現(xiàn)的零的個(gè)數(shù)還不夠多;(2)添加一行(列)后能夠跟范德蒙行列式聯(lián)系起來例11計(jì)算行列式解：3.12利用因式定理法利用行列式的性質(zhì)找出行列式的所有因式,從而得到行列式的值.我們利用行列式的定義的展開式觀察出行列式的展開式(多項(xiàng)式)的次數(shù)特征,如果該次數(shù)與我們找到的所有因式的乘積的次數(shù)相同,就利用展開式的首項(xiàng)系數(shù)對因式的乘積的系數(shù)進(jìn)行調(diào)整,之后得到的就是行列式的值了.例12計(jì)算解：展開式可以看成關(guān)于x的多項(xiàng)式，顯然有,這是因?yàn)榉謩e令時(shí),行列式恰好有兩行相同,行列式的值為零.因此行列式的展開式中有因子所以,又行列式首項(xiàng)系數(shù)為1,故注意：能夠利用因式分解定理進(jìn)行計(jì)算的行列式的特征是:這類行列式一般是含有文字變量的行列式,當(dāng)某個(gè)變量取某個(gè)特定值的時(shí)候行列式的值為零,那么該行列式必含有某個(gè)特定因子.類似的題目如:、、等等3.13利用拉普拉斯定理法拉普拉斯定理是行列式按一行或一列展開定理的推廣．在應(yīng)用拉普拉斯定理時(shí)，為了計(jì)算上的方便，一般先利用行列式的性質(zhì)對原行列式進(jìn)行變形，再按含零多的k行或k列展開．例13計(jì)算2n階行列式解:3.14交換元素法令不難證明是的代數(shù)余子式3.15利用乘法定理法在計(jì)算行列式時(shí)，有時(shí)可以用乘法定理，將給定的行列式表為兩個(gè)容易計(jì)算的或的行列式的乘積，從而求出給定行列式的值；有時(shí)不直接計(jì)算給定的行列式，而是選一個(gè)適當(dāng)?shù)呐c給定行列式同階的行列式，計(jì)算兩行列式的乘積，由此求出給定行列式的值，這樣也可使問題簡單例15算n階行列式解:所以，當(dāng)n>2時(shí)，；當(dāng)n=2時(shí)，；當(dāng)n=1時(shí)，3.16待定系數(shù)法此方法是數(shù)學(xué)中的重要方法，它是對數(shù)學(xué)問題，根據(jù)求解問題的固有特征，可轉(zhuǎn)化為一個(gè)含有待定系數(shù)的恒等式，然后利用恒等式性質(zhì)求出未知系數(shù)，從而獲得問題解決的方法，用待定系數(shù)法求行列式的思想是：假設(shè)行列式中含有未定元x，那么行列式一定是關(guān)于x的一個(gè)多項(xiàng)式，且當(dāng)取某些值，如x=a能夠使行列式的值為零，根據(jù)多項(xiàng)式整除理論,那么行列式一定可以被x-a這個(gè)線性因子整除，即行列式的表達(dá)式里應(yīng)該含有該因子，如果可以找出行列式的所有因子，求出待定常數(shù)即可得到行列式的值"例16計(jì)算解：顯然是一個(gè)關(guān)于x的n-1次的多項(xiàng)式，不妨記為;且當(dāng)時(shí)，根據(jù)行列式的性質(zhì)，都有：即都是的因子且互質(zhì)，所以它們的乘積也是的因子，通過比擬的系數(shù)，知3.17析因子法析因子法思想是:假設(shè)行列式中含有未定元x,那么行列式一定是關(guān)于x的一個(gè)多項(xiàng)式,且當(dāng)x取某些值,如x=a能夠使行列式的值為零,根據(jù)多項(xiàng)式整除理論,那么行列式一定可以被x-a這個(gè)線性因子整除,也即行列式的表達(dá)里應(yīng)該有這個(gè)因子，如果可以找出行列式的所有因子,求出待定常數(shù)即可得到行列式的值。例17計(jì)算解:令f(x)=D顯然它是一個(gè)關(guān)于x的n-1次的多項(xiàng)式,易見對i=1,2,,n-1,f(i)=0,即(x-1),(x-n+1)是f(x)的因子,且互質(zhì),所以他們的乘積還是f(x)的因子,通過比擬的系數(shù)知3.18公式法根據(jù)分塊矩陣的知識，不難證明如下結(jié)論：設(shè)A為n階可逆矩陣,為n維列向量，那么有設(shè)A為n階可逆矩陣,為n維列向量，那么有設(shè)A，B，C，D都是n階方陣，且A可逆，那么有有些行列式可應(yīng)用上述結(jié)論計(jì)算，用上述結(jié)論計(jì)算行列式的方法，我們稱為公式法例17計(jì)算n階行列式解令A(yù)=那么由結(jié)論〔2〕，得3.19規(guī)律缺損補(bǔ)足法此法多用于除去某些行列或?qū)蔷€的元素后行列式的各元素具有規(guī)律性，此時(shí)就須補(bǔ)足規(guī)律，而后再減去某些元素。例19計(jì)算解：〔1〕假設(shè)時(shí)==(*)這里,,所以(*)式=……〔〕〔2〕假設(shè)存在，那么這時(shí)〔〕同樣適用，因而〔〕為計(jì)算公式.3.20特征根法此法用于行列式所對應(yīng)矩陣的特征根或易求的情況下，利用，其中為的特征根.例20的特征根之模長均小于1，求證.證明:首先沒有零特征根，否那么存在可逆陣，使得所以，==所以，1為的特征根矛盾.設(shè)，所以，所以，<即1>-1即<2,所以，<即0<<.4.n階行列式的應(yīng)用4.1行列式在證明微分中值定理中的應(yīng)用4.1.1拉格朗日〔Lagrange〕中值定理假設(shè)函數(shù)f滿足條件〔1〕f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；〔2〕f再開區(qū)間〔a,b〕上可導(dǎo)，那么在〔a,b〕上至少存在一點(diǎn)，使得證明：我們可以構(gòu)造行列式輔助型函數(shù)來證明定理設(shè)因f(a)在[a,b]上連續(xù)，在〔a,b〕內(nèi)可導(dǎo)，所以在[a,b]上連續(xù)，在〔a,b〕內(nèi)可導(dǎo)，且==0故由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)使得所以4.1.2柯西中值定理假設(shè)函數(shù)和滿足條件在[a,b]上都連續(xù)；在〔a,b〕上都可導(dǎo)；和不同時(shí)為0；.那么存在，使得證明：設(shè)由于是,的多項(xiàng)式函數(shù)，從而在在[a,b]上都連續(xù)，在〔a,b〕上可導(dǎo)，利用行列式性質(zhì)易見故由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)，使得，由此可得4.2行列式在求逆矩陣中的應(yīng)用設(shè)那么A是非奇異矩陣充分且必要條件是，且當(dāng)時(shí)，A的逆矩陣其中是A的伴隨矩陣。4.3行列式在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用例1證明一個(gè)n次多項(xiàng)式至多有n個(gè)互異根。證明：設(shè)有n+1個(gè)互異的零點(diǎn)，那么有即這個(gè)關(guān)于的齊次線性方程組的系數(shù)行列式因此，這個(gè)矛盾說明至多有n個(gè)互異的根4.4行列式在解析幾何中的應(yīng)用在向量積、混合積中的應(yīng)用設(shè)｛O;i,j,k｝為右手直角坐標(biāo)系，，因?yàn)椋?，，，所以在面積、體積中的應(yīng)用以，為鄰邊的平行四邊行的面積為以，，以相鄰棱的平行六面體的體積為在求解幾何圖形方程中的應(yīng)用過不同兩點(diǎn)，的平面直線L的方程為過不共線的三點(diǎn)，，的平面的方程為4.5行列式在求解線性方程組中的應(yīng)用假設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣的行列式，那么〔1〕有唯一解這里的矩陣是用〔1〕的常數(shù)項(xiàng)所成的列向量替換A第i所得到的n階矩陣.5.總結(jié)本文主要論述了行列式的定義、性質(zhì)、計(jì)算方法及其應(yīng)用。在其計(jì)算方法上主要介紹定義法、化為三角形方法、降階法、遞推法、范德蒙行列式法、加邊法、歸納法、分解行列式法、別離線性因子法、構(gòu)造法、鑲邊法、因式定理法、拉普拉斯定理法、交換元素法、乘法定理法、待定系數(shù)法、析因子法、公式法、規(guī)律缺損補(bǔ)足法、特征根法等。在其應(yīng)用上主要介紹行列式在證明微分中值定理中的應(yīng)用、求逆矩陣中的應(yīng)用、多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用、解析幾何中的應(yīng)用及其在求解線性方程組中的應(yīng)用等。在本文中依次對每個(gè)計(jì)算方法以具體例子相應(yīng)求解過程，對于每個(gè)應(yīng)