水動(dòng)力學(xué)基本微分方程

第二章

水動(dòng)力學(xué)基本微分方程當(dāng)前第1頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202312-1

地下水動(dòng)力學(xué)基本微分方程當(dāng)前第2頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/20232一、含水層的彈性理論1.含水層的彈性釋水（以承壓水為例）

從承壓含水層中抽出的水，由兩部分組成含水層所貯存水的彈性釋放側(cè)向補(bǔ)給（來(lái)自遠(yuǎn)方）現(xiàn)取一處于平衡狀態(tài)的承壓含水層柱體。設(shè)含水層上覆巖層對(duì)含水層中的固體顆粒和地下水產(chǎn)生的應(yīng)力為σ，骨架上的反壓強(qiáng)為，水的頂托力為P。當(dāng)水處于平衡狀態(tài)時(shí)，當(dāng)從含水層中抽水、水頭下降△h時(shí)，圖當(dāng)前第3頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/20233（1）H下降△h，水體積膨脹，從而釋放出一定體積的水；（2）σ保持不變，骨架所受壓力增加，因?yàn)楣腆w顆粒接近于剛性體不可壓縮，所以壓力增加引起含水層壓縮，使含水層空隙中的部分地下水被擠出。這兩點(diǎn)就是彈性釋水的機(jī)理。

當(dāng)前第4頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/20234上述分析表明：H降低，承壓含水層釋放部分地下水；H增大，承壓含水層貯存部分地下水，這部分水量稱為彈性貯存量。

彈性貯水量的大小與含水層的巖性和結(jié)構(gòu)有關(guān)，為了表征含水層彈性釋水（儲(chǔ)水）的能力，下面將給出彈性貯水率和貯水系數(shù)的概念。當(dāng)前第5頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202352.含水層的貯水率和貯水系數(shù)１.貯水率（Specificstorativity）用表示當(dāng)含水層中的水頭降低（或升高）一個(gè)單位時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)在單位體積含水層中，由于水的彈性膨脹（或壓縮）及含水層的彈性壓縮（或膨脹）釋放（或貯存）的水量，稱為貯水率,也稱單位貯存量，量綱為［L-1］。當(dāng)前第6頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/20236

２.貯水系數(shù)（storage

coefficient）

m為含水層厚度，用于二維流計(jì)算。無(wú)量綱，大部分含水層介于10-5～10-3之間物理意義：在單位面積、厚度為m的含水層柱體中，當(dāng)水頭降低（或升高）一個(gè)單位時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)從含水層中釋放（或貯存）的水量。當(dāng)前第7頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/20237

3.給水度

對(duì)潛水含水層而言，當(dāng)水頭下降時(shí)，引起兩部分排水：①含水層下部飽水部分的彈性釋水，其釋水能力用表示；②上部潛水面下降部分引起的重力疏干排水，這部分給水能力用給水度

（Specificyield）表示；給水度的物理意義：當(dāng)含水層中水頭下降一個(gè)單位時(shí)，在單位體積含水層中，由重力疏干所排出的水量。當(dāng)前第8頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202384.貯水率與給水度的區(qū)別①?gòu)椥葬屗蓽p壓引起，為壓力變化所給出的水量，為重力疏干排出的水量；②貯水率與整個(gè)含水層厚度上的巖性、液體性質(zhì)有關(guān)，給水度僅與水位波動(dòng)帶的巖性、液體性質(zhì)有關(guān)；③彈性釋放瞬時(shí)完成；重力疏干具明顯的滯后效應(yīng)；④數(shù)量級(jí)：約10-5～10-3；約0.1～0.3；∵＞＞∴在潛水含水層中，通常只考慮重力疏干，忽略彈性釋水。當(dāng)前第9頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/20239二、承壓含水層中滲流基本微分方程（一）方程的建立設(shè)：①地下水、含水層均為彈性體；②彈性釋水瞬時(shí)完成；③為常數(shù)（constant）；在滲流場(chǎng)中取一無(wú)限小的平行六面體，作為均衡單元，如圖示，六面體邊長(zhǎng)分別為dx、dy、dz，下面分析dt時(shí)段內(nèi)，均衡單元中的質(zhì)量守恒問(wèn)題。

均衡區(qū)均衡期當(dāng)前第10頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202310

依據(jù)質(zhì)量守恒和能量守恒定律，建立承壓含水層中滲流基本微分方程。

Ｑx為單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)abcd斷面流入的水量。在dt內(nèi)，沿x方向通過(guò)abcd斷面流入均衡單元的水量,通過(guò)a＇b＇c＇d＇斷面從均衡單元流出的水量為當(dāng)前第11頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202311dt時(shí)段內(nèi)分別沿oy、oz進(jìn)入單元的水量為而流出的水量為

在dt內(nèi)，均衡單元貯存量的變化量為:

據(jù)水均衡原理得：

當(dāng)前第12頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202312化簡(jiǎn)為：根據(jù)達(dá)西定律：當(dāng)前第13頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202313

上式就是非均質(zhì)各向異性承壓含水層中地下水三維非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的基本微分方程。對(duì)各向異性介質(zhì)，取坐標(biāo)軸方向與主滲透方向一致。（二）方程的化簡(jiǎn)和討論

１.對(duì)于均質(zhì)各向同性含水層，Ｋ為常數(shù)，這時(shí)簡(jiǎn)化為：當(dāng)前第14頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202314２.對(duì)于二維的情況，常用和T表示(各項(xiàng)均乘以m）

３.當(dāng)含水層有垂直水量交換時(shí)，其量常用Ｗ表示，稱為源（匯）項(xiàng)，含水層的源（匯）項(xiàng)可是t和位置的函數(shù)W=W(x,y,z,t)。

當(dāng)從含水層中抽水或從垂直方向有水流出含水層時(shí)，Ｗ為負(fù)，稱為匯；當(dāng)給含水層中注水或從垂直方向有水流入含水層時(shí)，Ｗ為正，稱為源；當(dāng)前第15頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202315

二維：W為單位時(shí)間從單位體積含水層中流入或流出的水量

三維：W為單位時(shí)間從垂直方向單位面積含水層中流入或流出的水量(補(bǔ)給強(qiáng)度或蒸發(fā)強(qiáng)度)

當(dāng)前第16頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202316當(dāng)前第17頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202317

可得到三維、二維相應(yīng)的穩(wěn)定狀態(tài)下的滲流基本微分方程。對(duì)于均質(zhì)各向同性的三維流來(lái)說(shuō)：

5.若化為柱坐標(biāo)（三維各向同性介質(zhì)）當(dāng)前第18頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202318三、越流含水層中滲流基本微分方程（一）什么是越流？

1.半承壓含水層：一個(gè)主含水層的上層和（或）下層為弱透水層，主含水層通過(guò)弱透水層與相鄰含水層發(fā)生水力聯(lián)系，但它本身具有承壓性，主含水層稱為半承壓含水層。2.越流：當(dāng)半承壓含水層與相鄰含水層間存在水頭差時(shí)，地下水便通過(guò)弱透水層從高水頭含水層向低水頭含水層產(chǎn)生垂向流動(dòng)，這種現(xiàn)象稱為越流。簡(jiǎn)言之，相鄰含水層在水頭差的作用下，通過(guò)弱透水層與主含水層發(fā)生水力聯(lián)系的現(xiàn)象稱為越流。

越流的方向：由兩相鄰含水層的水位決定。當(dāng)前第19頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202319當(dāng)前第20頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202320（二）越流含水層中滲流基本微分方程

1.假定a.忽略弱透水層的彈性釋水；b.水流在弱透水層中是垂向運(yùn)動(dòng)，而在主含水層中折射為水平運(yùn)動(dòng)；

2.方程的建立

在主含水層中取一微分柱體（其長(zhǎng)寬分別為dx、dy，高為含水層厚度m）作為均衡單元。下面分析在dt時(shí)段內(nèi)，微分柱體的水均衡問(wèn)題。當(dāng)前第21頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202321P(x，y）當(dāng)前第22頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202322沿x方向流入單元體的水量：

流出：

沿y方向流入單元體的水量：

流出：

沿z方向流入單元體的水量：

流出：

當(dāng)前第23頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202323流入量－流出量＝：?jiǎn)卧w內(nèi)貯存量的變化為：根據(jù)水均衡原理得：當(dāng)前第24頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202324代入上式得：這就是不考慮弱透水層彈性釋水條件下，非均質(zhì)各向異性越流含水層系統(tǒng)地下水非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的基本微分方程。當(dāng)前第25頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202325（三）越流因素和越流系數(shù)１.越流因素（Leakagefactor）

上式中，若介質(zhì)為均質(zhì)各向同性介質(zhì)，T＝Constant式中：Ｔ為主含水層的導(dǎo)水系數(shù)Ｋi，mi分別為弱透水層的滲透系數(shù)和厚度當(dāng)前第26頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202326Ｂ1、Ｂ2分別稱為上、下兩弱透水層的越流因素

越流因素Ｂ是反映弱透水層隔水性能的參數(shù)。Ｂ越大，越流量Ｑ越小，對(duì)于隔水層Ｂ無(wú)窮大，越流量為零。

當(dāng)前第27頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202327２.越流系數(shù)（Coefficientofleakage）

因?yàn)槲锢硪饬x：當(dāng)主含水層和相鄰含水層間的水頭差等于一個(gè)長(zhǎng)度單位時(shí)，通過(guò)單位面積含水層上的越流量。越流系數(shù)反映越流量的大小，越大，相同水頭下的越流量也越大。

當(dāng)前第28頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202328四、潛水含水層中滲流基本微分方程（一）Dupuit假定

潛水面通常不是水平面，潛水含水層中存在著流速的垂直分量，潛水面本身又是滲流區(qū)邊界，隨時(shí)間而變化。為了建立潛水含水層中滲流基本微分方程，引出了Dupuit假定：假設(shè)潛水面比較平緩，潛水面上任意一點(diǎn)P有：當(dāng)前第29頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202329

相當(dāng)于忽略了滲透速度的垂直分量，代替，在鉛垂面上各點(diǎn)的水頭都是相等的；或者說(shuō)，水頭不隨深度而變化，同一鉛直面上各點(diǎn)的水力坡度和滲透速度都相等，滲透速度可表示為：

在此條件下，通過(guò)寬度為B的鉛直平面沿x方向的流量Ｑx為：

h-含水層厚度，當(dāng)隔水底板水平時(shí)，h=H當(dāng)前第30頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202330（二）潛水含水層中滲流基本微分方程1.方程的建立

在Dupuit假定下，考慮一維問(wèn)題，取平行于xoz平面的單位寬度進(jìn)行研究。

首先取一微分柱體（其長(zhǎng)度為?x，寬為１，高為整個(gè)含水層厚度）作為均衡單元，下面分析在dt時(shí)段內(nèi)，微分柱體的水均衡問(wèn)題。當(dāng)前第31頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202331從上游斷面流入：從下游斷面流出：

在?t時(shí)間內(nèi)，垂直方向的補(bǔ)給量為：

由于潛水面的上升而引起的均衡區(qū)內(nèi)的水的增量為：

當(dāng)前第32頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202332根據(jù)連續(xù)性原理，上面兩個(gè)增量應(yīng)相等，即代入上式得到

上式為非均質(zhì)各向異性潛水含水層中一維地下水非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的基本微分方程，也稱為Ｊ.Boussinesq方程。當(dāng)前第33頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202333對(duì)于均質(zhì)含水層，Ｋ＝Constant

式中：：水位下降時(shí)稱為給水度，水位上升時(shí)稱為飽和差；W：降雨入滲強(qiáng)度（+）或蒸發(fā)強(qiáng)度（—）；h：含水層厚度；H：含水層的水位（平均值）；K：含水層滲透系數(shù)；注意：

a.Ｈ為整個(gè)含水層厚度上的平均值；b.Ｈ、h均為未知，所以該方程為二階非線性偏微分方程；c.該方程不適于水力梯度較大地段；不能計(jì)算任一點(diǎn)的Ｈ。當(dāng)前第34頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202334

2.方程討論

a.二維情況：b.均質(zhì)含水層，Ｋ＝Constantc.當(dāng)隔水層底板水平時(shí)，H＝h；當(dāng)前第35頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二\9點(diǎn)6/14/202335d.若需計(jì)算滲流區(qū)內(nèi)任一點(diǎn)水位，如土壩滲流等，則需采用下式計(jì)算：

其中潛水面要用邊界條件考慮，不包括在方程之內(nèi)。e.無(wú)蒸發(fā)、無(wú)入滲時(shí)，潛水位H變化很小，則

為穩(wěn)定流。當(dāng)前第36頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期二