2024屆一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新材人教A版 第六章 數(shù)列 6-5　數(shù)列求和（一） 學(xué)案

§6.5數(shù)列求和(一)考試要求1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.掌握分組求和、并項(xiàng)求和、與奇偶項(xiàng)有關(guān)的求和等幾種常見的求和方法．知識(shí)梳理數(shù)列求和的幾種常用方法(1)公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和．①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝________________＝________________.②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,.))(2)分組求和法若一個(gè)數(shù)列是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．(3)并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．常用結(jié)論常用求和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.(3)12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(nn＋12n＋1,6).(4)13＋23＋33＋…＋n3＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(a1－an＋1,1－q).()(2)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n)＋2n＋3))的前n項(xiàng)和可用分組轉(zhuǎn)化法求和．()(3)1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1).()(4)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.()教材改編題1．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(－1)n(2n－1)，則該數(shù)列的前100項(xiàng)之和為()A．－200 B．－100C．200 D．1002．已知函數(shù)f(n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，,－n2當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，))且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100等于()A．0 B．100C．－100 D．102003．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________.題型一分組求和例1從①(3n－1)an＋1＝(3n＋2)an，②a2＝5,2an＋1＝an＋an＋2這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中并作答．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，________.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{an＋bn}的前n項(xiàng)和Tn.注：若選兩個(gè)條件分別作答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．(2)若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an，n為奇數(shù)，,bn，n為偶數(shù)，))其中數(shù)列{an}，{bn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求{cn}的前n項(xiàng)和．跟蹤訓(xùn)練1(2023·太原模擬)已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列{an}中，a6＝11，且a1，a2，a5成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝＋an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二并項(xiàng)求和例2記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn＝2an－2n＋1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)記bn＝(－1)n·log2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)an＋4－\f(4,3)))，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求T100.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華并項(xiàng)求和法的常見題型(1)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－1)nf(n)，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．(2)數(shù)列{an}是周期數(shù)列或ak＋ak＋1(k∈N*)為定值，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．跟蹤訓(xùn)練2(2022·安慶模擬)已知等差數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝4n.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝ancosnπ，記{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求S2n.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三與奇偶項(xiàng)有關(guān)的求和問題例3已知數(shù)列{an}是正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足a3是2a1,3a2的等差中項(xiàng)，a4＝16.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝(－1)nlog2a2n＋1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華分奇偶的數(shù)列求和的一般思路當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，并項(xiàng)求其前n項(xiàng)和；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則n－1為偶數(shù)，故代入先求出前n－1項(xiàng)的和再加第n項(xiàng)，即前n項(xiàng)的和．用式子表示為Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn，n為偶數(shù)，,Sn－1＋an，n為奇數(shù).))跟蹤訓(xùn)練3已知等差數(shù)列{an}中，a2＝5，a3＋a5＝18.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝an＋ncos(nπ)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn._______________________________________