數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)

2021/4/61第七章搜索結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)電子教案殷人昆王宏數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第1頁(yè)。22021/4/6靜態(tài)搜索表二叉搜索樹(shù)最優(yōu)二叉搜索樹(shù)AVL樹(shù)伸展樹(shù)紅黑樹(shù)第七章搜索結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第2頁(yè)。32021/4/6搜索(Search)的概念靜態(tài)搜索表所謂搜索，就是在數(shù)據(jù)集合中尋找滿足某種條件的數(shù)據(jù)對(duì)象。搜索的結(jié)果通常有兩種可能：搜索成功，即找到滿足條件的數(shù)據(jù)對(duì)象。這時(shí)，作為結(jié)果，可報(bào)告該對(duì)象在結(jié)構(gòu)中的位置,還可給出該對(duì)象中的具體信息。搜索不成功，或搜索失敗。作為結(jié)果，應(yīng)報(bào)告一些信息,如失敗標(biāo)志、位置等。

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第3頁(yè)。42021/4/6通常稱用于搜索的數(shù)據(jù)集合為搜索結(jié)構(gòu)，它是由同一數(shù)據(jù)類型的對(duì)象(或記錄)組成。在每個(gè)對(duì)象中有若干屬性，其中有一個(gè)屬性，其值可唯一地標(biāo)識(shí)這個(gè)對(duì)象。稱為關(guān)鍵碼。使用基于關(guān)鍵碼的搜索，搜索結(jié)果應(yīng)是唯一的。但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，搜索條件是多方面的，可以使用基于屬性的搜索方法，但搜索結(jié)果可能不唯一。實(shí)施搜索時(shí)有兩種不同的環(huán)境。靜態(tài)環(huán)境，搜索結(jié)構(gòu)在插入和刪除等操作的前后不發(fā)生改變。靜態(tài)搜索表

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第4頁(yè)。52021/4/6動(dòng)態(tài)環(huán)境，為保持較高的搜索效率,搜索結(jié)構(gòu)在執(zhí)行插入和刪除等操作的前后將自動(dòng)進(jìn)行調(diào)整，結(jié)構(gòu)可能發(fā)生變化。

動(dòng)態(tài)搜索表在靜態(tài)搜索表中，數(shù)據(jù)元素存放于數(shù)組中，利用數(shù)組元素的下標(biāo)作為數(shù)據(jù)元素的存放地址。搜索算法根據(jù)給定值k，在數(shù)組中進(jìn)行搜索。直到找到k在數(shù)組中的存放位置或可確定在數(shù)組中找不到

k為止。

靜態(tài)搜索表數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第5頁(yè)。62021/4/6數(shù)據(jù)表與搜索表的類定義

#include<iostream.h>#include<assert.h>constintdefaultSize=100;template<classE,classK>classdataList; //數(shù)據(jù)表類的前視定義template<classE,classK>classdataNode{ //數(shù)據(jù)表中結(jié)點(diǎn)類的定義friendclassdataList<E,K>; //聲明其友元類為dataListpublic:數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第6頁(yè)。72021/4/6

dataNode(constKx):key(x){} //構(gòu)造函數(shù)

KgetKey()const{returnkey;} //讀取關(guān)鍵碼

voidsetKey(Kx){key=x;} //修改關(guān)鍵碼private:

Kkey; //關(guān)鍵碼域

E

other; //其他域（視問(wèn)題而定）};template<classE,classK>classdataList{ //數(shù)據(jù)表類定義public:數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第7頁(yè)。82021/4/6

dataList(intsz=defaultSize)

:ArraySize(sz),CuurentSize(0){

Element=newdataNode<E,K>[sz];

assert(Element!=NULL);}

dataList(dataList<E,K>&R);//復(fù)制構(gòu)造函數(shù)

virtual～dataList(){delete[]Element;}

//析構(gòu)函數(shù)

virtualintLength(){returnCurrentSize;}

//求表的長(zhǎng)度

virtualKgetKey(inti)const{ //提取第

i（1開(kāi)始）元素值

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第8頁(yè)。92021/4/6assert(i>0||i<=CurrentSize);returnElement[i-1].key;}virtualvoidsetKey(Kx,inti){ //修改第i（1開(kāi)始）元素值

assert(i>0||i<=CurrentSize);

Element[i-1].key=x;} virtualintSeqSearch(constKx)const; //搜索

virtualboolInsert(E&e1); //插入

virtualboolRemove(K

x,E&e1); //刪除friendostream&operator<<(ostream&out,constdataList<E,K>&OutList);//輸出數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第9頁(yè)。102021/4/6friendistream&operator>>(istream&in,

dataList<E,K>&InList);//輸入protected:

dataNode<E,K>*Element; //數(shù)據(jù)表存儲(chǔ)數(shù)組

intArraySize,CurrentSize; //數(shù)組最大長(zhǎng)度和當(dāng)前長(zhǎng)度};template<classE,classK>booldataList<E,K>::Insert(E&e1){//在dataList的尾部插入新元素,若插入失敗函數(shù)返//回false,否則返回true.數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第10頁(yè)。112021/4/6if(CurrentSize==ArraySize)returnfalse;

Element[CurrentSize]=e1; //插入在尾端

CurrentSize++;returntrue;};template<classE,classK>booldataList<E,K>::Remove(Kx,E&e1){//在dataList中刪除關(guān)鍵碼為x的元素,通過(guò)e1返回。//用尾元素填補(bǔ)被刪除元素。

if(CurrentSize==0)returnfalse;for(inti==0;i<CurrentSize&&

Element[i]!=x;i++); //在表中順序?qū)ふ覕?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第11頁(yè)。122021/4/6if(i==CurrentSize)returnfalse; //未找到

e1=Element[i].other; //找到,保存被刪元素的值

Element[i]=Element[CurrentSize-1];//填補(bǔ)

CurrentSize--;returntrue;};template<classE,classK>ostream&operator<<(ostream&out,constdataList<E,K>&OutList){

out<<“存儲(chǔ)數(shù)組大小”<<endl;數(shù)據(jù)表類的友元函數(shù)

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第12頁(yè)。132021/4/6for(inti=1;i<=OutList.CurrentSize;i++)

out<<OutList.Element[i-1]<<‘’;

out<<endl; //輸出表的所有表項(xiàng)到out

out<<“數(shù)組當(dāng)前長(zhǎng)度:”<<

OutList.CurrentSize<<endl;//輸出表的當(dāng)前長(zhǎng)度到out returnout;};template<classE,classK>istream&operator>>(istream&in,

dataList<E,K>&InList){ 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第13頁(yè)。142021/4/6cout<<“輸入存儲(chǔ)數(shù)組當(dāng)前長(zhǎng)度:”;

in>>InList.CurrentSize; //從in輸入表的當(dāng)前長(zhǎng)度

cout<<“輸入數(shù)組元素的值:\n”;for(inti=1;i<=InList.CurrentSize;i++){

//從in輸入表的全部表項(xiàng)

cout<<“元素”<<i<<“:”;

in>>InList.Element[i-1];}returnin;};數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第14頁(yè)。152021/4/6順序搜索主要用于在線性表中搜索。設(shè)若表中有CurrentSize個(gè)元素，則順序搜索從表的先端開(kāi)始，順序用各元素的關(guān)鍵碼與給定值x進(jìn)行比較若找到與其值相等的元素，則搜索成功，給出該元素在表中的位置。若整個(gè)表都已檢測(cè)完仍未找到關(guān)鍵碼與x相等的元素，則搜索失敗。給出失敗信息。順序搜索（SequentialSearch）

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第15頁(yè)。162021/4/6一般的順序搜索算法在第二章已經(jīng)討論過(guò)，本章介紹一種使用“監(jiān)視哨”的順序搜索方法。設(shè)在數(shù)據(jù)表dataList中順序搜索關(guān)鍵碼與給定值x相等的數(shù)據(jù)元素，要求數(shù)據(jù)元素在表中從下標(biāo)0開(kāi)始存放,下標(biāo)為CurrentSize的元素作為控制搜索過(guò)程自動(dòng)結(jié)束的“監(jiān)視哨”使用。若搜索成功，則函數(shù)返回該元素在表中序號(hào)Location（比下標(biāo)大1）,若搜索失敗，則函數(shù)返回CurrentSize+1。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第16頁(yè)。172021/4/6使用監(jiān)視哨的順序搜索算法

template<classE,classK>intdataList<E,K>::SeqSearch(constKx)const{

Element[CurrentSize].key=x; inti=0; //將x設(shè)置為監(jiān)視哨

while(Element[i].key!=x)i++; //從前向后順序搜索

returni+1;};constintSize=10;main(){數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第17頁(yè)。182021/4/6dataList<int>L1(Size); //定義int型搜索表L1intTarget;intLoc;cin>>L1;cout<<L1; //輸入L1

cout<<“Searchforainteger:”;cin>>Target; //輸入要搜索的數(shù)據(jù)

if((Location=L1.Seqsearch(Target))!=

L1.Length()) cout<<“找到待查元素位置在：”<<Loc+1

<<endl; //搜索成功

elsecout<<“沒(méi)有找到待查元素\n”;

//搜索不成功};數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第18頁(yè)。192021/4/6設(shè)數(shù)據(jù)表中有n

個(gè)元素，搜索第i

個(gè)元素的概率為pi，搜索到第i

個(gè)元素所需比較次數(shù)為ci，則搜索成功的平均搜索長(zhǎng)度:在順序搜索并設(shè)置“監(jiān)視哨”情形：

ci=i+1,i=0,1,,n-1，因此順序搜索的平均搜索長(zhǎng)度數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第19頁(yè)。202021/4/6一般表中各個(gè)元素的搜索概率不同，如果按搜索概率的高低排列表中的元素，從有序順序表的情況可知，能夠得到高的平均搜索長(zhǎng)度。在等概率情形，pi=1/n,i=1,2,,n。搜索成功的平均搜索程度為：在搜索不成功情形，ASLunsucc

=n+1。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第20頁(yè)。212021/4/6采用遞歸方法搜索值為x的元素，每遞歸一層就向待查元素逼近一個(gè)位置，直到到達(dá)該元素。假設(shè)待查元素在第i（1≤i≤n）個(gè)位置，則算法遞歸深度達(dá)i（1～i）。102030405060i=1搜索

30102030405060i=2102030405060i=3遞歸順序搜索的遞歸算法數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第21頁(yè)。222021/4/6順序搜索的遞歸算法template<classE,classK>intdataList<E,K>::SeqSearch(constKx,

intloc)const{//在數(shù)據(jù)表Element[1..n]中搜索其關(guān)鍵碼與給定值//匹配的對(duì)象,函數(shù)返回其表中位置。參數(shù)loc是在//表中開(kāi)始搜索位置

if(loc>CurrentSize)return0;//搜索失敗

elseif(Element[loc-1].key==x)returnloc;

//搜索成功

elsereturnSearch(x,loc+1);//遞歸搜索};數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第22頁(yè)。232021/4/6基于有序順序表的順序搜索算法template<classType>intsearchList<Type>::Search(constType&x)const{//順序搜索關(guān)鍵碼為x的數(shù)據(jù)對(duì)象

for(inti=0;i<CurrentSize;i++)

if(Element[i].key==x)returni;//成功

elseif(Element[i].key>x)break;return

-1;

//順序搜索失敗,返回失敗信息}數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第23頁(yè)。242021/4/6有序順序表的順序搜索

(10,20,30,40,50,60)105060======203040<<<<<<>>>>>>數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第24頁(yè)。252021/4/6基于有序順序表的折半搜索設(shè)n個(gè)對(duì)象存放在一個(gè)有序順序表中，并按其關(guān)鍵碼從小到大排好了序。折半搜索時(shí),先求位于搜索區(qū)間正中的對(duì)象的下標(biāo)mid，用其關(guān)鍵碼與給定值x比較:

Element[mid].key==x，搜索成功；

Element[mid].key>x，把搜索區(qū)間縮小到表的前半部分，繼續(xù)折半搜索；

Element[mid].key<x，把搜索區(qū)間縮小到表的后半部分，繼續(xù)折半搜索。如果搜索區(qū)間已縮小到一個(gè)對(duì)象，仍未找到想要搜索的對(duì)象，則搜索失敗。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第25頁(yè)。262021/4/6搜索成功的例子-101346810126012345678搜索lowmidhigh66810125678lowmidhigh665lowmidhigh6數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第26頁(yè)。272021/4/6搜索失敗的例子-101346810125012345678搜索lowmidhigh56810125678lowmidhigh655lowmidhigh5數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第27頁(yè)。282021/4/6template<classType>classorderedList:publicdataList<Type>{//有序表的類定義,繼承了數(shù)據(jù)表public:

orderedList(intsz=10):

dataList<Type>(sz){}~orderedList(){}

intBinarySearch(constType&x

)const;};

template<classType>intorderedList<Type>:://折半搜索算法數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第28頁(yè)。292021/4/6BinarySearch(constType&x,const

intlow,const

inthigh)const{//折半搜索的遞歸算法

intmid=-1;if(low<=high){

mid=(low+high)/2;

if(Element[mid].key<x)mid=BinarySearch(x,mid+1,high);

elseif(Element[mid].key>x) mid=BinarySearch(x,low,mid-1);}returnmid;}數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第29頁(yè)。302021/4/6template<classType>intorderedList<Type>::BinarySearch(constType&x)const{

//折半搜索的迭代算法

inthigh=CurrentSize-1,low=0,mid;

while(low<=high){

mid=(low+high)/2;

if(Element[mid].key<x)low=mid+1; //右縮搜索區(qū)

else

if(Element[mid].key>x)high=mid-1;//左縮搜索區(qū)間

elsereturnmid;//搜索成功

}

return

-1;//搜索失敗}數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第30頁(yè)。312021/4/6有序順序表的折半搜索的判定樹(shù)

(10,20,30,40,50,60)1050======30<<<<<<>>>>>>204060ASLunsucc=(2*1+3*6)/7=20/7ASLsucc=(1+2*2+3*3)/6=14/6數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第31頁(yè)。322021/4/6搜索成功時(shí)檢測(cè)指針停留在樹(shù)中某個(gè)結(jié)點(diǎn)。搜索不成功時(shí)檢測(cè)指針停留在某個(gè)外結(jié)點(diǎn)（失敗結(jié)點(diǎn)）。3515455025102030搜索22搜索45數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第32頁(yè)。332021/4/6折半搜索性能分析若設(shè)n=2h-1，則描述折半搜索的判定樹(shù)是高度為h-1

的滿二叉樹(shù)。

2h=n+1,h=log2(n+1)第0層結(jié)點(diǎn)有1個(gè),搜索第0層結(jié)點(diǎn)要比較1次;第1層結(jié)點(diǎn)有2個(gè),搜索第1層結(jié)點(diǎn)要比較2次;…,第i(0≤

i

h)層結(jié)點(diǎn)有2i個(gè),搜索第i層結(jié)點(diǎn)要比較i+1次，…。假定每個(gè)結(jié)點(diǎn)的搜索概率相等，即pi

=1/n，則搜索成功的平均搜索長(zhǎng)度為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第33頁(yè)。342021/4/6二叉搜索樹(shù)(BinarySearchTree)定義

二叉搜索樹(shù)或者是一棵空樹(shù)，或者是具有下列性質(zhì)的二叉樹(shù)：每個(gè)結(jié)點(diǎn)都有一個(gè)作為搜索依據(jù)的關(guān)鍵碼(key)，所有結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵碼互不相同。左子樹(shù)（如果非空）上所有結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵碼都小于根結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵碼。右子樹(shù)（如果非空）上所有結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵碼都大于根結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵碼。左子樹(shù)和右子樹(shù)也是二叉搜索樹(shù)。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第34頁(yè)。352021/4/6351545504025102030二叉搜索樹(shù)例結(jié)點(diǎn)左子樹(shù)上所有關(guān)鍵碼小于結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵碼；右子樹(shù)上所有關(guān)鍵碼大于結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵碼；注意：若從根結(jié)點(diǎn)到某個(gè)葉結(jié)點(diǎn)有一條路徑，路徑左邊的結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵碼不一定小于路徑上的結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵碼。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第35頁(yè)。362021/4/6如果對(duì)一棵二叉搜索樹(shù)進(jìn)行中序遍歷，可以按從小到大的順序，將各結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵碼排列起來(lái)，所以也稱二叉搜索樹(shù)為二叉排序樹(shù)。二叉搜索樹(shù)的類定義#include<iostream.h>#include<stdlib.h>template<classE,classK>structBSTNode{ //二叉樹(shù)結(jié)點(diǎn)類

Edata; //數(shù)據(jù)域

BSTNode<E,K>*left,*right;//左子女和右子女?dāng)?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第36頁(yè)。372021/4/6BSTNode(){left=NULL;right=NULL;

}

//構(gòu)造函數(shù)

BSTNode(constEd,BSTNode<E,K>*L=NULL,

BSTNode<E,K>*R=NULL){data=d;left=L;right=R;}

//構(gòu)造函數(shù)～BSTNode(){} //析構(gòu)函數(shù)

voidsetData(Ed){data=d;} //修改

EgetData(){returndata;} //提取

booloperator<(constE&x)

//重載：判小于

{returndata.key<x.key;}數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第37頁(yè)。382021/4/6booloperator>(constE&x)

//重載：判大于

{returndata.key>x.key;}booloperator==(constE&x)

//重載：判等于

{returndata.key==x.key;}};template<classE,classK>classBST{ //二叉搜索樹(shù)類定義public:BST(){root=NULL;

} //構(gòu)造函數(shù)

BST(Kvalue); //構(gòu)造函數(shù)

～BST(){}; //析構(gòu)函數(shù)

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第38頁(yè)。392021/4/6boolSearch(constKx)const //搜索

{returnSearch(x,root)!=NULL;}

BST<E,K>&operator=(constBST<E,K>&R); //重載：賦值

voidmakeEmpty()

//置空

{makeEmpty(root);root=NULL;}voidPrintTree()const{PrintTree(root);}//輸出

EMin(){returnMin(root)->data;} //求最小

EMax(){returnMax(root)->data;} //求最大

boolInsert(constE&e1)

//插入新元素

{returnInsert(e1,root);}數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第39頁(yè)。402021/4/6boolRemove(constKx){returnRemove(x,root);} //刪除含x的結(jié)點(diǎn)private:

BSTNode<E,K>*root; //根指針

KRefValue; //輸入停止標(biāo)志

BSTNode<E,K>* //遞歸：搜索

Search(constKx,BSTNode<E,K>*ptr);voidmakeEmpty(BSTNode<E,K>*&ptr); //遞歸：置空

voidPrintTree(BSTNode<E,K>*ptr)const; //遞歸：打印

BSTNode<E,K>* //遞歸：復(fù)制

Copy(constBSTNode<E,K>*ptr); 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第40頁(yè)。412021/4/6BSTNode<E,K>*Min(BSTNode<E,K>*ptr);

//遞歸：求最小

BSTNode<E,K>*Max(BSTNode<E,K>*ptr);

//遞歸：求最大

boolInsert(constE&e1,BSTNode<E,K>*&ptr);

//遞歸：插入

boolRemove(constKx,BSTNode<E,K>*&ptr);

//遞歸：刪除};二叉搜索樹(shù)的類定義用二叉鏈表作為它的存儲(chǔ)表示，許多操作的實(shí)現(xiàn)與二叉樹(shù)類似。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第41頁(yè)。422021/4/6二叉搜索樹(shù)的搜索算法在二叉搜索樹(shù)上進(jìn)行搜索，是一個(gè)從根結(jié)點(diǎn)開(kāi)始，沿某一個(gè)分支逐層向下進(jìn)行比較判等的過(guò)程。它可以是一個(gè)遞歸的過(guò)程。假設(shè)想要在二叉搜索樹(shù)中搜索關(guān)鍵碼為x

的元素，搜索過(guò)程從根結(jié)點(diǎn)開(kāi)始。如果根指針為NULL，則搜索不成功；否則用給定值

x

與根結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵碼進(jìn)行比較：若給定值等于根結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵碼，則搜索成功，返回搜索成功信息并報(bào)告搜索到結(jié)點(diǎn)地址。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第42頁(yè)。432021/4/6若給定值小于根結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵碼，則繼續(xù)遞歸搜索根結(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)；否則。遞歸搜索根結(jié)點(diǎn)的右子樹(shù)。搜索45搜索成功搜索28搜索失敗351545504025102030數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第43頁(yè)。442021/4/6template<classE,classK>BSTNode<E,K>*BST<E,K>::Search(constKx,BSTNode<E,K>*ptr){//私有遞歸函數(shù)：在以ptr為根的二叉搜索樹(shù)中搜//索含x的結(jié)點(diǎn)。若找到，則函數(shù)返回該結(jié)點(diǎn)的//地址，否則函數(shù)返回NULL值。

if(ptr==NULL)returnNULL;

elseif(x<ptr->data)returnSearch(x,ptr->left);elseif(x>ptr->data)returnSearch(x,ptr->right);elsereturnptr; //搜索成功};數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第44頁(yè)。452021/4/6template<classE,classK>BSTNode<E,K>*BST<E,K>::Search(constKx,BSTNode<E,K>*ptr){//非遞歸函數(shù)：作為對(duì)比，在當(dāng)前以ptr為根的二//叉搜索樹(shù)中搜索含x的結(jié)點(diǎn)。若找到，則函數(shù)返//回該結(jié)點(diǎn)的地址，否則函數(shù)返回NULL值。

if(ptr==NULL)returnNULL;

BSTNode<E,K>*temp=ptr;while(temp!=NULL){

if(x==temp->data)returntemp;

if(x<temp->data)

temp=temp->left;數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第45頁(yè)。462021/4/6elsetemp=temp->right;}returnNULL;};搜索過(guò)程是從根結(jié)點(diǎn)開(kāi)始，沿某條路徑自上而下逐層比較判等的過(guò)程。搜索成功，搜索指針將停留在樹(shù)上某個(gè)結(jié)點(diǎn)；搜索不成功，搜索指針將走到樹(shù)上某個(gè)結(jié)點(diǎn)的空子樹(shù)。設(shè)樹(shù)的高度為h，最多比較次數(shù)不超過(guò)h。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第46頁(yè)。472021/4/6二叉搜索樹(shù)的插入算法為了向二叉搜索樹(shù)中插入一個(gè)新元素，必須先檢查這個(gè)元素是否在樹(shù)中已經(jīng)存在。在插入之前，先使用搜索算法在樹(shù)中檢查要插入元素有還是沒(méi)有。如果搜索成功，說(shuō)明樹(shù)中已經(jīng)有這個(gè)元素，不再插入；如果搜索不成功，說(shuō)明樹(shù)中原來(lái)沒(méi)有關(guān)鍵碼等于給定值的結(jié)點(diǎn)，把新元素加到搜索操作停止的地方。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第47頁(yè)。482021/4/635154550402510203028插入新結(jié)點(diǎn)28二叉搜索樹(shù)的插入每次結(jié)點(diǎn)的插入，都要從根結(jié)點(diǎn)出發(fā)搜索插入位置，然后把新結(jié)點(diǎn)作為葉結(jié)點(diǎn)插入。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第48頁(yè)。492021/4/6二叉搜索樹(shù)的插入算法template<classE,classK>boolBST<E,K>::Insert(constE&e1,

BSTNode<E,K>*&ptr){ //私有函數(shù)：在以ptr為根的二叉搜索樹(shù)中插入值為//e1的結(jié)點(diǎn)。若在樹(shù)中已有含e1的結(jié)點(diǎn)則不插入

if(ptr==NULL){ //新結(jié)點(diǎn)作為葉結(jié)點(diǎn)插入

ptr=newBstNode<E,K>(e1); //創(chuàng)建新結(jié)點(diǎn)

if(ptr==NULL)

{cerr<<"Outofspace"<<endl;exit(1);} returntrue;數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第49頁(yè)。502021/4/6}elseif(e1<ptr->data)Insert(e1,ptr->left); //左子樹(shù)插入

elseif(e1>ptr->data)Insert(e1,ptr->right); //右子樹(shù)插入

elsereturnfalse; //x已在樹(shù)中,不再插入};注意參數(shù)表中引用型指針參數(shù)ptr的使用。利用二叉搜索樹(shù)的插入算法，可以很方便地建立二叉搜索樹(shù)。

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第50頁(yè)。512021/4/6輸入數(shù)據(jù)

{53,78,65,17,87,09,81,15}535378537865537865175378658717537865091787537865811787095378651517870981數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第51頁(yè)。522021/4/6template<classE,classK>BST<E,K>::BST(Kvalue){//輸入一個(gè)元素序列,建立一棵二叉搜索樹(shù)

Ex;

root=NULL;RefValue=value; //置空樹(shù)

cin>>x; //輸入數(shù)據(jù)

while(x.key!=RefValue){ //RefValue是一個(gè)輸入結(jié)束標(biāo)志

Insert(x,root);cin>>x; //插入，再輸入數(shù)據(jù)

}};數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第52頁(yè)。532021/4/6二叉搜索樹(shù)的刪除算法在二叉搜索樹(shù)中刪除一個(gè)結(jié)點(diǎn)時(shí)，必須將因刪除結(jié)點(diǎn)而斷開(kāi)的二叉鏈表重新鏈接起來(lái)，同時(shí)確保二叉搜索樹(shù)的性質(zhì)不會(huì)失去。為保證在刪除后樹(shù)的搜索性能不至于降低，還需要防止重新鏈接后樹(shù)的高度增加。刪除葉結(jié)點(diǎn)，只需將其雙親結(jié)點(diǎn)指向它的指針清零，再釋放它即可。被刪結(jié)點(diǎn)右子樹(shù)為空，可以拿它的左子女結(jié)點(diǎn)頂替它的位置，再釋放它。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第53頁(yè)。542021/4/6被刪結(jié)點(diǎn)左子樹(shù)為空，可以拿它的右子女結(jié)點(diǎn)頂替它的位置，再釋放它。被刪結(jié)點(diǎn)左、右子樹(shù)都不為空，可以在它的右子樹(shù)中尋找中序下的第一個(gè)結(jié)點(diǎn)(關(guān)鍵碼最小),用它的值填補(bǔ)到被刪結(jié)點(diǎn)中，再來(lái)處理這個(gè)結(jié)點(diǎn)的刪除問(wèn)題。5378651787092345刪除45右子樹(shù)空,用左子女頂替53786517870923數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第54頁(yè)。552021/4/68853788817940923刪除78左子樹(shù)空,用右子女頂替53948817092353788117940945刪除78在右子樹(shù)上找中序下第一個(gè)結(jié)點(diǎn)填補(bǔ)2365538188179409452365數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第55頁(yè)。562021/4/6二叉搜索樹(shù)的刪除算法template<classE,classK>boolBST<E,K>::Remove(constKx,

BstNode<E,K>*&ptr){//在以ptr為根的二叉搜索樹(shù)中刪除含x的結(jié)點(diǎn)

BstNode<E,K>*temp;if(ptr!=NULL){if(x<ptr->data)Remove(x,ptr->left);

//在左子樹(shù)中執(zhí)行刪除

elseif(x>ptr->data)Remove(x,ptr->right);

//在右子樹(shù)中執(zhí)行刪除數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第56頁(yè)。572021/4/6elseif(ptr->left!=NULL&&ptr->right!=NULL)

{//ptr指示關(guān)鍵碼為x的結(jié)點(diǎn)，它有兩個(gè)子女

temp=ptr->right;

//到右子樹(shù)搜尋中序下第一個(gè)結(jié)點(diǎn)

while(temp->left!=NULL)temp=temp->left;

ptr->data=temp->data;

//用該結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)代替根結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)

Remove(ptr->data,ptr->right);} else{ //ptr指示關(guān)鍵碼為x的結(jié)點(diǎn)有一個(gè)子女?dāng)?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第57頁(yè)。582021/4/6

temp=ptr; if(ptr->left==NULL)ptr=ptr->right;elseptr=ptr->left;deletetemp;returntrue;} } returnfalse;};注意在刪除算法參數(shù)表引用型指針參數(shù)的使用。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第58頁(yè)。592021/4/6

二叉搜索樹(shù)性能分析對(duì)于有n個(gè)關(guān)鍵碼的集合，其關(guān)鍵碼有n!種不同排列，可構(gòu)成不同二叉搜索樹(shù)有

(棵)

{2,1,3}{1,2,3}{1,3,2}{2,3,1}{3,1,2}{3,2,1}

123111132223323數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第59頁(yè)。602021/4/6同樣3個(gè)數(shù)據(jù){1,2,3}，輸入順序不同，建立起來(lái)的二叉搜索樹(shù)的形態(tài)也不同。這直接影響到二叉搜索樹(shù)的搜索性能。如果輸入序列選得不好，會(huì)建立起一棵單支樹(shù)，使得二叉搜索樹(shù)的高度達(dá)到最大。用樹(shù)的搜索效率來(lái)評(píng)價(jià)這些二叉搜索樹(shù)。為此，在二叉搜索樹(shù)中加入外結(jié)點(diǎn)，形成判定樹(shù)。外結(jié)點(diǎn)表示失敗結(jié)點(diǎn)，內(nèi)結(jié)點(diǎn)表示搜索樹(shù)中已有的數(shù)據(jù)。這樣的判定樹(shù)即為擴(kuò)充的二叉搜索樹(shù)。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第60頁(yè)。612021/4/6舉例說(shuō)明。已知關(guān)鍵碼集合

{a1,a2,a3}=

{do,if,to}，對(duì)應(yīng)搜索概率p1,p2,p3,在各搜索不成功間隔內(nèi)搜索概率分別為q0,q1,q2,q3?？赡艿亩嫠阉鳂?shù)如下所示。doiftodoiftoq0q1p1q2p2q3p3q0q1q2q3p1p2p3(a)(b)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第61頁(yè)。622021/4/6判定樹(shù)doiftoq0q1p1q2p2q3p3doiftoq0q1p1q2p2q3p3(d)(c)doiftoq0q1p1q2p2q3p3(e)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第62頁(yè)。632021/4/6在判定樹(shù)中

○表示內(nèi)部結(jié)點(diǎn)，包含了關(guān)鍵碼集合中的某一個(gè)關(guān)鍵碼；□表示外部結(jié)點(diǎn)，代表各關(guān)鍵碼間隔中的不在關(guān)鍵碼集合中的關(guān)鍵碼。在每?jī)蓚€(gè)外部結(jié)點(diǎn)間必存在一個(gè)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)。一棵判定樹(shù)上的搜索成功的平均搜索長(zhǎng)度ASLsucc可以定義為該樹(shù)所有內(nèi)部結(jié)點(diǎn)上的搜索概率p[i]與搜索該結(jié)點(diǎn)時(shí)所需的關(guān)鍵碼比較次數(shù)c[i](=l[i],即結(jié)點(diǎn)所在層次)乘積之和：數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第63頁(yè)。642021/4/6設(shè)各關(guān)鍵碼的搜索概率相等：p[i]=1/n搜索不成功的平均搜索長(zhǎng)度ASLunsucc為樹(shù)中所有外部結(jié)點(diǎn)上搜索概率q[j]與到達(dá)外部結(jié)點(diǎn)所需關(guān)鍵碼比較次數(shù)c'[j](=l'[j])乘積之和：設(shè)外部結(jié)點(diǎn)搜索概率相等：q[j]=1/(n+1)：數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第64頁(yè)。652021/4/6設(shè)樹(shù)中所有內(nèi)、外部結(jié)點(diǎn)的搜索概率都相等：

p[i]=1/3,1≤i≤3,q[j]=1/4,0≤

j≤3

圖(a):ASLsucc=1/3*3+1/3*2+1/3*1=6/3,

ASLunsucc=1/4*3*2+1/4*2+1/4*1=9/4。

圖(b):

ASLsucc=1/3*2*2+1/3*1=5/3,

ASLunsucc=1/4*2*4=8/4。圖(c):ASLsucc=1/3*1+1/3*2+1/3*3=6/3,

ASLunsucc=1/4*1+1/4*2+1/4*3*2=9/4。圖(d):ASLsucc=1/3*2+1/3*3+1/3*1=6/3,

ASLunsucc=1/4*2+1/4*3*2+1/4*1=9/4。(1)相等搜索概率的情形數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第65頁(yè)。662021/4/6

圖(e):ASLsucc=1/3*1+1/3*3+1/3*2=6/3,

ASLunsucc=1/4*1+1/4*3*2+1/4*2=9/4。圖(b)的情形所得的平均搜索長(zhǎng)度最小。一般把平均搜索長(zhǎng)度達(dá)到最小的擴(kuò)充的二叉搜索樹(shù)稱作最優(yōu)二叉搜索樹(shù)。在相等搜索概率的情形下，所有內(nèi)部、外部結(jié)點(diǎn)的搜索概率都相等，視它們的權(quán)值都為1。同時(shí)，第k層有2k-1個(gè)結(jié)點(diǎn)，k=1,2,。則有n個(gè)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)充二叉搜索樹(shù)的內(nèi)部路徑長(zhǎng)度I至少等于序列

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第66頁(yè)。672021/4/6

0,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,…

的前n項(xiàng)的和。因此，最優(yōu)二叉搜索樹(shù)的搜索成功的平均搜索長(zhǎng)度和搜索不成功的平均搜索長(zhǎng)度分別為:數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第67頁(yè)。682021/4/6設(shè)二叉搜索樹(shù)中所有內(nèi)、外部結(jié)點(diǎn)的搜索概率互不相等。

p[1]=0.5,p[2]=0.1,p[3]=0.05

q[0]=0.15,q[1]=0.1,q[2]=0.05,q[3]=0.05分別計(jì)算各個(gè)可能的擴(kuò)充二叉搜索樹(shù)的搜索性能，判斷哪些擴(kuò)充二叉搜索樹(shù)的平均搜索長(zhǎng)度最小。(2)不相等搜索概率的情形數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第68頁(yè)。692021/4/6doiftodoiftoq0=0.15q1=0.1p1=0.5q2=0.05p2=0.1q3=0.05p3=0.05q0=0.15q1=0.1q2=0.05q3=0.05p1=0.5p2=0.1p3=0.05(a)(b)圖(a):ASLsucc=0.5*3+0.1*2+0.05*1=1.75，

ASLunsucc=0.15*3+0.1*3+0.05*2+0.05*1=0.9。圖(b):ASLsucc=0.5*2+0.1*1+0.05*2=1.2，

ASLunsucc=(0.15+0.1+0.05+0.05)*2=0.7。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第69頁(yè)。702021/4/6doiftoq0=0.15q1=0.1p1=0.5q2=0.05p2=0.1q3=0.05p3=0.05doiftoq0=0.15q1=0.1p1=0.5q2=0.05p2=0.1q3=0.05p3=0.05(d)(c)圖(c):ASLsucc=0.5*1+0.1*2+0.05*3=0.85,ASLunsucc=0.15*1+0.1*2+0.05*3+0.05*3=0.75.圖(d):ASLsucc=0.5*2+0.1*3+0.05*1=1.35,ASLunsucc=0.15*2+0.1*3+0.05*3+0.05*1=0.8.數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第70頁(yè)。712021/4/6由此可知，圖(c)和圖(e)的情形下樹(shù)的平均搜索長(zhǎng)度達(dá)到最小，因此，圖(c)和圖(e)的情形是最優(yōu)二叉搜索樹(shù)。doiftoq0=0.15q1=0.1p1=0.5q2=0.05p2=0.1q3=0.05p3=0.05(e)

圖(e)

:

ASLsucc=0.5*1+0.1*3+0.05*2=0.9;

ASLunsucc=0.15*1+0.1*3+0.05*3+0.05*2=0.7;數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第71頁(yè)。722021/4/6最優(yōu)二叉搜索樹(shù)在相等搜索概率的情形下，因?yàn)樗袃?nèi)、外部結(jié)點(diǎn)的搜索概率都相等，把它們的權(quán)值都視為1。有n個(gè)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的最優(yōu)二叉搜索樹(shù)應(yīng)為完全二叉樹(shù)或理想平衡樹(shù)。不相等搜索概率情形下的最優(yōu)二叉搜索樹(shù)可能不同于完全二叉樹(shù)的形態(tài)?？紤]在不相等搜索概率情形下如何構(gòu)造最優(yōu)二叉搜索樹(shù)。假設(shè)關(guān)鍵碼集合放在一個(gè)有序的順序表中

{key[1],key[2],key[3],…key[n]}數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第72頁(yè)。732021/4/6設(shè)最優(yōu)二叉搜索樹(shù)為T[0][n]，其平均搜索長(zhǎng)度為：l[i]是內(nèi)部結(jié)點(diǎn)a[i]

所在層次，l‘[j]是外部結(jié)點(diǎn)j所在的層次。C[0][n]是樹(shù)的代價(jià)。為計(jì)算方便，將p[i]與q[j]化為整數(shù)。假定：數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第73頁(yè)。742021/4/6構(gòu)造最優(yōu)二叉搜索樹(shù)構(gòu)造最優(yōu)二叉搜索樹(shù)采用自底向上的方法。要構(gòu)造最優(yōu)二叉搜索樹(shù)，必須先構(gòu)造它的左子樹(shù)和右子樹(shù)，它們也是最優(yōu)二叉搜索樹(shù)。樹(shù)的構(gòu)造從只有一個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉搜索樹(shù)開(kāi)始。對(duì)于任一棵子樹(shù)T[i][j],它由

{key[i+1],key[i+2],…,key[j]}

組成，其內(nèi)、外部結(jié)點(diǎn)的權(quán)值分別為

{p[i+1],p[i+2],…,p[j]} {q[i],q[i+1],q[i+2],…,q[j]}數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第74頁(yè)。752021/4/6使用數(shù)組W[i][j]來(lái)存放它的累計(jì)權(quán)值和：

W[i][j]=q[i]+p[i+1]+q[i+1]+p[i+2]++q[i+2]+…+p[j]+q[j].0

i

j

n計(jì)算W[i][j]可以用遞推公式:

W[i][i]=q[i]

//不是二叉樹(shù),只有一個(gè)外部結(jié)點(diǎn)

W[i][i+1]=q[i]+p[i+1]+q[i+1] =W[i][i]+p[i+1]+q[i+1]

//有一個(gè)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)及兩個(gè)外部結(jié)點(diǎn)的二叉樹(shù)

W[i][i+2]=W[i][i+1]+p[i+2]+q[i+2]

//加一個(gè)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)和一個(gè)外部結(jié)點(diǎn)的二叉樹(shù)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第75頁(yè)。762021/4/6一般地，

W[i][j]=W[i][j-1]+p[j]+q[j]

//再加一個(gè)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)和一個(gè)外部結(jié)點(diǎn)對(duì)于一棵包括關(guān)鍵碼

{key[i+1],…,key[k-1],key[k],key[k+1],…,key[j]}

的子樹(shù)T[i][j],若設(shè)它的根結(jié)點(diǎn)為k，i<k

j，q[0]p[1]q[1]…q[i]p[i+1]q[i+1]p[i+2]q[i+2]…W[i][i]W[i][i+1]W[i][i+2]數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第76頁(yè)。772021/4/6

它的代價(jià)C[i][j]為：

C[i][k-1]+W[i][k-1]+p[k]+C[k][j]+W[k][j]C[i][k-1]是其包含關(guān)鍵碼

{key[i+1],key[i+2],…,key[k-1]}

的左子樹(shù)T[i][k-1]的代價(jià)C[i][k-1]+W[i][k-1]等于把左子樹(shù)每個(gè)結(jié)點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度加1而計(jì)算出的代價(jià)C[k][j]是包含關(guān)鍵碼

{key[k+1],key[k+2],…,key[j]}

的右子樹(shù)T[k][j]的代價(jià)C[k][j]+W[k][j]是把右子樹(shù)每個(gè)結(jié)點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度加1之后計(jì)算出的代價(jià)。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第77頁(yè)。782021/4/6因此，公式

C[i][j]=C[i][k-1]+W[i][k-1]+p[k]+C[k][j]++W[k][j]表明:整個(gè)樹(shù)的代價(jià)等于其左子樹(shù)的代價(jià)加上其右子樹(shù)的代價(jià)，再加上根的權(quán)值。因?yàn)?/p>

W[i][j]=p[k]+W[i][k-1]+W[k][j]，

故有

C[i][j]=W[i][j]+C[i][k-1]+C[k][j]

可用

k=i+1,i+2,…,j

分別計(jì)算上式,選取使得C[i][j]達(dá)到最小的k。這樣可將最優(yōu)二叉搜索樹(shù)T[i][j]構(gòu)造出來(lái)。

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第78頁(yè)。792021/4/6構(gòu)造的步驟第一步，構(gòu)造只有一個(gè)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的最優(yōu)二叉搜索樹(shù)：T[0][1]，T[1][2]，…，T[n-1][n]。在T[i-1][i](1

i

n)

中只包含關(guān)鍵碼

key[i]。其代價(jià)分別是

C[i-1][i]=W[i-1][i]。另外設(shè)立一個(gè)數(shù)組

R[0..n][0..n]

存放各最優(yōu)二叉搜索樹(shù)的根。

R[0][1]=1,R[1][2]=2,…,R[n-1][n]=n第二步,

構(gòu)造有兩個(gè)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的最優(yōu)二叉搜索樹(shù)：T[0][2],T[1][3],…,T[n-2][n]。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第七章-搜索結(jié)構(gòu)全文共168頁(yè)，當(dāng)前為第79頁(yè)。802021/4/6在T[i-2][i]中包含兩個(gè)關(guān)鍵碼

key[i-1],

key[i]。其代價(jià)取分別以key[i-1],key[i]

做根時(shí)計(jì)算出的C[i-2][i]

中的小者。第三步,第四步,…，構(gòu)造有3個(gè)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)，有4個(gè)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)，…的最優(yōu)二叉搜索樹(shù)。最后構(gòu)造出包含有

n

個(gè)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的最優(yōu)二叉搜索樹(shù)。對(duì)于這樣的最優(yōu)二叉搜索樹(shù),若設(shè)根為

k,則根

k

的值存于

R[0][n]

中,其代價(jià)存于

C[0][n]

中,左子樹(shù)的根存于