遼寧省丹東市鳳城草河中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

遼寧省丹東市鳳城草河中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)定點(diǎn),,動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是（

）A.橢圓

B.橢圓或線段

C.線段

D.無法判斷參考答案：A略2.下列命題正確的是(

) A．空集是任何集合的子集 B．集合{y|y=x2﹣1}與集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一個集合 C．自然數(shù)集N中最小的數(shù)是1 D．很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合參考答案：A考點(diǎn)：四種命題．專題：集合．分析：根據(jù)子集的定義，可判斷A；根據(jù)集合相等的定義，可判斷B；根據(jù)自然數(shù)集元素的特征，可判斷C；根據(jù)集合元素的確定性，可判斷D．解答： 解：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故A正確；集合{y|y=x2﹣1}是一個數(shù)集，集合{（x，y）|y=x2﹣1}是一個點(diǎn)集，故不是同一個集合，故B錯誤；自然數(shù)集N中最小的數(shù)是0，不是1，故C錯誤；很小的實(shí)數(shù)不具備確定性，不可以構(gòu)成集合，故D錯誤；故選：A點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，本題綜合性強(qiáng)，難度不大，為基礎(chǔ)題．3.設(shè)P是曲線y=x﹣x2﹣lnx上的一個動點(diǎn)，記此曲線在點(diǎn)P點(diǎn)處的切線的傾斜角為θ，則θ的取值范圍是（）A．（，] B．[，] C．[，π） D．[0，）∪[，π）參考答案：A【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用基本不等式求出導(dǎo)函數(shù)的值域，結(jié)合直線的斜率是直線傾斜角的正切值求解．【解答】解：由y=x﹣x2﹣lnx，得y′=1﹣x﹣（x＞0），∵1﹣x﹣=1﹣（x+），當(dāng)且僅當(dāng)x=1時上式“=”成立．∴y′≤﹣1，即曲線在點(diǎn)P點(diǎn)處的切線的斜率小于等于﹣1．則tanθ≤﹣1，又θ∈[0，π），∴θ∈（]．故選：A．4.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，2），F(xiàn)是拋物線y2=2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動時，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐標(biāo)為（）A．（0，0） B． C． D．（2，2）參考答案：D【考點(diǎn)】K6：拋物線的定義．【分析】求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，把|MF|+|MA|轉(zhuǎn)化為|MA|+|PM|，利用當(dāng)P、A、M三點(diǎn)共線時，|MA|+|PM|取得最小值，把y=2代入拋物線y2=2x解得x值，即得M的坐標(biāo)．【解答】解：由題意得F（，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣，設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d=|PM|，則由拋物線的定義得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故當(dāng)P、A、M三點(diǎn)共線時，|MF|+|MA|取得最小值為|AP|=3﹣（﹣）=．把y=2代入拋物線y2=2x得x=2，故點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，2），故選D．5.已知是不重合的平面，m，n是不重合的直線，則的一個充分條件是()A.， B.，C.，， D.，，參考答案：C【分析】由題意，分別分析每個答案，容易得出當(dāng)，，得出，再得出，得出答案.【詳解】對于答案A：，，得出與是相交的或是垂直的，故A錯；答案B：，，得出與是相交的、平行的都可以，故B錯；答案C：，，得出，再得出，故C正確；答案D:，，，得出與是相交的或是垂直的，故D錯故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面位置關(guān)系的知識點(diǎn)，熟悉平行以及垂直的判定定理和性質(zhì)定理是我們解題的關(guān)鍵所在，屬于較為基礎(chǔ)題.6.不等式的解集是

（

）AB

CD參考答案：D略7.曲線f（x）=x3+x﹣2在p0處的切線平行于直線y=4x﹣1，則p0的坐標(biāo)為（）A． （1，0） B． （2，8） C． （1，0）或（﹣1，﹣4） D． （2，8）或（﹣1，﹣4）參考答案：C8.（15分）已知等差數(shù)列{an}滿足

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．參考答案：9.已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，，則不等式的解集為（

）A．(－2,+∞)

B．(2,+∞)

C.(1,+∞)

D．(0,+∞)參考答案：D10.物體的運(yùn)動位移方程是S=10t﹣t2（S的單位：m；t的單位：s），則物體在t=2s的速度是（）A．2m/s B．6m/s C．4m/s D．8m/s參考答案：B【考點(diǎn)】變化的快慢與變化率．【分析】此類運(yùn)動問題中瞬時速度問題的研究一般借助函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求其某一時刻的瞬時速度，解答本題可以先求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為s=﹣t2+10t的導(dǎo)數(shù)，再求得t=3秒時的導(dǎo)數(shù)，即可得到所求的瞬時速度【解答】解：∵質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為s=﹣t2+10t∴s′=﹣2t+10∴該質(zhì)點(diǎn)在t=2秒的瞬時速度為|﹣2×2+10|=6．故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若依此類推，第個等式為參考答案：12.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱AA1，AB，CC1的中點(diǎn)，給出下列3對線段所在直線：①D1E與BG；②D1E與C1F；③A1C與C1F．其中，是異面直線的對數(shù)共有

對．參考答案：213.已知常數(shù)θ∈(0，)，則(tanθ)>(cotθ)x–8不等式的解集是

。參考答案：x≤–2或5≤x<14.展開式中的系數(shù)為________。參考答案：-6略15.已知正整數(shù)滿足，使得取最小值時，實(shí)數(shù)對(是

參考答案：(5，10）16.函數(shù)（）的遞減區(qū)間為__

．

參考答案：略17.過雙曲線的右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，則參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知點(diǎn)F（1，0），直線l：x=﹣1，P為平面上的動點(diǎn)，過P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且．（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）過點(diǎn)F的直線交軌跡C于A，B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M，已知，，求λ1+λ2的值．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；軌跡方程；拋物線的定義；拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】解法一：（1）我們可設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y），由直線l：x=﹣1，過P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，則Q（﹣1，y），則我們根據(jù)，構(gòu)造出一個關(guān)于x，y的方程，化簡后，即可得到所求曲線的方程；（2）由過點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M，我們可以設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，聯(lián)立直線方程后，利用設(shè)而不求的思想，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，易求λ1+λ2的值．解法二：（1）由得，進(jìn)而可得．根據(jù)拋物線的定義，我們易得動點(diǎn)的軌跡為拋物線，再由直線l（即準(zhǔn)線）方程為：x=﹣1，易得拋物線方程；（2）由已知，，得λ1?λ2＜0．根據(jù)拋物線的定義，可們可以將由已知，，轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出λ1+λ2的值．【解答】解：法一：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則Q（﹣1，y），由得：（x+1，0）?（2，﹣y）=（x﹣1，y）?（﹣2，y），化簡得C：y2=4x．

（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為：x=my+1（m≠0）．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），又，聯(lián)立方程組，消去x得：y2﹣4my﹣4=0，∴△=（﹣4m）2+16＞0，故由，得：，，整理得：，，∴===0．法二：（Ⅰ）由得：，∴，∴，∴．所以點(diǎn)P的軌跡C是拋物線，由題意，軌跡C的方程為：y2=4x．（Ⅱ）由已知，，得λ1?λ2＜0．則：．①過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A1，B1，則有：．②由①②得：，即λ1+λ2=0．【點(diǎn)評】本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力．19.求滿足條件：過直線和直線的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程.參考答案：【分析】先由題意求出直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再由所求直線與直線，求出斜率，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由解得，即直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，又所求直線與直線垂直，因此，所求直線的斜率為，故所求直線方程為，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查滿足條件的直線方程，熟記直線方程的點(diǎn)斜式即可，屬于?？碱}型.20.已知圓O：x2+y2=1和點(diǎn)M（1，4）．（1）過點(diǎn)M向圓O引切線，求切線的方程；（2）求以點(diǎn)M為圓心，且被直線y=2x﹣8截得的弦長為8的圓M的方程．參考答案：【考點(diǎn)】圓的切線方程．【專題】直線與圓．【分析】（1）當(dāng)直線無斜率時，方程為x=1，滿足題意；當(dāng)直線有斜率時，設(shè)直線方程為y﹣4=k（x﹣1），由點(diǎn)到直線的距離公式可得k值，可得方程；（2）設(shè)以點(diǎn)M為圓心的圓的半徑為r，由題意可得圓心M到直線2x﹣y﹣8=0的距離d滿足r2=d2+42，由點(diǎn)到直線的距離公式可得d值，可得答案．【解答】解：（1）當(dāng)直線無斜率時，方程為x=1，滿足直線與圓相切；當(dāng)直線有斜率時，設(shè)直線方程為y﹣4=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+4=0，由相切和點(diǎn)到直線的距離公式可得=1，解得k=，代入可得直線方程為y﹣4=（x﹣1），即15x﹣8y+17=0，∴所求切線的方程為x=1或15x﹣8y+17=0；（2）設(shè)以點(diǎn)M為圓心的圓的半徑為r，∵該圓被直線y=2x﹣8截得的弦長為8，∴圓心M到直線2x﹣y﹣8=0的距離d滿足r2=d2+42，由點(diǎn)到直線的距離公式可得d==，∴r2=d2+42=36∴圓M的方程為（x﹣1）2+（y﹣4）2=36．【點(diǎn)評】本題考查直線圓的位置關(guān)系，涉及直線與圓的相切問題，屬中檔題．21.證明下列不等式.（1）當(dāng)時，求證：；（2）設(shè)，，若，求證：.參考答案：證明：（1）要證；即證，只要證，只要證，只要證，由于，只要證，最后一個不等式顯然成立，所以；（2）因?yàn)椋?，，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以.

22.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且是與2的等差中項(xiàng)，數(shù)列中，，點(diǎn)在直線上。（1）求和的值；

（2）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式和；（3）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.參考答案：解：（1）∵an是Sn與2的等差中項(xiàng)

∴Sn=2an-2

∴a1=S1=2a1-2，解得a1=2

a1+a2=S2=2a2-2，解得a2=4

（2）∵Sn=2an-2，Sn-1=2an-1-2，又Sn—Sn-1=an，

∴an=2an-2an-1，

又an≠0，

∴，即數(shù)列{an}是等比數(shù)列

∵a1=2，∴an=2n

∵點(diǎn)P(bn，bn+1)在直線x-y+2=0上，∴bn-bn+1+2=0，

∴bn+1-bn=2，即數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，又b1=1，∴bn=2n-1，