測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理演示文稿

測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理演示文稿當(dāng)前第1頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)（優(yōu)選）測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理當(dāng)前第2頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)第2章誤差傳播與最小二乘法原理

方差與協(xié)方差傳播律

協(xié)方差：描述兩個(gè)隨機(jī)變量之間的誤差相關(guān)關(guān)系。，x和y不相關(guān)，相互獨(dú)立，誤差不相關(guān)，x和y是相關(guān)的，不獨(dú)立當(dāng)前第3頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)方差與協(xié)方差傳播律隨機(jī)向量及其協(xié)方差陣

n維隨機(jī)向量方差—協(xié)方差陣非對(duì)角線元素對(duì)角線元素當(dāng)前第4頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)方差與協(xié)方差傳播律協(xié)方差傳播律觀測(cè)值線性函數(shù)的方差特例：當(dāng)隨機(jī)向量X中的各個(gè)分量?jī)蓛上嗷オ?dú)立時(shí)，它們之間的協(xié)方差為0，方差陣為對(duì)角陣，此時(shí)z的方差上式變?yōu)椋?.13）當(dāng)前第5頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)方差與協(xié)方差傳播律【例2.1】用長(zhǎng)度為L(zhǎng)的鋼尺量距，連續(xù)丈量了N個(gè)尺段。已知每一尺段的距離都是獨(dú)立觀測(cè)值，且其中誤差均為m，求全長(zhǎng)S的中誤差。＊解：由于共丈量了N個(gè)尺段，故全長(zhǎng)由（2.13）知，，即。呵，原來(lái)是這樣?。‘?dāng)前第6頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)方差與協(xié)方差傳播律【例2.2】設(shè)有觀測(cè)值L1、L2和L3的函數(shù)已知其方差分別為，，兩兩之間的協(xié)方差分別為，，。求函數(shù)F的方差。＊解：由方差陣的定義知，觀測(cè)值的方差陣為：

F的矩陣形式函數(shù)F的方差當(dāng)前第7頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)方差與協(xié)方差傳播律非線性函數(shù)的方差問(wèn)題：已知變量x的方差和協(xié)方差，求函數(shù)的方差。核心：將非線性函數(shù)化為線性函數(shù)。方法：將函數(shù)在處展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)。令：則有：當(dāng)前第8頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)方差與協(xié)方差傳播律非線性函數(shù)的方差函數(shù)的全微分或?qū)懗捎捎冢瑇與dx具有相同的方差，因而z與dz方差相同。因此，對(duì)于非線性函數(shù)線性化，也可以先列出函數(shù)式，然后對(duì)其求全微分。當(dāng)前第9頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)方差與協(xié)方差傳播律【例2.3】設(shè)有觀測(cè)向量，已知其方差陣為求的函數(shù)當(dāng)L1=2，L2=3，L3=4時(shí)的方差。＊解：因函數(shù)F是個(gè)非線性函數(shù)，求其全微分

當(dāng)前第10頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)方差與協(xié)方差傳播律誤差傳播律在測(cè)量中的應(yīng)用水準(zhǔn)測(cè)量的精度

已知每站高差測(cè)量中誤差，求測(cè)段AB中誤差

A、B兩點(diǎn)間的總高差：

當(dāng)前第11頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)方差與協(xié)方差傳播律水準(zhǔn)測(cè)量的精度

已知每千米高差測(cè)量中誤差，求測(cè)段AB中誤差

設(shè)測(cè)段長(zhǎng)為S,各測(cè)站距離s大致相等，則測(cè)站數(shù)N=S/s由于每千米高差中誤差：于是有：因此：當(dāng)前第12頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)方差與協(xié)方差傳播律【例2.4】水準(zhǔn)測(cè)量中若要求每千米觀測(cè)高差中誤差不超過(guò)10mm，水準(zhǔn)路線全長(zhǎng)高差中誤差不超過(guò)60mm，則該水準(zhǔn)路線長(zhǎng)度不應(yīng)超過(guò)多少千米？＊解：由公式

因此有：該水準(zhǔn)路線長(zhǎng)度不應(yīng)超過(guò)36千米。當(dāng)前第13頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)方差與協(xié)方差傳播律導(dǎo)線方位角的精度導(dǎo)線測(cè)量示意圖已知同精度角度觀測(cè)中誤差為，求第N條導(dǎo)線邊方位中誤差。方位角公式：方位角中誤差：當(dāng)前第14頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)方差與協(xié)方差傳播律同精度獨(dú)立觀測(cè)值的算術(shù)平均值的精度對(duì)某量同精度獨(dú)立觀測(cè)n次，其觀測(cè)值為L(zhǎng)1、L2、…Ln，它們的中誤差均等于，求平均值的中誤差。n次算術(shù)平均值：由方差-協(xié)方差傳播公式，有：即有：當(dāng)前第15頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)方差與協(xié)方差傳播律

【例2.5】已知某臺(tái)經(jīng)緯儀一測(cè)回測(cè)角中誤差為6"，如果要使各測(cè)回的平均值的中誤差不超過(guò)2"，則至少應(yīng)測(cè)多少測(cè)回？＊解：由公式

可得所以，至少應(yīng)觀測(cè)9個(gè)測(cè)回。當(dāng)前第16頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)第2章誤差傳播與最小二乘法原理權(quán)與定權(quán)的常用方法

權(quán)的定義：設(shè)有觀測(cè)值，它們的方差為設(shè)不等于零任意常數(shù)，則定義

的權(quán)為

式中的方差可以是同一個(gè)量的觀測(cè)值的方差，也可以是不同量的觀測(cè)值的方差，

稱為單位權(quán)中誤差。權(quán)比：當(dāng)前第17頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)權(quán)與定權(quán)的常用方法單位權(quán)中誤差從權(quán)的定義式上看，只起著一個(gè)比例常數(shù)的作用，而其值一經(jīng)選定，它還有著具體的含義，可以理解為衡量誤差大小的“單位誤差標(biāo)準(zhǔn)”。凡是中誤差等于的觀測(cè)值，其權(quán)必然等于1；或者說(shuō)，權(quán)為1的觀測(cè)值的中誤差必然等于。因此，通常稱為單位權(quán)中誤差，而稱為單位權(quán)方差或方差因子，把權(quán)等于1的觀測(cè)值，稱為單位權(quán)觀測(cè)值。當(dāng)前第18頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)【例2.6】已知三個(gè)角度觀測(cè)值的中誤差分別為3″，4″和5″，試求各角的權(quán)。

＊解:若取

則有

若取

則有

上例說(shuō)明σ0取值不同，則各觀測(cè)值的權(quán)不同，但權(quán)之間的比值不變，即權(quán)與定權(quán)的常用方法當(dāng)前第19頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)【例2.7】已知A角的中誤差σA=2″，權(quán)PA=4，B角的權(quán)PB=16，試求單位權(quán)中誤差σ0及B角的中誤差σB。

＊解:由權(quán)的定義式可得

將σA、PA之值代入上式可解出

又由權(quán)的定義式可得

權(quán)與定權(quán)的常用方法當(dāng)前第20頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)水準(zhǔn)測(cè)量定權(quán)已知同精度觀測(cè)Ni個(gè)測(cè)站的水準(zhǔn)高差hi的方差為：

取C個(gè)測(cè)站的觀測(cè)高差的方差為單位權(quán)方差，即按定權(quán)公式可得用測(cè)站數(shù)定權(quán)的公式用測(cè)站數(shù)定權(quán)（用于山地）

權(quán)與定權(quán)的常用方法當(dāng)前第21頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)

已知每公里觀測(cè)高差的方差相等時(shí)，Si公里觀測(cè)高差的方差為

取C公里觀測(cè)高差的方差為單位權(quán)方差，即按定權(quán)公式可得用路線長(zhǎng)度定權(quán)的公式：

上式說(shuō)明，當(dāng)每公里觀測(cè)高差等精度時(shí)，水準(zhǔn)測(cè)量高差的權(quán)與距離成反比。

用路線長(zhǎng)度定權(quán)（用于平地）權(quán)與定權(quán)的常用方法當(dāng)前第22頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)權(quán)與定權(quán)的常用方法【例2.8】如下圖，確定水準(zhǔn)路線觀測(cè)值的權(quán)。圖2.3水準(zhǔn)路線圖＊假定每千米觀測(cè)高差的中誤差為

則由各線路觀測(cè)高差的中誤差為：

如令則有：權(quán)比：當(dāng)前第23頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)權(quán)與定權(quán)的常用方法下面按路線長(zhǎng)度定權(quán)的公式定權(quán)：

上式中令C=1，即取每千米高差中誤差為單位權(quán)中誤差，于是有：

上式中令C=3，即取3千米高差中誤差為單位權(quán)中誤差，于是有：權(quán)比：權(quán)比：當(dāng)前第24頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)權(quán)與定權(quán)的常用方法【例2.9】在平坦地區(qū)測(cè)得兩段觀測(cè)高差及水準(zhǔn)路線的長(zhǎng)分別為：h1=10.125米，S1=3.8km，h2=-8.375米，S2=5.5km，設(shè)每一測(cè)站的觀測(cè)精度相同，那么h1和h2哪一個(gè)權(quán)大？哪一個(gè)精度高？

＊解：由水準(zhǔn)測(cè)量的定權(quán)公式知，水準(zhǔn)測(cè)量的權(quán)與路線長(zhǎng)度成反比，因?yàn)镾2大于S1

，所以，h1的權(quán)比h2的權(quán)大，h1精度高。當(dāng)前第25頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)權(quán)與定權(quán)的常用方法【例2.10】在相同觀測(cè)條件下進(jìn)行的四等水準(zhǔn)測(cè)量中，設(shè)以4公里的觀測(cè)高差為單位權(quán)觀測(cè)高差，已知單位權(quán)中誤差σ0=±1mm，則64公里觀測(cè)高差的中誤差等于多少？

＊解：根據(jù)題意知，C=4公里，σ0=

±1mm，S=64公里，由水準(zhǔn)測(cè)量的定權(quán)公式求64公里觀測(cè)高差的權(quán)

再由權(quán)的定義式

可得

所以，64公里觀測(cè)高差的中誤差為4mm。

當(dāng)前第26頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)距離量測(cè)定權(quán)

1、鋼尺量距的權(quán)

設(shè)單位長(zhǎng)度距離丈量的方差為σ2

，則丈量距離Si

的方差為取丈量長(zhǎng)度C的方差為單位權(quán)方差，即取則按定權(quán)公式得

上式說(shuō)明，當(dāng)單位長(zhǎng)度距離丈量的精度相同時(shí)，距離丈量的權(quán)與長(zhǎng)度成反比。權(quán)與定權(quán)的常用方法當(dāng)前第27頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)距離量測(cè)定權(quán)測(cè)距儀測(cè)距的權(quán)可按定權(quán)公式直接求得，即

式中為任選的單位權(quán)方差；為測(cè)距方差，它包含固定誤差和比例誤差兩部分。即mmkm2、光電測(cè)距的權(quán)權(quán)與定權(quán)的常用方法當(dāng)前第28頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)等精度觀測(cè)算術(shù)平均值的權(quán)

已知一組等精度的獨(dú)立觀測(cè)值(方差均為σ2)算術(shù)平均值的方差為：

若取C次觀測(cè)值的算術(shù)平均值為單位權(quán)觀測(cè)值，即取

按定權(quán)公式可得算術(shù)平均值的權(quán)

上式說(shuō)明，算術(shù)平均值的權(quán)與觀測(cè)次數(shù)成正比。

權(quán)與定權(quán)的常用方法當(dāng)前第29頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)協(xié)因數(shù)

單位權(quán)方差與觀測(cè)值方差之比可作為衡量精度的相對(duì)指標(biāo)，反過(guò)來(lái)，觀測(cè)值方差與單位權(quán)方差之比同樣可作為衡量精度的相對(duì)指標(biāo)，我們稱其為協(xié)因數(shù)，用符號(hào)Qii表示，即

與權(quán)的定義式比較可得

由協(xié)因數(shù)定義式又可得到

協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律

當(dāng)前第30頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)協(xié)因數(shù)陣1、n維隨機(jī)向量X的協(xié)因數(shù)陣仿協(xié)因數(shù)定義,定義兩隨機(jī)變量的互協(xié)因數(shù)

將n維隨機(jī)向量X的方差陣的定義式乘以，得:上列矩陣稱為協(xié)因數(shù)陣，記作QX，即

上式矩陣中，當(dāng)Qij=0(i≠j)時(shí)，則Xi和Xj互相獨(dú)立。協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律當(dāng)前第31頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)協(xié)因數(shù)陣當(dāng)向量Z是向量X和Y的分塊向量時(shí)，即則有

式中，QX、QY分別為X、Y向量的自協(xié)因數(shù)陣，而QXY、QYX分別為X向量關(guān)于Y向量的互協(xié)因數(shù)陣，QXY與QYX互為轉(zhuǎn)置。當(dāng)QXY=0時(shí)，表示X、Y互相獨(dú)立。

2、分塊向量的協(xié)因數(shù)陣協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律當(dāng)前第32頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)權(quán)陣

平差計(jì)算中，往往用協(xié)因數(shù)陣的逆陣參與運(yùn)算，為表達(dá)方便，將其逆陣用符號(hào)P表示，并稱其為權(quán)陣，即

觀測(cè)值的權(quán)一般要通過(guò)對(duì)權(quán)陣求逆得到協(xié)因數(shù)陣，再利用權(quán)與協(xié)因數(shù)的倒數(shù)關(guān)系求權(quán)。當(dāng)權(quán)陣為對(duì)角陣時(shí)，Qii=1/Pii，再由權(quán)與協(xié)因數(shù)的關(guān)系得協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律當(dāng)前第33頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播定律【例2.11】

已知觀測(cè)值向量L的協(xié)因數(shù)陣為試求:1)觀測(cè)值L1、L2的權(quán)P1和P2；

2)觀測(cè)值向量L的權(quán)陣P。解:1)由權(quán)與協(xié)因數(shù)的關(guān)系式可得

2)由權(quán)陣的定義式可得觀測(cè)向量L的權(quán)陣為當(dāng)前第34頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)

協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播定律【例2.12】已知觀測(cè)向量L的權(quán)陣為

試求觀測(cè)值L1，L2的權(quán)。解:由權(quán)陣與協(xié)因數(shù)陣的關(guān)系式得觀測(cè)值向量L的協(xié)因數(shù)陣為再由權(quán)與協(xié)因數(shù)的關(guān)系式得:

當(dāng)前第35頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)

協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播定律

協(xié)因數(shù)傳播律設(shè)有隨機(jī)向量X的一個(gè)線性函數(shù)為：

用矩陣表示為：由于：因此：當(dāng)隨機(jī)向量X中的各個(gè)分量?jī)蓛芍g相互獨(dú)立時(shí)，它們之間的協(xié)因數(shù)為零，此時(shí)z的協(xié)因數(shù)為：或：當(dāng)前第36頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)

協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播定律

協(xié)因數(shù)傳播律當(dāng)前第37頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)

協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播定律【例2.13】在測(cè)站O上觀測(cè)了A、B、C三個(gè)方向，如圖所示，得觀測(cè)值L1、L2、L3。設(shè)各方向值之間互相獨(dú)立且等精度，其權(quán)逆陣為試求角度β=(β1β2)T的權(quán)逆陣Q。

解:因?yàn)?/p>

上式中，說(shuō)明在一個(gè)測(cè)站上當(dāng)有二個(gè)以上方向時(shí),由方向觀測(cè)值求出的角度之間是相關(guān)的。當(dāng)前第38頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)

協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播定律【例2.14】已知獨(dú)立觀測(cè)值Li的權(quán)為Pi(i=1，2，…，n)，求加權(quán)平均值x=［PL］/［P］的權(quán)Px。解:因?yàn)榘磪f(xié)因數(shù)傳播公式，得由權(quán)與協(xié)因數(shù)的關(guān)系式，得當(dāng)前第39頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)設(shè)在一個(gè)三角網(wǎng)中，以同精度獨(dú)立分別觀測(cè)n個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角,則第i個(gè)三角形的閉合差為：由真誤差計(jì)算中誤差菲列羅公式

（i=1,2,…,n）

三角形內(nèi)角和的中誤差三角形閉合差計(jì)算測(cè)角中誤差的計(jì)算公式

當(dāng)前第40頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)由真誤差計(jì)算中誤差

用不同精度的真誤差計(jì)算單位權(quán)中誤差

設(shè)一系列不等精度的觀測(cè)值、觀測(cè)值的真誤差、觀測(cè)值的權(quán)分別為L(zhǎng)1,L2,…,Ln

Δ1,Δ2,…,Δn

P1,P2,…,Pn

再假設(shè)一列觀測(cè)值為

其真誤差為

由協(xié)因數(shù)傳播律可得

即說(shuō)明（i=1,2,…,n）是等精度的,且權(quán)都等于1。當(dāng)前第41頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)

由真誤差計(jì)算中誤差按等精度觀測(cè)計(jì)算中誤差的公式，有

將代入上式，可得

上式即為按不等精度觀測(cè)值的真誤差求單位權(quán)中誤差的公式。

如果要求第i個(gè)觀測(cè)值的中誤差，只要由權(quán)的定義式通過(guò)變換便可得到計(jì)算公式，即

當(dāng)前第42頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)

由真誤差計(jì)算中誤差利用雙觀測(cè)列之差求中誤差1、利用雙觀測(cè)列之差求單位權(quán)中誤差設(shè)一組量的雙觀測(cè)列分別為

和為第i個(gè)量的往返觀測(cè)值,再設(shè)每個(gè)量的雙觀測(cè)的權(quán)相等,均為Pi，則同一量的雙觀測(cè)之差為其真誤差為利用權(quán)倒數(shù)傳播公式得雙觀測(cè)之差的權(quán)倒數(shù)為

當(dāng)前第43頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)

由真誤差計(jì)算中誤差利用雙觀測(cè)列之差求中誤差雙觀測(cè)之差的權(quán)為

由不等精度觀測(cè)求單位權(quán)中誤差的公式可得

將和代入上式得

等精度觀測(cè)時(shí)有

當(dāng)前第44頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)

由真誤差計(jì)算中誤差利用雙觀測(cè)列之差求中誤差

如果要求任一量的單次觀測(cè)的中誤差，根據(jù)權(quán)的定義式可以導(dǎo)出所求結(jié)果為

2、求雙觀測(cè)列單次觀測(cè)的中誤差當(dāng)前第45頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)

由真誤差計(jì)算中誤差利用雙觀測(cè)列之差求中誤差根據(jù)協(xié)方差傳播公式得

則雙觀測(cè)列平均值的中誤差為

等精度觀測(cè)時(shí)有

3、求雙觀測(cè)列平均值的中誤差如果要求任一對(duì)觀測(cè)值平均值的中誤差,則由求平均值的函數(shù)式

當(dāng)前第46頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期五\3點(diǎn)由真誤差計(jì)算中誤差【例2.15】設(shè)在A、B兩