人教A版雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

觀察與思考

也許同學(xué)們并沒有注意到，在我們所生活的大千世界里，雙曲線也時(shí)常出現(xiàn)在我們的周圍，請同學(xué)們觀察以下圖片…2.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)電廠冷卻塔的外形可口可樂的下半部玉枕的形狀

再一次認(rèn)識(shí)了雙曲線之后，我們將開始深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上的雙曲線.

首先來看看本節(jié)雙曲線的知識(shí)結(jié)構(gòu)：雙曲線的定義雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

由該知識(shí)結(jié)構(gòu)圖可知，我們應(yīng)首先學(xué)習(xí)雙曲線的定義.

我們知道，與兩個(gè)定點(diǎn)距離的和為非零常數(shù)（大于兩定點(diǎn)間的距離）的軌跡是橢圓.那么，與兩定點(diǎn)距離的差為非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么？

如圖2.3-1，取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉開的兩邊的上各選擇一點(diǎn)，分別固定在點(diǎn)F1，F(xiàn)2上，把筆尖放在點(diǎn)M處，隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏，筆尖所經(jīng)過的點(diǎn)就畫出一條曲線，會(huì)得到怎樣的曲線呢？2.3-1

這條曲線是滿足下面條件的集合：P={M||MF1|-|MF2|=常數(shù)}（左邊）P={M||MF2|-|MF1|=常數(shù)}（右邊）這兩支曲線合起來叫做雙曲線.FF1F2M2.3-1讓學(xué)生掌握雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.讓學(xué)生掌握標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．

教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與能力培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)從“感性認(rèn)識(shí)”到“理性認(rèn)識(shí)”過程中獲取新知.抓住與橢圓的異同，掌握橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.注重?cái)?shù)形結(jié)合，掌握解析法研究幾何問題的一般方法.過程與方法情感態(tài)度與價(jià)值觀雙曲線的定義.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能力．教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)

難點(diǎn)

類比橢圓的定義，你能給出雙曲線的定義嗎？回顧舊知：yxMF1F2Occ圖2.2-1橢圓：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.MOF1F2xy

我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做兩個(gè)焦點(diǎn)間距離叫做這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線雙曲線的焦點(diǎn)雙曲線的焦距yxMF1F2Occ圖2.2-1由橢圓的定義，橢圓就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}.

類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，你能說說應(yīng)怎樣選擇坐標(biāo)系，建立雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？回顧舊知：

類比橢圓，我們根據(jù)雙曲線的集合特征，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.MOF1F2xy(-c,0)(c,0)2.3-2

如右圖建立直角坐標(biāo)系xOy，使x軸經(jīng)過兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，y軸為線段F1F2的垂直平分線.設(shè)M(x,y)是雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距為2c（c>0），那么焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別是(-c,0)，(c,0).又設(shè)點(diǎn)M與F1，F(xiàn)2得距離差的絕對值等于常數(shù)2a.MOF1F2xy(-c,0)(c,0)2.3-2例1：由定義可知，雙曲線就是集合P={M||MF1|-|MF2|=2a}.因?yàn)閨MF1|=，|MF2|=，所以類比建立橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡過程，化簡①，得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2),兩邊同除以(c2-a2），得①M(fèi)OF1F2xy(-c,0)(c,0)

由雙曲線的定義可知2c>2a，即c>a所以c2-a2>0.類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，我們令c2-a2=b2，其中b>0，代入上式，得②MOF1F2xy(-c,0)(c,0)

從上述過程可以看到，雙曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都能滿足方程②，以方程②的解(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)到雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對值為2a，即以該解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在雙曲線上，由曲線與方程的關(guān)系可知，方程②是雙曲線的方程我們把它叫做它表示焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)分別是F1(-c,0)F2(c,0)的雙曲線，這里c2=a2+b2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

類比焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，如圖2.3-3，雙曲線的焦點(diǎn)分別是F1(0,-c)，F(xiàn)2(0,c)，a，b的意義同上，這時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程式什么？

此時(shí)雙曲線的方程是：這個(gè)方程也叫雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.MF1F2Oxy

已知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-5,0)F2(5,0)，雙曲線上的一點(diǎn)P到F1,F2的距離差的絕對值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.例2：解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為因?yàn)?a=6，2c=10，所以a=3，c=5，所以b2=52-32=16.因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(-1,0)和F2(1,0)的距離分別為d1和d2∠F1PF2=2θ，且存在常數(shù)λ(0<λ<1)，使得d1d2sin2θ=λ.求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的曲線方程.yF1POF2Px例2：

解：在三角形PF1F2中，|F1F2|=24=d12+d22-2d1d2cos2θ(d1-d2)2+4d1d2sin2θ(d1-d2)2=4-4λ|d1-d2|2=4-4λ(小于2的常數(shù))故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C是以F1,F2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長的雙曲線.方程為.課堂小結(jié)MOF1F2xy

我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，兩個(gè)焦點(diǎn)間距離叫做雙曲線的焦距.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，雙曲線就是集合：P={M||MF1|-|MF2|=2a}.其中|MF1|-|MF2|=2a

，c2-a2=b2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在x軸上：MOF1F2xy(-c,0)(c,0)MF1F2Oxy其中|MF1|-|MF2|=2a

，c2-a2=b2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在y軸上：（a>b>0）（a>0,b>0）橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及它們之間的區(qū)別橢圓雙曲線|MF1|+|MF2|=2a|MF1|-|MF2|=±2a

a>c>0a2-c2=b2(b>0)c>a>0c2-a2=b2(b>0)課堂練習(xí)B.A.C.D.1.設(shè)F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)P在雙曲線上，且,則（）B2.

以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是（）A.B.C.D.A填空題1.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是F1(-3,0)，一條漸近線的方程是則雙曲線C的方程是___________解：設(shè)雙曲線C的方程為由題設(shè)得:解得，所以雙曲線C的方程為解：設(shè)雙曲線方程為(a>0，b>0)由已知得a=，c=2，再由a2+b2=22，得b2=1故雙曲線C的方程為2.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），右頂點(diǎn)為，則雙曲線C的方程是______________

解答題1.AB是雙曲線x2－＝1上的兩點(diǎn)，N(1,2)是線段AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程為_______________解：依題意，可設(shè)直線方程為y＝k(x－1)＋2代入x2－＝1，整理得(2－k)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0①記A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1、x2是方程①的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以2－k2≠0,且x1＋x2＝由N(1,2)是AB中點(diǎn)得(x1＋x2)＝1∴k(2－k)＝2－k2，解得k＝1，所易知AB的方程為y＝x＋1.2.已知雙曲線x2-y2=2的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過點(diǎn)F2的動(dòng)直線與雙曲線相交于A,B兩點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)M滿足（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）求點(diǎn)M的軌跡方程.解：由條件知F1(-2,0),F2(2,0),A(x1,y1),B(x2,y2)設(shè)M(x,y)，則,

由得即于是AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)即因?yàn)锳,B兩點(diǎn)在雙曲線上，所以

x12-x22=2,y12-y22=2兩式相減得(x