物理上下冊(cè)完全版done下學(xué)期量子

14pe0re2U

=

-)y

=

004pe

re222my

+

e

(E

+2由于原子核的質(zhì)量比電子質(zhì)量大很多,故核子在與電子相互電磁作用中可視為靜止?！?/p>

25-6氫原子一、氫原子的薛定諤方程1、氫原子的定態(tài)薛定諤方程氫原子中電子的勢(shì)能函數(shù)由于U只是r的函數(shù)，不隨時(shí)間變化,是一個(gè)定態(tài)問題,故其薛定諤方程為2無法顯示該圖片。rqjxx

=

r

sinq

cosj

,

y

=

r

sinq

sin

j

,

z

=

r

cosqyzP2、氫原子的球坐標(biāo)形式薛定諤方程由于勢(shì)能函數(shù)只是r的函數(shù),球形對(duì)稱，故采用球坐標(biāo)方便些，3對(duì)波函數(shù)進(jìn)行變量分離,令y(r.q.j)

=

R(r)Q

(q)F

(j)將其代入上式，并運(yùn)用待定系數(shù)的方法,經(jīng)整理可得三個(gè)方程：0)y

=0(sinq1

?

2

?y

1

?

?y1

?2y

2mr2

sinq

?q

?q

r2

sin2

q

?f2

4per(r

)

+e2r2

?r

?r)

+

+ e

(E

+22+

ml

F

=

0

(1)dj

2d

2F(sinq1

dsinq

dq

sin

2

q

m

2)

+

l(l+1)

-

l

Q

=

0 (2)dQdq故此時(shí)的定態(tài)薛定諤方程為2m04pe

r

R

=

0

(3)r

2l(l

+1)

1

d

2

dR

2m

r

2

dr

dr(r

)

+

e

E

+-e2

2e4解上述方程時(shí)，注意波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件，F(xiàn)

(j)中ml只能取某些特定值。然后把ml

代入Q

(q)的方程，這時(shí)只有某些l的值才有可接受的解。再把符合上述Q

(q)方程的l代入R(r)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，只有對(duì)于某些總能量E<0才有可能的解。解方程的結(jié)果,可得到描述粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的三個(gè)重要的量子數(shù)主量子數(shù)

n

，

角量子數(shù)l

,

磁量力數(shù)ml51,能量量子化（主量子數(shù)n

）若

E>0

即E=Ek+U>0

說明

Ek>|U|這時(shí)電子已不再受氫核的束縛，其能量可取連續(xù)的任何值，此時(shí)氫原子處于電離狀態(tài),電子可近似地視為自由電子。若

E<0,

即E=Ek+U<0 則

Ek＜|U|根據(jù)其波函數(shù)必須滿足的標(biāo)準(zhǔn)條件,解得二、幾個(gè)重要結(jié)果0220n2

n2

=

--

m

e4

1

me4

1En

=

e

8e2

h24pe(2)n=1,2,3,…n稱為主量子數(shù)n=1,2,3，…其決定著氫原子能量的取值。6n=1，稱之為基態(tài)，代入有關(guān)數(shù)據(jù),算得E1

=

-13.6eVn=2.3.4

……稱之為激發(fā)態(tài),它們的能量為E1

=

-13.6evn2

n2這些結(jié)果顯然與玻爾的結(jié)論一致，但這是解方程的結(jié)果，無須人為地假設(shè),故這是一個(gè)自洽的理論體系。72、角動(dòng)量量子化氫原子核與電子之間的相互作用勢(shì)函數(shù)為U(r)=-ke2/r具有球?qū)ΨQ性，即具有轉(zhuǎn)動(dòng)不變性，由此可推知，電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也應(yīng)具有某種轉(zhuǎn)動(dòng)不變性，我們不妨把電子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的這種轉(zhuǎn)動(dòng)不變性想象為一種“軌道運(yùn)動(dòng)”（量子力學(xué)中沒有軌道）。(1)角量子數(shù)l解上述方程可得軌道角動(dòng)量的大小為L(zhǎng)

=

l

(

l

+

1)

即軌道角動(dòng)量

L

的大小是量子化的，式中

l

是角量子數(shù)。計(jì)算表明，當(dāng)主量子數(shù)n確定后,角量子數(shù)可取l=0.1.2.3

…

(n-1)角動(dòng)量L

共有

n

個(gè)分立的值這與玻爾理論不同,在玻爾理論中,L

=

n8(2)角動(dòng)量不同態(tài)的名稱由于在光譜學(xué)中常用s

p

d

f

…等字母分別表示l=0,1,2，3,…(n-1)電子的狀態(tài),現(xiàn)仍沿用這些稱號(hào)。例如，n=2,l=0,1就分別稱之為2s態(tài)和2

p態(tài)，其對(duì)應(yīng)關(guān)系詳見下節(jié)教材。(3)簡(jiǎn)并現(xiàn)象，簡(jiǎn)并態(tài),簡(jiǎn)并度上面計(jì)算表明，對(duì)應(yīng)于一個(gè)主量子數(shù)n,可有n個(gè)不同的l值，也就是說，在同一能級(jí)，電子可取n個(gè)不同的角動(dòng)量，電子可取若干個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這種現(xiàn)象稱作"簡(jiǎn)并"現(xiàn)象。簡(jiǎn)并態(tài):指不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的粒子，對(duì)應(yīng)于同一能級(jí)的狀態(tài)。簡(jiǎn)并度:指一個(gè)能級(jí)所能允許的不同狀態(tài)數(shù)。93、角動(dòng)量空間量子化索末菲認(rèn)為:玻爾的軌道平面，不僅軌道半徑是量子化的,而且軌道平面在空間的取向也是量子化的。即，軌道角動(dòng)量的大小是量子化的,而對(duì)于一個(gè)給定的角動(dòng)量

L

，其在

z

軸方向的投影

Lz

也是量子化的。計(jì)算表明：Lz

=

ml

ml

=

0,–1,–2......

–

lMl

稱為磁量子數(shù)，其決定了電子角動(dòng)量在空間的可能取向。對(duì)于一個(gè)給定的lml=0，

±

1，

±

2，...

±

l，這時(shí)

L

在空間可以有

(2l+1)

個(gè)可能取向。+10例：當(dāng)l=2時(shí)，L

與軸的夾角可有如圖的幾種形式。B,z=2-1-2210L

矢量永遠(yuǎn)不能與Z軸重合，而只能有某些分立的夾角。Lz與L是矢量的分量與矢量的模的關(guān)系,故|ml|￡l

。ml=0，±

1,±

2ml=0

，表示

L與

Z軸垂直,"±"表示

L

對(duì)

Z

軸正負(fù)向的投影,說明:

“Z

方向”的問題在氫原子中，電子在庫(kù)侖場(chǎng)中的勢(shì)函數(shù)具有球?qū)ΨQ性，因此可選取任何一個(gè)方向?yàn)閆軸。但當(dāng)原子處在外場(chǎng)中(磁場(chǎng)或電場(chǎng))時(shí)，球?qū)ΨQ被破壞，這時(shí)外場(chǎng)就是一個(gè)特殊方向，因此，一般選取外場(chǎng)方向?yàn)?/p>

Z

軸方向。11對(duì)于氫原子中的電子簡(jiǎn)并度在一個(gè)給定的能級(jí)n角動(dòng)量的大小是量子化的L

=

l(l

+1)l

=

0.1.2.......(n

-1)角動(dòng)量在z軸的分量Lz也是量子化的,Lz

=

ml

ml

=

0.

–

1.

–

2.......

–

l21

+

(2n-1)(2l

+1)

=n-1l

=0

2對(duì)應(yīng)于每一個(gè)能級(jí)有

n2

個(gè)簡(jiǎn)并態(tài)，n

=

n對(duì)應(yīng)于每一個(gè)電子狀態(tài),需要三個(gè)量子數(shù)n,

l,

ml來描述。那么，對(duì)應(yīng)于每一個(gè)能級(jí)En，電子可以取的狀態(tài)數(shù)有1222k22m(U

-

E)=

0

22k1

=2mE2

1

+

k1

Ψ1(x)

=

0dx2d2Ψ

(x)*.隧道效應(yīng)（勢(shì)壘貫穿）ⅡEU

(

x

)=

0x

≤0U

(

x

)=

U00≤

x

≤

aU

(

x

)=

0x

≥a22k1

=2mE22

2

2

+

k

Ψ

(x)

=

0dx2d2Ψ

(x)2

3

+

k1

Ψ3

(x)

=

0dx2d2Ψ

(x)13Ψ1(0)

=Ψ2

(0)x=0x=0dxdΨ1

=

dΨ2x=ax=adxdΨ2

=

dΨ3Ψ2

(a)

=Ψ3

(a)

dx

dxA1

B1

A2

B2

A3x

=

0

x

=

aik

x111-ik

x+

B

e11Ψ

(x)

=

Aeik

x113-ik

x+

B

e33Ψ

(x)

A

eik

x222-ik

x+

B

e22Ψ

(x)

=

A

e=x

=

0x

=

aR

=|

B

|2

/

|

A

|21

1T

=|

A |2

/

|

A |23

10aⅡEB3

=

014Ⅱ1

2

2

1

2(k

2

-

k

2

)sin

2

(k

a)

+

4k

2k

2(k

2

-

k

2

)2

sin

2

(k

a)R

=

1

2

2

1

2

2

1

24k

2k

2(k

2

-

k

2

)sin

2

(k

a)

+

4k

2k

2T

=

1

2

IIIIT

+

R

=

1討論E

>

U0

,

R≠0,IIIIE

<

U0

,

T≠0,III

—隧道效應(yīng)E15Tam粒子類型粒子能量勢(shì)壘高度勢(shì)壘寬度透射系數(shù)電子1eV2eV5×10-10m0.0241eV2eV2×10-10m0.51質(zhì)子1eV2eV2×10-10m3×10-38*.一維諧振子1.勢(shì)能函數(shù)U

(x)

=

1

kx2

=

1

mw

2

x22

2wmx162.定態(tài)薛定諤方程3.能量量子化)(n

=

0,1,

2,2En

=

(n

+

1)hn2F

''(x)

+

2m

(E

-

1

mw

2

x2

)F

(x)

=

02En=nhvEn=(n+1/2)hvE0=

0E0=

hv/2說明零點(diǎn)能17ee2mpr

2=Llm

=

-式中“－”表示μ與

L

反向一、塞曼效應(yīng)1、軌道磁矩的量子化根據(jù)電磁理論，繞核作軌道運(yùn)動(dòng)的電子，相當(dāng)于一個(gè)圓電流，其軌道磁矩μl

與軌道角動(dòng)量

L

之間存在如下關(guān)系：BLm

Le電子2pr

/

ve=Bell(l

+1)ml(l

+1)

=2mem

=式中叫波爾磁子。eB2mem

=m

=

ISmevr2mee§

25-7電子自旋18塞曼效應(yīng)是把原子置于外磁場(chǎng)中測(cè)量其發(fā)射光譜，發(fā)現(xiàn)原來無外磁場(chǎng)時(shí)的譜線分裂為幾條分立的譜線。原子從能級(jí)

Ei

躍遷到

Ef

發(fā)出的譜線頻率為軌道磁矩μl

在

z

軸方向的分量也是量子化的2、塞曼效應(yīng)h0Ei

-

E

fn

=當(dāng)原子在強(qiáng)磁場(chǎng)中進(jìn)行能級(jí)躍遷時(shí)，原子磁矩受到磁力矩作用，磁力矩所做的功,就轉(zhuǎn)換成磁矩和磁場(chǎng)的相互作用能

(即附加在每一能級(jí)的附加能)。根據(jù)量子力學(xué)理論可知，一條譜線在磁場(chǎng)中將分裂成三條，其頻率為

e

e+

4pm

Bn0e4pm0n

-

e

Bn0這和觀察到的結(jié)果完全一致。Bmz

=

ml

m但在很多情況下，觀察到的結(jié)果要比這復(fù)雜些，即每條譜線不是分裂成三條，而是更多，這種現(xiàn)象稱之為反常塞曼效應(yīng)。要解釋反常塞曼效應(yīng)，還須考慮電子的自旋角動(dòng)量和自旋磁矩。19spl=0l=1ml=1m

=0lml=-1在磁場(chǎng)中，一條譜線分裂成三條，這種效應(yīng)稱之為正常塞曼效應(yīng)。20測(cè)定原子磁矩的第一個(gè)實(shí)驗(yàn)是由德國(guó)科學(xué)家斯特恩與蓋拉赫于1921年完成的，他們所用裝置如圖所示斯特恩與蓋拉赫用幾種原子重復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，都發(fā)現(xiàn)原子束經(jīng)非均勻場(chǎng)后發(fā)生偏轉(zhuǎn)分裂的現(xiàn)象，這是因?yàn)樵拥拇啪夭煌?，因而受到的磁力不同，所以偏轉(zhuǎn)不同,這可以說明原子磁矩

(角動(dòng)量)在空間的取向是量子化的。可以證明，這個(gè)力的大小與磁矩和磁感應(yīng)強(qiáng)度的梯度乘積成正比,即基態(tài)銀原子束銀原子沉積SN非均勻磁場(chǎng)二、斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)21zez

lz?B?z

2m

?ze

?Bm

=

mzF

=但是實(shí)驗(yàn)結(jié)果又有與薛定諤方程不能定量相符之處。用處于基態(tài)的銀原子作實(shí)驗(yàn)時(shí)，由于l=0,故ml＝0，這時(shí)原子束不應(yīng)有分裂，但實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)銀原子束分裂成兩束后來，隨著光譜儀精度的提高，發(fā)現(xiàn)過去的每一條譜線，實(shí)際上是靠得很近的(即波長(zhǎng)很接近)的兩條譜線，這稱之為光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)?；鶓B(tài)銀原子束非均勻磁場(chǎng)銀原子沉積SN22根據(jù)量子力學(xué)理論，處于基態(tài)的原子l

=0

，\

L=

0，本身沒有軌道角動(dòng)量，也沒有磁矩，

m

=

(e

2me

)L，但實(shí)驗(yàn)測(cè)得有磁矩，且在空間是量子化的,這又如何解釋呢?1925年，荷蘭物理學(xué)家烏侖貝克和高斯米特,針對(duì)上述實(shí)驗(yàn)提出了電子自旋的假說：他們認(rèn)為，不能把電子看成一個(gè)簡(jiǎn)單的點(diǎn)電荷,電子除有繞核轉(zhuǎn)動(dòng)的軌道角動(dòng)量L(和軌道磁矩μl)之外，還有一個(gè)與繞核轉(zhuǎn)動(dòng)無關(guān)的,固有的自旋角動(dòng)量S(和自旋磁矩μs

)。斯特恩－蓋拉赫實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的磁矩正是自旋磁矩。這樣電子的自旋假說圓滿地解釋了斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)、光譜學(xué)中的精細(xì)結(jié)構(gòu)

(反常塞曼效應(yīng))。23一、自旋磁量子數(shù)自旋角動(dòng)量的大小為S

=

s(s

+

1)其中Ｓ是自旋量子數(shù)，它只能取一個(gè)值2S

=

13

2

2

2\

S

=

1

(1

+

1)

=自旋角動(dòng)量和自旋磁矩在外場(chǎng)方向上的投影為m

稱作自旋磁量子數(shù)sms

只能取±1/2兩個(gè)數(shù)，S

=

m

z

smsz

=

ms

mB實(shí)驗(yàn)證明這就說明電子自旋角動(dòng)量在外場(chǎng)的分量Sz，一個(gè)是順著外場(chǎng)，一個(gè)是逆著外場(chǎng)。24電子自旋及空間量子化S3S

=

22sm

=

-

11ms

=

2zO“自旋”不是宏觀物體的“自轉(zhuǎn)”只能說電子自旋是電子的一種內(nèi)部運(yùn)動(dòng)。25總起來,描述氫原子核外電子的狀態(tài)需要四個(gè)量子數(shù)：n

，l

，ml，ms1、主量子數(shù)

n

，

n

=1,2,3,…

其決定了氫原子能量的可能取值10(4pe

)2

(2h2

)me4En

=

-

n2２、角量子數(shù)(副量子數(shù))

lL

=

l(l

+

1)l

=0,1,2......(n

-1),

共n個(gè)３、磁量子數(shù)ml其決定了電子軌道角動(dòng)量在空間的可能取向L

=

m

z

l共

2l

+

1)個(gè)m

=

0,–1,–2,...

–

ll４、自旋磁量子數(shù)ms其決定了電子自旋角動(dòng)量在空間的取向Sz

=

ms

2sm

=–1

共２個(gè)其決定了電子軌道角動(dòng)量的可能取值26這樣對(duì)于同一個(gè)主量子數(shù)

n

，電子可能具有的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)數(shù)為2n2

個(gè)，對(duì)應(yīng)于同一主量子數(shù)

n

所具有的簡(jiǎn)并度為

2n2

。在薛定諤方程中，自旋是作為一個(gè)單獨(dú)的假設(shè)而引入的，不是方程本身所包含的，這是因?yàn)檠Χㄖ@方程沒有考慮相對(duì)論效應(yīng)；

1929年狄拉克建立了相對(duì)論性量子力學(xué)，在這個(gè)理論中,自然地證明了電子必定有一個(gè)固有自旋角動(dòng)量，這充分說明了實(shí)驗(yàn)推動(dòng)了理論的發(fā)展。進(jìn)一步的研究表明，對(duì)于中子、質(zhì)子、電子這些實(shí)物微觀粒子,它們具有?/2的奇數(shù)倍的自旋量子數(shù),它們稱為費(fèi)米子;而另一些

如光子、介子等,它們的自旋量子數(shù)為0或1，即有偶數(shù)個(gè)自旋量子數(shù)，它們被稱為波色子。27例1根據(jù)量子力學(xué)理論，氫原子中電子的動(dòng)量矩在外磁場(chǎng)方向上的投影為Ｌz＝ｍl?

當(dāng)角量子數(shù)

l

＝２時(shí)，Ｌz

的可能取值為

。答：０，1

，－1

，２，－２例2下列四組量子數(shù)：（１）ｎ＝３，l

＝２，ｍ

l

＝０，ｍ

s

＝

1/2

．（２）ｎ＝３，l

＝３，ｍ

l

＝１，ｍ

s

＝

1/2

．（３）ｎ＝３，l

＝１，ｍ

l

＝-１，ｍ

s

＝-1/2（４）ｎ＝３，l

＝０，ｍ

l

＝０，ｍ

s

＝-1/2

．其中可以描述原子中電子狀態(tài)的（Ａ）只有（１）和（３）．（Ｂ）只有（２）和（４）．（Ｃ）只有（１）、（３）和（４）．（Ｄ）只有（２）、（３）和（４）．答：［

c

］28例3根據(jù)泡利不相容原理，在主量子數(shù)ｎ＝２的電子殼層上最多可能有多少個(gè)電子？試寫出每個(gè)電子所具有的四個(gè)量子數(shù)

n

，

l

，ml

,ms

之值。答：在ｎ＝２的電子殼層上最多可能有８?jìng)€(gè)電子．）分別為它們所具有的四個(gè)量子數(shù)（

n

，l

，ml

,ms（１）

(２，０，０,1

／

2)

；（２）

(２，０，０,－

1

／

2)（３）

(２，１，０,1

／

2)

；（４）

(２，１，０,－

1

／

2)

；（５）

(２，１，１,1

／

2)

；（６）

(２，１，１,－

1

／

2)

；（７）;(２，１，－１,1

／

2)（８）

(２，１，－１,－

1

／

2)

．29例4鋰（Ｚ＝３）原子中含有３個(gè)電子，電子的量子態(tài)可用（

n

，

l，ml

,ms

）四個(gè)量子數(shù)來描述，若已知其中一個(gè)電子的量子態(tài)為（１，0，0，

1

／

2

），則其余兩個(gè)電子的量子態(tài)分別為（

）和（

）１，０，０，－

1

／

2２，０，０，1

／2

或２，０，０，－1

／2*例5鈷（Ｚ＝27）有兩個(gè)電子在4s

態(tài)，沒有其它ｎ≥４的電子，則3d態(tài)的電子可有

個(gè)．解：有[7]個(gè)；參考解，鈷的電子組態(tài)為

1

s2

2

s2

2

p6

3

s2

3

p6

3

d7

4

s230堿金屬原子能級(jí)和分子能級(jí)簡(jiǎn)介一.堿金屬原子能級(jí)1.原子實(shí)的極化原子實(shí)的極化與l有關(guān)2.軌道貫穿軌道貫穿也與l

有關(guān)313.量子數(shù)虧損堿金屬原子的能級(jí)(eV)D

nl

為量子數(shù)虧損1Enl

=

-13.6nl(n-D

)2二.分子能級(jí)簡(jiǎn)介分子能級(jí)E＝E電子＋E振動(dòng)＋E轉(zhuǎn)動(dòng)能級(jí)間隔

1.電子能級(jí)DE電子>DE振動(dòng)>DE轉(zhuǎn)動(dòng)由分子的電子能級(jí)間發(fā)生躍遷，光譜在可見區(qū)和紫外區(qū)。322.振動(dòng)能級(jí)

2

nE

=

n+1

w

,

n

=

0,1,2振動(dòng)光譜在近紅外區(qū)3.轉(zhuǎn)動(dòng)能級(jí)?L?2H

=

2II代表分子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2EL＝2I

L(L＋1)轉(zhuǎn)動(dòng)光譜在遠(yuǎn)紅外和微波區(qū)三.分子光譜的帶狀結(jié)構(gòu)C2分子的一個(gè)光譜帶系粗結(jié)構(gòu)紅紫33取離散值SNSNz一.斯特恩—革拉赫實(shí)驗(yàn)電子自旋 四個(gè)量子數(shù)ZdzF

=

m

dB34FμZdBF

=

mz

dzμeem

=

-

2m

L空角間動(dòng)量量子化SN