矩陣初等變換及應(yīng)用

PAGEPAGE5第二行元素共輪換過3次，所以最大公因式為。例2求多項(xiàng)式，，的最大公因式。解構(gòu)造三行矩陣并進(jìn)行初等行變換所以。3.2求逆矩陣解矩陣方程3.2.1可逆矩陣定義若對(duì)級(jí)矩陣有級(jí)矩陣使則稱是可逆的，稱為的可逆矩陣。其中為級(jí)單位矩陣。3.2.2初等變換求逆的原理和步驟由于可逆矩陣可表示為一系列初等矩陣的乘積，故由有因此有如下求逆步驟（1）構(gòu)造的矩陣；（2）對(duì)上述矩陣實(shí)行初等行變換，當(dāng)用初等行變換把化為單位陣，則的位置變成的逆矩陣，即需要指出的是在此過程中只能用初等行變換。如果用列變換，則需把置于的下方變成矩陣且只能使用列變換把化為單位矩陣，同時(shí)化為的逆矩陣，即利用與求逆矩陣相同的原理，矩陣初等變換可用于解矩陣方程。3.2.2計(jì)算舉例例1求A=的逆矩陣。解構(gòu)造矩陣，由得=例2設(shè)=，=，求使得解構(gòu)造矩陣并實(shí)施初等行變換==得==3.3求解線性方程組3.3.1有關(guān)概念與結(jié)論考慮元線性方程組并記，，則得方程組的矩陣形式。稱一下三種變換：用一非零的數(shù)乘以某方程；把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程；互換兩個(gè)方程的位置；為線性方程組的初等變換。利用方程組的初等變換求解線性方程組的過程的矩陣描述即為對(duì)系數(shù)矩陣或者增廣矩陣進(jìn)行初等行變換的過程。有關(guān)結(jié)論（1）有解，且當(dāng)時(shí)，有唯一解；當(dāng)時(shí)，有無窮多解。（2）恒有解，當(dāng)時(shí)，有唯一零解；當(dāng)時(shí)，有非零解。3.3.2例1求解齊次線性方程組解對(duì)方程組的系數(shù)矩陣矩陣施行初等行變換同解的方程組其中，為自由未知量，設(shè)（為任意實(shí)數(shù)）則通解為。例2求解非齊次線性方程組解對(duì)增廣矩陣施行初等行變換=，所以方程組有無窮多解。同解方程組，為自由未知量，方程組的通解=+，為任意實(shí)數(shù)。3.4判定向量組的線性關(guān)系求向量組的極大無關(guān)組3.4.1基本概念定義1（線性相關(guān)和線性無關(guān)）設(shè)有向量組，如果有不全為0的一組數(shù)，使稱向量組線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān)。定義2（線性組合和線性表出）設(shè)有向量組及向量，若有數(shù)，使稱向量為向量組的線性組合，也稱可由線性表出。定義3（向量組等價(jià)）設(shè)有向量組及，如果中的每一個(gè)向量都可以有向量組線性表出，那么稱向量組可由向量組線性表出；如果與可以互相線性表出，稱他們?yōu)榈葍r(jià)。定義4（極大無關(guān)組）如果一個(gè)向量組的部分組本身是線性無關(guān)的，并且從這向量組中任意添一個(gè)向量（如果還有的話），所得的向量組都線性相關(guān)，則向量組的這個(gè)部分組稱為一個(gè)極大線性無關(guān)組。3.4.2有關(guān)結(jié)論（1）向量組線性相關(guān)線性方程組有非零解；向量組線性無關(guān)線性方程組只有零解。（2）可由線性表出有解。因此，可以利用初等變換解決向量組的線性相關(guān)性判定、求極大無關(guān)組的問題。 3.4.3計(jì)算舉例例求向量組，，，的極大無關(guān)組及秩，并把其余向量用極大無關(guān)組線性表示。解令，對(duì)施行矩陣初等行變換，得=故，是，，，的一個(gè)極大無關(guān)組，且=+，=+。3.5化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型3.5.1基本概念定義1（二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型）設(shè)是一數(shù)域，一個(gè)系數(shù)在數(shù)域中的的二次齊次多項(xiàng)式=稱為數(shù)域上的一個(gè)元二次型，簡(jiǎn)稱二次型。僅含平方項(xiàng)的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)型。定義2（二次型的矩陣表示）記=，，則=稱為二次型的矩陣（）。定義3（合同矩陣）對(duì)數(shù)域上有矩陣、，若有數(shù)域上可逆矩陣，使，稱矩陣與合同。3.5.2有關(guān)結(jié)論（1）數(shù)域上任意一個(gè)元二次型都可以經(jīng)過非退化的線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)型。（2）任意一個(gè)對(duì)稱矩陣合同于對(duì)角矩陣。3.5.3用初等變換法把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，是對(duì)矩陣施行初等列變換的同時(shí)對(duì)施以相應(yīng)的行變換，當(dāng)矩陣化為對(duì)角陣時(shí)，單位矩陣就化為所要求的非退化變換矩陣。即3.5.4計(jì)算舉例例用初等變換法化二次型為規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出相應(yīng)的非退化線性變換。解二次型的矩陣=，由=得的標(biāo)準(zhǔn)型為，所用的非退化線性變換為，其中=。3.6求空間的基3.6.1基本概念定義1（線性空間）設(shè)是一個(gè)非空集合，是一個(gè)數(shù)域。對(duì)于中任意兩個(gè)元素和，在中都有唯一的一個(gè)元素和它們對(duì)應(yīng)，稱為和的和，記為=+，這種代數(shù)運(yùn)算，叫做加法；對(duì)于任意數(shù)域中任一數(shù)與中任一元素，在中都有唯一的一個(gè)元素與它們對(duì)應(yīng)，稱為與的數(shù)量乘積，記為=，這種代數(shù)運(yùn)算，叫做數(shù)量乘法。如果加法與數(shù)量乘法滿足以下規(guī)則（1）+=+（2）（+）+=+（+）（3）在中有一個(gè)元素0，對(duì)于中任一元素都有+0=（這個(gè)元素稱為的零元素）（4）對(duì)于中每一個(gè)元素，都有中的元素，使得+=0（稱為的負(fù)元素）（5）1=（6）（）=（）（7）（+）=+（8）（+）=+稱為數(shù)域上的線性空間。定義2（基與維數(shù)）如果在線性空間中有個(gè)線性無關(guān)的向量,沒有更多數(shù)目的線性無關(guān)的向量,那么就稱是維的。在維線性空間中，個(gè)線性無關(guān)的向量稱為的一組基。易知，如果在線性空間中有個(gè)向量線性無關(guān),且中任一向量都可以由它們線性表出,那么是維的,就是的一組基；在線性空間中,如果向量組線性無關(guān),而，線性相關(guān),則向量可以由線性表出,且表示法唯一。定義3（生成子空間）設(shè)是線性空間中的一組向量，則這組向量所有可能的線性組合所成的集合是非空的，而且對(duì)兩種運(yùn)算封閉，因而是的一個(gè)子空間，叫做的生成子空間，記為。定義4（子空間的交與和）設(shè)，是線性空間的兩個(gè)子空間，所謂與的交，是指所有同時(shí)存在與和的元素，記為；所謂與的和，是指由所有能表示成，（，）的向量組合的子集合，記為+。如果，是線性空間的兩個(gè)子空間，那么他們的交與和+也是的子空間，分別稱為交子空間與和子空間。定義5（正交補(bǔ)空間）設(shè)，是歐氏空間的兩個(gè)子空間，如果對(duì)于任意的屬于，屬于恒有（，）=0則稱，為正交的，記為。如果，并且+=，子空間稱為的一個(gè)正交補(bǔ)。定義6（特征子空間）設(shè)是的線性變換，，則是的子空間，稱為的特征子空間。是的不變子空間。定義7（線性變換的值域和核）設(shè)是線性空間V的一個(gè)線性變換，集合稱為線性變換的值域也記做或者；集合稱為線性變換的核，也記作。3.6.2計(jì)算舉例例已知，并記，，，，，，，，即。（1）求的解空間的基；（2）求的零特征值的特征子空間的基；（3）設(shè)，求的基；（4）求的極大無關(guān)組；（5）定義線性變換，求的基；（6）求（5）中線性變換的值域的基。解（1）空間的基即為的基礎(chǔ)解系。由得的基礎(chǔ)解系為，所求基為；（2）當(dāng)?shù)臅r(shí)候，=，即所求空間的基為的基礎(chǔ)解系，所以基為；（3）由題意由=，（=1，2，3，4），即=0，即，所以的基為；（4）由可得，的極大無關(guān)組為；（5）由核的定義知，，所求基為；（6），而=所以的基為的列向量組的極大無關(guān)組對(duì)應(yīng)的的極大無關(guān)組,即基為。其中，，，。矩陣初等變換在實(shí)際問題中的應(yīng)用矩陣初等變換不僅可以用于解決高等代數(shù)計(jì)算問題，在現(xiàn)實(shí)生活中，也有許許多多的問題可以用矩陣初等變換來解決。例現(xiàn)有一個(gè)木工、一個(gè)電工、一個(gè)油漆工，三人相互同意彼此裝修他們自己的房子，在裝修之前，他們達(dá)成了如下協(xié)議每人總共只工作10天（包括給自己家干活在內(nèi)）;每人的工資根據(jù)一般的市價(jià)在60—80之間;每人的日工資數(shù)似的每人的總收入與總支出相等。表1是他們協(xié)商后制定出的工作天數(shù)的分配方案，如何計(jì)算他們應(yīng)得的工資？表1各工種工作天數(shù)天數(shù)木工電工油漆工在木工家工作天數(shù)216在電工家工作天數(shù)451在油漆工家工作天數(shù)443解設(shè)木工、電工、油漆工的工資分別為，由題意得即對(duì)系數(shù)矩陣作初等行變換,得其同解方程組為得即=（），當(dāng)時(shí)，。5結(jié)語本文主要對(duì)矩陣初等變換的作用作了簡(jiǎn)單的介紹。通過對(duì)一些概念的表述和部分原理的推導(dǎo)，用矩陣的初等變換解決了高等代數(shù)計(jì)算中的多種問題以及現(xiàn)實(shí)生活中的一些問題，并通過解決這些問題進(jìn)一步說明了矩陣初等變換的作用。本文的突出點(diǎn)是對(duì)矩陣初等變換解決問題的方法進(jìn)行了詳細(xì)的闡述，簡(jiǎn)單明了，并將能解決的各種問題加以分類和歸納，比各種代數(shù)書籍更為具體。參考文獻(xiàn)[1]高吉全.矩陣初等變換的方法和應(yīng)用研究[M].北京:中國工人出版社,2000:96-108[2]王萼芳,石生明修訂.高等代數(shù)[M].(第三版).北京:高等教育出版社,2003:12-18[3]張文博等譯.線性代數(shù)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2007:66-76[4]李志斌.線性代數(shù)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2006:80-96[5]蔡若松,張莉.初等變換淺議[J].遼寧工學(xué)院學(xué)報(bào).2002.(22):63-65[6]凌征求.矩陣初等變換的幾個(gè)應(yīng)用[J].玉林師范學(xué)院學(xué)報(bào).2001.(22):37-40[7]鄧建松等譯.Mathematica使用指南[M].科學(xué)出版社,2002[8]劉水強(qiáng)，王紹恒.利用矩陣行變換求解方程組[J].重慶三峽學(xué)院學(xué)報(bào).2001.(05):42-45[9]楊民生.矩陣初等變換的應(yīng)用[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）.1995.(03):55-58[10]王玲.初等變換與可逆矩陣[J].錦州師范學(xué)院（自然科學(xué)版）.2000.(02):39-42[11]歐啟通.矩陣初等變換的應(yīng)用[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）.2007.(03):55-60[12]謝芳.矩陣初等變換的若干應(yīng)用[J].紹通師范?？茖W(xué)院學(xué)報(bào).2004.(02）:21-25[13]譚軍.矩陣初等變換的一些性質(zhì)和應(yīng)用[J].鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院學(xué)報(bào).2002.（24）:50-54[14]FENGTian-xiang,TANMing-shu.Applicationsofelementarytransformationinmatrixcomputation[J].黑龍江大學(xué)自然科學(xué)報(bào).2004.(04):23-27[15]XIONGHui-jun.ACriterionforthePositivedefinitenessofaBlock-MatrixandItsApplications[J].湖南文理學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）2006.（04）:33-36附錄：開題報(bào)告矩陣初等變換及應(yīng)用1選題背景在線性方程組的討論中可以發(fā)現(xiàn)，線性方程組的一些重要性質(zhì)反映在它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的性質(zhì)上，并且解方程組的過程也表現(xiàn)為變換這些矩陣的過程。此外，還有大量的各種各樣的，表面上看完全沒有聯(lián)系的問題的解決,都可以通過相同的方法實(shí)現(xiàn)：矩陣的初等變換。因此矩陣初等變換就成為極其重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。1．1研究的目的和意義在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用中，矩陣?yán)碚撌歉叩却鷶?shù)的重要組成部分，矩陣初等變換方法更是貫穿高等代數(shù)理論的始終。應(yīng)用初等變換證明命題過程容易被接受，同時(shí)也是解決高等代數(shù)相關(guān)計(jì)算問題最直接、便利、有效的方法。因此，對(duì)矩陣初等變換方法及應(yīng)用進(jìn)行探討，無疑是十分必要和重要的。目前，已有許多文獻(xiàn)涉及到該問題的討論，研讀現(xiàn)有文獻(xiàn)，吸取精華，在深刻理解矩陣初等變換內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，理論分析與實(shí)例應(yīng)用相結(jié)合，討論、挖掘矩陣初等變換在解決高等代數(shù)相關(guān)問題中的作用，如：解線性方程組、求向量組的極大無關(guān)組和線性關(guān)系、求逆矩陣和解矩陣方程、求解空間（特征子空間、生成子空間）的基、求交子空間（和子空間、核子空間、正交補(bǔ)空間）的基、求多項(xiàng)式的最大公因式、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型等，使矩陣初等變換方法的威力作用得以充分展示。1．2研究方法目前，有許多文獻(xiàn)涉及到對(duì)矩陣初等變換方法該的討論，但比較零散。在研讀文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，深刻理解矩陣初等變換的內(nèi)涵，采用理論分析與實(shí)例應(yīng)用相結(jié)合的方法，討論、挖掘矩陣初等變換在解決高等代數(shù)相關(guān)問題中的作用，如：解線性方程組、求向量組的極大無關(guān)組和線性關(guān)系、求逆矩陣和解矩陣方程、求解空間（特征子空間、生成子空間）的基、求交子空間（和子空間、核子空間、正交補(bǔ)空間）的基、求多項(xiàng)式的最大公因式、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型等，使矩陣初等變換方法的威力作用得以充分展示。2文章結(jié)構(gòu)論文總共分為五個(gè)部分。其中第一部分為導(dǎo)言，主要介紹選題的背景；第二部分介紹矩陣初等變換方法及有關(guān)性質(zhì)；第三部分為矩陣初等變換在高等代數(shù)相關(guān)問題中的應(yīng)用，如求多項(xiàng)式的最大公因式、解線性方程組、求向量組的極大無關(guān)組和線性關(guān)系、求逆矩陣和解矩陣方程、求解空間（特征子空間、生成子空間、核子空間、正交補(bǔ)空間）的基、化二次型等；第四部分為實(shí)際應(yīng)用問題；第五部分為文章的結(jié)束語，簡(jiǎn)要概括論文的工作。具體框架如下：1導(dǎo)言2矩陣及其初等變換2.1矩陣定義2.2矩陣的初等變換及初等矩陣2.3矩陣初等變換的若干性質(zhì)3矩陣初等變換在高等代數(shù)計(jì)算問題中的應(yīng)用3.1.求多項(xiàng)式的最大公因式矩陣初等變換與線性方程組的求解密不可分，不僅給解線性方程組帶來了極大方便，同時(shí)也發(fā)展和完善了矩陣?yán)碚摫旧?，極大豐富了矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用領(lǐng)域。首先定義多項(xiàng)式矩陣的行初等變換，然后利用多項(xiàng)式的基本性質(zhì)推廣定理，給出利用矩陣的初等行變換求多項(xiàng)式的最大公因式計(jì)算實(shí)例．3.2求逆矩陣解矩陣方程首先給出可逆矩陣定義，其次闡述矩陣初等變換求逆的原理和步驟：由于可逆矩陣可表示為一系列初等矩陣的乘積，故有有有如下求逆步驟構(gòu)造的矩陣對(duì)上述矩陣實(shí)施初等行變換，當(dāng)用初等變換把化為單位陣，則的位置變成的逆矩陣，即，同時(shí)有最后給出計(jì)算實(shí)例。3.3求解線性方程組考慮元線性方程組首先介紹線性方程組的初等變換的概念，其次闡述方程組解的情況（齊次、非奇次），最后以實(shí)例實(shí)現(xiàn)矩陣初等變換解方程組的方法。3.4判定向量組的線性關(guān)系求向量組的極大無關(guān)組首先闡述有關(guān)概念，如線性相關(guān)和線性無關(guān)、線性組合和線性表出、向量組等價(jià)、極大無關(guān)組等，其次給出有關(guān)結(jié)論及原理，如（1）向量組線性相關(guān)線性方程組有非零解向量組線性無關(guān)線性方程組有唯一零解。（2）可由線性表出有解最后給出計(jì)算實(shí)例。3.5化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型首先闡述有關(guān)概念，如二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型；其次給出有關(guān)理論，如（1）數(shù)域上任意一個(gè)元二次型都可以經(jīng)過非退化的線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)型。（2）任意一個(gè)對(duì)稱矩陣合同與對(duì)角矩陣。最后給出計(jì)算原理及實(shí)例。求解空間的基闡述有關(guān)概念，如給出有關(guān)理論，如線性空間、解空間、特征子空間、生成子空間、核子空間、正交補(bǔ)空間、線性變換的至于與核等；給出綜合計(jì)算實(shí)例。4實(shí)際問題舉例5結(jié)語論文工作的簡(jiǎn)要說明。4參考文獻(xiàn)綜述大多數(shù)的參考文獻(xiàn)，要么只有矩陣的初等變換在部分方面的應(yīng)用，要么就是對(duì)初等變換在各方面的應(yīng)用一筆帶過，顯得過于簡(jiǎn)單。本文將綜合討論矩陣初等變換在解決高等代數(shù)相關(guān)問題中的應(yīng)用，凸現(xiàn)矩陣初等變換方法的威力作用。5工作計(jì)劃2007年11月--2008年2月中旬：檢索文獻(xiàn)、查閱資料、收集課題所需中外文素材；2008年3月--2008年4月中旬：進(jìn)一步收集素材、篩選信息，完成畢業(yè)論文寫作的初步思想，完成開題報(bào)告。結(jié)合畢業(yè)論文題目翻譯英文參考資料2008年4月中旬—2007年5月初：完成畢業(yè)論文初稿，送指導(dǎo)教師審閱;.2008年5月初—2007年5月底：修改、完善初稿,完成論文，準(zhǔn)備畢業(yè)答辯。5參考文獻(xiàn)[1]高吉全.矩陣初等變換的方法和應(yīng)用研究[M].北京:中國工人出版社,2000:96-108[2]王萼芳,石生明修訂.高等代數(shù)[M].(第三版).北京:高等教育出版社,2003:12-18[3]張文博等譯.線性代數(shù)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2007:66-76[4]李志斌.線性代數(shù)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2006:80-96[5]蔡若松,張莉.初等變換淺議[J].遼寧工學(xué)院學(xué)報(bào).2002.(22):63-65[6]凌征求.矩陣初等變換的幾個(gè)應(yīng)用[J].玉林師范學(xué)院學(xué)報(bào).2001.(22):37-40[7]鄧建松等譯.Mathematica使用指南[M].科學(xué)出版社,2002[8]劉水強(qiáng)，王紹