第二章 §2.2 第1課時　基本不等式-高中數學人教A版必修一 課件（共30張PPT）

第1課時基本不等式第二章

§2.2基本不等式學習目標1.了解基本不等式，理解基本不等式的推導過程.(難點)2.能夠應用基本不等式解決簡單的最值問題.(難點)導語一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店里購買10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你覺得店主這個買賣做到誠信無欺了嗎？為解決這個問題，我們一起進入今天的課堂吧！一、基本不等式的證明與理解二、求簡單代數式的最值三、最值定理隨堂演練內容索引基本不等式的證明與理解

一問題1

如圖是不等式第一節(jié)課我們抽象出來的在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，你還記得我們得出什么樣的結論嗎？實際上該不等式對任意的實數a，b都能成立，我們稱該不等式為重要不等式.問題3上述不等式是在重要不等式基礎上轉化出來的，是否對所有的a>0，b>0都能成立？請給出證明.提示方法一

(作差法)方法二

(利用不等式性質證明)方法三(利用幾何意義證明)如圖，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC＝a，BC＝b，過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD，顯然，當且僅當點C與圓心重合，即當a＝b時，上述不等式的等號成立，由此也可以得出圓的半徑不小于半弦.知識梳理基本不等式：(2)兩個正數的算術平均數

它們的幾何平均數.a＝b算術不小于注意點：求簡單代數式的最值

二例1故原式的最大值為－4.A.1

B.2

C.3

D.4√當且僅當a＝2時取“＝”.反思感悟在利用基本不等式求最值時要注意三點一是各項均為正；二是尋求定值，求和式的最小值時應使積為定值(恰當變形，合理拆分項或配湊因式是常用的解題技巧)；三是考慮等號成立的條件是否具備，檢驗多項式取得最值時的x的值是否為已知范圍內的值，三點缺一不可.跟蹤訓練1

(1)(多選)下面四個推導過程正確的有√√B中，∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的條件，－1∵x<3，則3－x>0，最值定理

三問題4你能寫出基本不等式的幾種變形嗎？由此我們發(fā)現若兩個正數的和為定值，我們可以求這兩個數乘積的最大值，若兩個數的乘積為定值，我們可以求這兩個數和的最小值.知識梳理最值定理已知x，y都為正數，則(1)如果積xy等于定值P，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值

；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值

，簡記為：積定和最

，和定積最

.小大注意點：(1)三個關鍵點：一正、二定、三相等.①一正：各項必須為正；②二定：各項之和或各項之積為定值；③三相等：必須驗證取等號時的條件是否具備.(2)探求過程中常需依據具體的問題進行合理的拆項、湊項、配項等變換.例2

(1)設x>0，y>0，且x＋y＝18，則xy的最大值為A.80

B.77

C.81

D.82√因為x>0，y>0，當且僅當x＝y(tǒng)＝9時，(xy)max＝81.(2)已知0<x<1，則y＝x(1－x)的最大值為____.反思感悟通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實質在于“拼”系數、“湊”常數，應注意以下幾個方面：①拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數的變化以及等式中常數的調整，做到等價轉換；②代數式的變形以拼湊出和或積的定值為目標；③拆項、添項應注意檢驗“一正二定三相等”.跟蹤訓練2

(1)若m>0，n>0，mn＝9，則m＋n的最小值是√因為m>0，n>0，mn＝9，當且僅當m＝n＝3時，等號成立.(2)當0＜x＜4時，求3x(4－x)的最大值.∵0＜x＜4，∴4－x＞0，當且僅當x＝2時，等號成立，∴3x(4－x)的最大值為12.課堂小結1.知識清單：(1)基本不等式的推導與證明.(2)