【三套打包】濱州市人教版初中數學八年級下冊第十七章勾股定理單元試題含答案

人教版初中數學八年級下冊第十七章勾股定理檢測試題一、選擇題（每小題3分，共30分）1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD是AB邊上的中線，則CD的長是（）A．20 B．10 C．5 D．2.下列四組線段中，可以構成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．4，5，6 C．1.5，2，2.5 D．1，，33.如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則它至少要飛行（）米．A．10B．9 C．8 D．114.等腰三角形的底邊長為6，底邊上的中線長為4，它的腰長為（）A．7 B．6 C．5 D．45.如圖，OP=1，過P作PP1⊥OP，得OP1=；再過P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又過P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依次法繼續(xù)作下去，得OP2019的值等于（）A． B． C． D．第1題圖第3題圖第5題圖第7題圖6.已知直角三角形的兩邊長分別是5和12，則第三邊為（）A．13 B． C．13或 D．不能確定7.如圖，平安路與幸福路是兩條平行的道路，且與新興大街垂直，老街與小米胡同垂直，書店位于老街與小米胡同的交口處，如果小強同學站在平安路與新興大街的交叉路口，準備去書店，按圖中的街道行走，最近的路程為（）m．A．600 B．400 C．2000 D．5008.中國數學史上最先完成勾股定理證明的數學家是公元3世紀三國時期的趙爽，他為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是用八個全等的直角三角形拼接而成．將圖中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面積分別記為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=18，則正方形EFGH的面積為（）A．9 B．6 C．5 D．第8題圖第9題圖第10題圖9.如圖，修公路遇到一座山，于是要修一條隧道．為了加快施工進度，想在小山的另一側同時施工．為了使山的另一側的開挖點C在AB的延長線上，設想過C點作直線AB的垂線L，過點B作一直線（在山的旁邊經過），與L相交于D點，經測量∠ABD=135°，BD=800米，則直線L上距離D點C處開挖的長度是（）。A．400 B．400C．500 D.50010.如圖，一只螞蟻從長、寬都是4，高是6的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線的長是（）A．9 B．10 C． D．二、填空題（每小題4分，共24分）11.三個正方形的面積如圖所示，則字母B所代表的正方形的面積是．12.如圖，已知OA=OB，那么數軸上點A所表示的數是．13.如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點．若AD=6，DE=5，則CD的長等于．第11題圖第12題圖第13題圖14.直角三角形中，兩直角邊長分別為12和5，則斜邊中線長是．15.一架方梯AB長25米，如圖所示，斜靠在一面上，梯子底端離墻7米。如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動了米.第15題圖第16題圖16.如圖，一透明的圓柱體玻璃杯，從內部測得底部直徑為6cm，杯深8cm．今有一根長為16cm的吸管如圖放入杯中，露在杯口外的長度為h，則h的變化范圍是：．三、解答題（17-19每題8分，20每題10分，21題12分，共46分）17.如圖四邊形ABCD是一塊草坪，量得四邊長AB=3m，BC=4m，DC=12m，AD=13m，∠B=90°，求這塊草坪的面積．18.在解答“判斷由長為、2、的線段組成的三角形是不是直角三角形”一題中，小明是這樣做的解：設a=，b=2，c=，又因為a2+b2=（）2+22=≠=c2．所以由a、b、c組成的三角形不是直角三角形，你認為小明的解答正確嗎？請說明理由．19.如圖，在一棵樹的10米高B處有兩只猴子，其中一只爬下樹走向離樹20米的池塘C，而另一只爬到樹頂D后直撲池塘C，結果兩只猴子經過的距離相等，問這棵樹有多高？20.a，b，c為三角形ABC的三邊，且滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，試判別這個三角形的形狀．21.如圖，由5個邊長為1的正方形組成一個“十”字形，一共有12個頂點，要求：從這12點中取出4個點，直接在圖中連出不同大小的正方形，并寫出相應的正方形的邊長．（1）圖1邊長是；（2）圖2邊長是．22.如圖1，有一組平行線l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四個頂點A、B、C、D分別在l1、l2、l3、l4上，過點D作DE⊥l1于點E．已知相鄰兩條平行線之間的距離為2．（1）求AE及正方形ABCD的邊長；（2）如圖2，延長AD交l4于點G，求CG的長度．參考答案：一、選擇題（每小題3分，共30分）1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD是AB邊上的中線，則CD的長是（）A．20 B．10 C．5 D．【考點】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線．【分析】在Rt△ABC中，根據勾股定理求得AB=10；然后根據直角三角形斜邊上的中線的性質來求CD的長度．【解答】解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB===10．又∵CD是AB邊上的中線，∴CD=AB=5．故選：C．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線、勾股定理．在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）．2.下列四組線段中，可以構成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．4，5，6 C．1.5，2，2.5 D．1，，3【考點】勾股定理的逆定理．【分析】三角形三邊滿足兩個較小邊的平方和等于較大邊的平方，這個三角形就是直角三角形．【解答】解：A、22+32≠42，不能作為直角三角形的三邊長，故本選項不符合題意．B、42+52≠62，不能作為直角三角形的三邊長，故本選項不符合題意．C、1.52+22=2.52，能作為直角三角形的三邊長，故本選項符合題意．D、12+（）2≠32，不能作為直角三角形的三邊長，故本選項不符合題意．故選C．【點評】本題考查勾股定理的逆定理，關鍵知道兩個較小邊的平方和等于較大邊的平方，這個三角形就是直角三角形．3.如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則它至少要飛行（）米．A．10B．9 C．8 D．11【考點】勾股定理的應用．【分析】從題目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．【解答】解：過點D作DE⊥AB于E，連接BD．在Rt△BDE中，DE=8米，BE=8﹣2=6米．根據勾股定理得BD=10米．故選A。4.等腰三角形的底邊長為6，底邊上的中線長為4，它的腰長為（）A．7 B．6 C．5 D．4【考點】勾股定理；等腰三角形的性質．【專題】壓軸題．【分析】根據等腰三角形的性質可知BC上的中線AD同時是BC上的高線，根據勾股定理求出AB的長即可．【解答】解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC上的中線，∴BD=CD=BC=3，AD同時是BC上的高線，∴AB==5，故選C．【點評】本題考查勾股定理及等腰三角形的性質．解題關鍵是得出中線AD是BC上的高線，難度適中．5.如圖，OP=1，過P作PP1⊥OP，得OP1=；再過P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又過P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依次法繼續(xù)作下去，得OP2019的值等于（）A． B． C． D．【考點】勾股定理．【分析】首先根據勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的長度找到規(guī)律進而求出OP2016的長．【解答】解：由勾股定理得：OP1=，OP2=，OP3==2，…；依此類推可得：OPn=，∴OP2019=，故選：D．第1題圖第3題圖第5題圖第7題圖6.已知直角三角形的兩邊長分別是5和12，則第三邊為（）A．13 B． C．13或 D．不能確定【考點】勾股定理．【分析】本題已知直角三角形的兩邊長，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，所以求第三邊的長必須分類討論，即12是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解．【解答】解：當12是斜邊時，第三邊長==；當12是直角邊時，第三邊長==13；故第三邊的長為：或13．故選C．7.如圖，平安路與幸福路是兩條平行的道路，且與新興大街垂直，老街與小米胡同垂直，書店位于老街與小米胡同的交口處，如果小強同學站在平安路與新興大街的交叉路口，準備去書店，按圖中的街道行走，最近的路程為（）m．A．600 B．400 C．2000 D．500【考點】勾股定理的應用．【分析】由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由題意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可證△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根據圖可知從B到E的走法有兩種，分別計算比較即可．【解答】解：如右圖所示，∵BC∥AD，∴∠DAE=∠ACB，又∵BC⊥AB，DE⊥AC，∴∠ABC=∠DEA=90°，又∵AB=DE=400m，∴△ABC≌△DEA，∴EA=BC=300m，在Rt△ABC中，AC==500m，∴CE=AC﹣AE=200m，從B到E有兩種走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m，∴最近的路程是500m．故答案是：500．【點評】本題考查了平行線的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理．解題的關鍵是證明△ABC≌△DEA，并能比較從B到E有兩種走法．8.中國數學史上最先完成勾股定理證明的數學家是公元3世紀三國時期的趙爽，他為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是用八個全等的直角三角形拼接而成．將圖中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面積分別記為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=18，則正方形EFGH的面積為（）A．9 B．6 C．5 D．【考點】勾股定理的證明．【分析】據圖形的特征得出四邊形MNKT的面積設為x，將其余八個全等的三角形面積一個設為y，從而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．【解答】解：將四邊形MTKN的面積設為x，將其余八個全等的三角形面積一個設為y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，S1+S2+S3=18，∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，∴S1+S2+S3=3x+12y=18，故3x+12y=18，x+4y=6，所以S2=x+4y=6，即正方形EFGH的面積為6．故選：B．【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，根據已知得出用x，y表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3=18求出是解決問題的關鍵．第8題圖第9題圖第10題圖9.如圖，修公路遇到一座山，于是要修一條隧道．為了加快施工進度，想在小山的另一側同時施工．為了使山的另一側的開挖點C在AB的延長線上，設想過C點作直線AB的垂線L，過點B作一直線（在山的旁邊經過），與L相交于D點，經測量∠ABD=135°，BD=800米，則直線L上距離D點C處開挖的長度是（）。A．400 B．400C．500 D.500【考點】勾股定理的應用．【分析】首先證明△BCD是等腰直角三角形，再根據勾股定理可得CD2+BC2=BD2，然后再代入BD=800米進行計算即可．【解答】解：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°，∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°，∴∠D=45°，∴CB=CD，在Rt△DCB中：CD2+BC2=BD2，2CD2=8002，CD=400（米），答：直線L上距離D點400米的C處開挖．【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．10.如圖，一只螞蟻從長、寬都是4，高是6的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線的長是（）A．9 B．10 C． D．【考點】平面展開-最短路徑問題．【分析】將長方體展開，得到兩種不同的方案，利用勾股定理分別求出AB的長，最短者即為所求．【解答】解：如圖（1），AB==；如圖（2），AB===10．故選B．二、填空題（每小題4分，共24分）11.三個正方形的面積如圖所示，則字母B所代表的正方形的面積是144．【考點】勾股定理．【分析】在本題中，外圍正方形的面積就是斜邊和一直角邊的平方，實際上是求另一直角邊的平方，用勾股定理即可解答．【解答】解：如圖，根據勾股定理我們可以得出：a2+b2=c2a2=25，c2=169b2=169﹣25=144因此B的面積是144．故答案為：144．【點評】本題主要考查了正方形的面積公式和勾股定理的應用．只要搞清楚直角三角形的斜邊和直角邊本題就容易多了．12.如圖，已知OA=OB，那么數軸上點A所表示的數是﹣．【考點】勾股定理；實數與數軸．【分析】首先根據勾股定理得：OB=．即OA=．又點A在數軸的負半軸上，則點A對應的數是﹣．【解答】解：由圖可知，OC=2，作BC⊥OC，垂足為C，取BC=1，故OB=OA===，∵A在x的負半軸上，∴數軸上點A所表示的數是﹣．故答案為：﹣．13.如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點．若AD=6，DE=5，則CD的長等于8．【考點】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線．【分析】由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理來求線段CD的長度即可．【解答】解：如圖，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點，DE=5，∴DE=AC=5，∴AC=10．在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，則根據勾股定理，得CD===8．故答案是：8．【點評】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線．利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得AC的長度是解題的難點．第11題圖第12題圖第13題圖14.直角三角形中，兩直角邊長分別為12和5，則斜邊中線長是．【考點】直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．【分析】根據勾股定理求出斜邊，根據直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半計算即可．【解答】解：∵直角三角形中，兩直角邊長分別為12和5，∴斜邊==13，則斜邊中線長是，故答案為：．【點評】本題考查的是勾股定理的應用和直角三角形的性質的運用，掌握直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半是解題的關鍵．15.一架方梯AB長25米，如圖所示，斜靠在一面上，梯子底端離墻7米。如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動了米.【解答】解：.在Rt△AOB中，AB=25米，OB=7米，OA===24（米）．答：梯子的頂端距地面24米；.在Rt△AOB中，A′O=24﹣4=20米，OB′===15（米），BB′=15﹣7=8米．故梯子的底端在水平方向滑動了8米．第15題圖第16題圖16.如圖，一透明的圓柱體玻璃杯，從內部測得底部直徑為6cm，杯深8cm．今有一根長為16cm的吸管如圖放入杯中，露在杯口外的長度為h，則h的變化范圍是：6cm＜h＜8cm．【考點】勾股定理的應用．【分析】根據題中已知條件，首先要考慮吸管放進杯里垂直于底面時最短為8cm，則露在杯口外的長度最長為16﹣8=8cm；最長時與底面直徑和高正好組成直角三角形，用勾股定理解答進而求出露在杯口外的長度最短．【解答】解：當吸管放進杯里垂直于底面時最短為8cm，則露在杯口外的長度最長為16﹣8=8cm；最長時與底面直徑和高正好組成直角三角形，底面直徑為6cm，高為8cm，所以由勾股定理可得杯里面管長為=10cm，則露在杯口外的長度最長為16﹣10=6cm；所以，露在杯口外的長度在6cm和8cm范圍變化．故答案為：6cm＜h＜8cm．三、解答題（17-19每題8分，20每題10分，21題12分，共46分）17.如圖四邊形ABCD是一塊草坪，量得四邊長AB=3m，BC=4m，DC=12m，AD=13m，∠B=90°，求這塊草坪的面積．【考點】勾股定理的應用；三角形的面積．【專題】應用題．【分析】連接AC，由∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm可知AC=5cm；由AC、AD、CD的長可判斷出△ACD是直角三角形，根據兩三角形的面積可求出草坪的面積．【解答】解：在Rt△ABC中，AB=3m，BC=4m，∠B=90°由勾股定理得AB2+BC2=AC2∴AC=5m（2分）在△ADC中，AC=5m，DC=12m，AD=13m∴AC2+DC2=169，AD2=169∴AC2+DC2=AD2∠ACD=90°（5分）四邊形的面積=SRt△ABC+SRt△ADC===36（m2）答：這塊草坪的面積是36m2【點評】本題是勾股定理在實際中的應用，比較簡單．18.在解答“判斷由長為、2、的線段組成的三角形是不是直角三角形”一題中，小明是這樣做的解：設a=，b=2，c=，又因為a2+b2=（）2+22=≠=c2．所以由a、b、c組成的三角形不是直角三角形，你認為小明的解答正確嗎？請說明理由．【考點】勾股定理的逆定理．【分析】根據勾股定理的逆定理，求出兩小邊的平方和和大邊的平方，看看是否相等即可．【解答】解：小明的做法不正確，理由是：∵（）2+（）2=22，∴三角形是直角三角形．19.如圖，在一棵樹的10米高B處有兩只猴子，其中一只爬下樹走向離樹20米的池塘C，而另一只爬到樹頂D后直撲池塘C，結果兩只猴子經過的距離相等，問這棵樹有多高？【考點】勾股定理的應用．【分析】首先根據題意，正確畫出圖形，還要根據題意確定已知線段的長，再根據勾股定理列方程進行計算．【解答】解：設BD=x米，則AD=（10+x）米，CD=（30﹣x）米，根據題意，得：（30﹣x）2﹣（x+10）2=202，解得x=5．即樹的高度是10+5=15米．【點評】能夠根據題意用同一個未知數表示出直角三角形的三邊是解決此題的關鍵．20.a，b，c為三角形ABC的三邊，且滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，試判別這個三角形的形狀．【考點】勾股定理的逆定理；非負數的性質：偶次方；完全平方公式．【專題】計算題．【分析】現對已知的式子變形，出現三個非負數的平方和等于0的形式，求出a、b、c，再驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方即可．【解答】解：由a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，得：（a2﹣10a+25）+（b2﹣24b+144）+（c2﹣26c+169）=0，即：（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0，由非負數的性質可得：，解得，∵52+122=169=132，即a2+b2=c2，∴∠C=90°，即三角形ABC為直角三角形．【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應用、完全平方公式、非負數的性質．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．21.如圖，由5個邊長為1的正方形組成一個“十”字形，一共有12個頂點，要求：從這12點中取出4個點，直接在圖中連出不同大小的正方形，并寫出相應的正方形的邊長．（1）圖1邊長是；（2）圖2邊長是．考點：勾股定理．分析：畫出圖形，根據勾股定理解答．解答：解：（1）邊長是=；（2）邊長是=；另：（3）邊長是1．故答案為，．點評： 本題考查了勾股定理，找到圖形中的直角三角形是解題的關鍵．22.如圖1，有一組平行線l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四個頂點A、B、C、D分別在l1、l2、l3、l4上，過點D作DE⊥l1于點E．已知相鄰兩條平行線之間的距離為2．（1）求AE及正方形ABCD的邊長；（2）如圖2，延長AD交l4于點G，求CG的長度．考點：全等三角形的判定與性質；平行線之間的距離；正方形的性質．分析：（1）利用已知得出△FAB≌△EDA（AAS），即可得出AE，以及正方形的邊長；（2）如圖2，過點D作DH⊥CG于點H，利用勾股定理求得DH的長度，然后由射影定理來求CG的長度．解：（1）如圖1，過B點作BF⊥l1，垂足為F，人教新版八年級下冊第17章《勾股定理》解答題專項練習題（含答案）《勾股定理》解答題專項練習題1．在△ABC中，∠ABC＝90°，D為平面內一動點，AD＝a，AC＝b，其中a，b為常數，且a＜b．將△ABD沿射線BC方向平移，得到△FCE，點A、B、D的對應點分別為點F、C、E．連接BE．（1）如圖1，若D在△ABC內部，請在圖1中畫出△FCE；（2）在（1）的條件下，若AD⊥BE，求BE的長（用含a，b的式子表示）；（3）若∠BAC＝α，當線段BE的長度最大時，則∠BAD的大小為；當線段BE的長度最小時，則∠BAD的大小為（用含α的式子表示）．2．如圖，甲輪船以16海里/小時的速度離開港口O向東南方向航行，乙輪船同時同地向西南方向航行，已知他們離開港口一個半小時后分別到達B、A兩點，且知AB＝30海里，問乙輪船每小時航行多少海里？3．為了豐富少年兒童的業(yè)余生活，某社區(qū)要在如圖中的AB所在的直線上建一圖書室，本社區(qū)有兩所學校所在的位置在點C和點D處，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．已知AB＝2.5km，CA＝1.5km，DB＝1.0km，試問：圖書室E應該建在距點A多少km處，才能使它到兩所學校的距離相等？4．如圖所示，四邊形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，∠A＝90°，求四邊形ABCD的面積．5．如圖，已知在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2cm，AD＝cm，CD＝5cm，BC＝4cm，求四邊形ABCD的面積．6．如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線，動點D在直線AM上時，以CD為一邊且在CD的下方作等邊△CDE，連接BE．（1）填空：∠ACB＝度；（2）當點D在線段AM上（點D不運動到點A）時，試求出的值；（3）若AB＝8，以點C為圓心，以5為半徑作⊙C與直線BE相交于點P、Q兩點，在點D運動的過程中（點D與點A重合除外），試求PQ的長．7．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D為斜邊BC中點，DE⊥DF，求證：EF2＝BE2+CF2．8．如圖、四邊形ABCD中，AB＝AD＝6，∠A＝60°，∠ADC＝150°，已知四邊形的周長為30，求四邊形ABCD的面積．9．如圖所示，甲、乙兩船同時由港口A出發(fā)開往海島B，甲船沿東北方向向海島B航行，其速度為15海里/小時；乙船速度為20海里/小時，先沿正東方向航行1小時后，到達C港口接旅客，停留半小時后再轉向北偏東30°方向開往B島，其速度仍為20海里/小時．（1）求港口A到海島B的距離；（2）B島建有一座燈塔，在離燈塔方圓5海里內都可以看見燈塔，問甲、乙兩船哪一艘先看到燈塔？10．如圖在四邊形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度數．11．已知：如圖，在△ABC，BC＝2，S△ABC＝3，∠ABC＝135°，求AC、AB的長．12．水池中有水，水面是一個邊長為10尺的正方形，水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的終點，它的頂端恰好到達池邊的水面．水的深度和這根蘆葦的長度分別是多少？13．如圖，AD是已知△ABC中BC邊上的高．P是AD上任意一點，當P從A向D移動時，線段PB、PC的長都在變化，試探索PB2﹣PC2的值如何變化？14．如圖，一架2.5米長的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AC上，這時梯足B到墻底端C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么梯足將向外移多少米？15．在甲村至乙村的公路旁有一塊山地正在開發(fā)，現有一C處需要爆破，已知點C與公路上的?？空続的距離為300米，與公路上另一?？空綛的距離為400米，且CA⊥CB，如圖，為了安全起見，爆破點C周圍半徑250米范圍內不得進入，問在進行爆破時，公路AB段是否有危險，是否而需要暫時封鎖？請通過計算進行說明．16．小明聽說“武黃城際列車”已經開通，便設計了如下問題：如圖，以往從黃石A坐客車到武昌客運站B，現在可以在A坐城際列車到武漢青山站C，再從青山站C坐市內公共汽車到武昌客運站B．設AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°．請你幫助小明解決以下問題：（1）求A、C之間的距離；（參考數據＝4.6）（2）若客車的平均速度是60km/h，市內的公共汽車的平均速度為40km/h，城際列車的平均速度為180km/h，為了最短時間到達武昌客運站，小明應該選擇哪種乘車方案？請說明理由．（不計候車時間）17．如圖，一架長2.5m的梯子AB斜靠在墻AC上，∠C＝90°，此時，梯子的底端B離墻底C的距離BC為0.7m．（1）求此時梯子的頂端A距地面的高度AC；（2）如果梯子的頂端A下滑了0.9m，那么梯子的頂端B在水平方向上向右滑動了多遠？18．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝45°，∠C＝30°，AD＝1，求△ABC的周長．19．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝4，CD＝8．（1）求∠ADC的度數；（2）求四邊形ABCD的面積．20．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，對角線AC⊥CD，點E在邊BC上，且∠AEB＝45°，CD＝10．（1）求AB的長；（2）求EC的長．21．校車安全是近幾年社會關注的熱點問題，安全隱患主要是超速和超載，某中學九年級數學活動小組進行了測試汽車速度的實驗．如圖，先在筆直的公路1旁選取一點A，在公路1上確定點B、C，使得AC⊥l，∠BAC＝60°，再在AC上確定點D，使得∠BDC＝75°，測得AD＝40米．已知本路段對校車限速是50千米/時，測得某校車從B到C勻速行駛用時10秒．（1）求CD的長．（結果保留根號）（2）問這輛車在本路段是否超速？請說明理由（參考數據：＝1.414，＝1.73）22．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現將直角邊AC沿直線AD對折，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長．23．定義：若三角形三個內角的度數分別是x、y和z，滿足x2+y2＝z2，則稱這個三角形為勾股三角形．（1）根據上述定義，“直角三角形是勾股三角形”是真命題還是假命題；（2）已知一勾股三角形三個內角從小到大依次為x、y和z，且xy＝2160，求x+y的值；（3）如圖，△ABC中，AB＝，BC＝2，AC＝1+，求證：△ABC是勾股三角形．24．在杭州西湖風景游船處，如圖，在離水面高度為5m的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為13m，此人以0.5m/s的速度收繩.10s后船移動到點D的位置，問船向岸邊移動了多少m？（假設繩子是直的，結果保留根號）25．如圖，某地方政府決定在相距50km的A、B兩站之間的公路旁E點，修建一個土特產加工基地，且使C、D兩村到E點的距離相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝30km，CB＝20km，那么基地E應建在離A站多少千米的地方？26．“中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70千米/小時，如圖，一輛小汽車在一條城市街道上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面對車速檢測儀正前方30米C處，過了2秒后，小汽車行駛到B處，測得小汽車與車速檢測儀間距離為50米，（1）求BC的長；（2）這輛小汽車超速了嗎？27．如圖，B、D、C三點在一條直線上，∠ADB＝∠ADC＝90°，BD＝DE，∠DAC＝45°；（1）線段AB、CE的關系為；（2）若BD＝a，AD＝b，AB＝c，請利用此圖的面積式證明勾股定理．28．如圖，一個直徑為10cm的杯子，在它的正中間豎直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，當筷子倒向杯壁時（筷子底端不動），筷子頂端剛好觸到杯口，求筷子長度和杯子的高度．29．如圖1，在6×8的網格紙中，每個小正方形的邊長都為1，動點P、Q分別從點D、A同時出發(fā)向右移動，點P的運動速度為每秒2個單位，點Q的運動速度為每秒1個單位，當點P運動到點C時，兩個點都停止運動．（1）請在6×8的網格紙圖2中畫出運動時間t為2秒時的線段PQ并求其長度；（2）在動點P、Q運動的過程中，△PQB能否成為PQ＝BQ的等腰三角形？若能，請求出相應的運動時間t；若不能，請說明理由．30．如圖，將邊長為a與b、對角線長為c的長方形紙片ABCD，繞點C順時針旋轉90°得到長方形FGCE，連接AF．通過用不同方法計算梯形ABEF的面積可驗證勾股定理，請你寫出驗證的過程．31．一、閱讀理解：在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c；（1）若∠C為直角，則a2+b2＝c2；（2）若∠C為銳角，則a2+b2與c2的關系為：a2+b2＞c2；（3）若∠C為鈍角，試推導a2+b2與c2的關系．二、探究問題：在△ABC中，BC＝a＝3，CA＝b＝4，AB＝c，若△ABC是鈍角三角形，求第三邊c的取值范圍．32．已知等腰三角形ABC的底邊BC＝20cm，D是腰AB上一點，且CD＝16cm，BD＝12cm．（1）求證：CD⊥AB；（2）求該三角形的腰的長度．33．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E是直線AB上兩點．∠DCE＝45°（1）當CE⊥AB時，點D與點A重合，顯然DE2＝AD2+BE2（不必證明）；（2）如圖，當點D不與點A重合時，求證：DE2＝AD2+BE2；（3）當點D在BA的延長線上時，（2）中的結論是否成立？畫出圖形，說明理由．34．勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜的發(fā)現，當兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明，下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程：將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB＝90°，求證：a2+b2＝c2證明：連結DB，過點D作BC邊上的高DF，則DF＝EC＝b﹣a∵S四邊形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．又∵S四邊形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）∴a2+b2＝c2請參照上述證法，利用圖2完成下面的證明．將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB＝90°．求證：a2+b2＝c2．35．一架方梯AB長25米，如圖所示，斜靠在一面上：（1）若梯子底端離墻7米，這個梯子的頂端距地面有多高？（2）在（1）的條件下，如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？36．如圖，Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于D，以CD為較短的直角邊向△CDB的同側作Rt△DEC，滿足∠E＝30°，∠DCE＝90°，再用同樣的方法作Rt△FGC，∠FCG＝90°，繼續(xù)用同樣的方法作Rt△HIC，∠HCI＝90°．若AC＝a，求CI的長．37．在尋找馬航MH370航班過程中，兩艘搜救艦艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目標A、B．接到消息后，一艘艦艇以16海里/時的速度離開港口O（如圖所示）向北偏東40°方向航行，另一艘艦艇在同時以12海里/時的速度向北偏西一定角度的航向行駛，已知它們離港口一個半小時后相距30海里，問另一艘艦艇的航行方向是北偏西多少度？38．在合肥市地鐵一號線的修建過程中，原設計的地鐵車站出入口高度較低，為適應地形，把地鐵車站出入口上下樓梯的高度普遍增加了，如圖所示，已知原設計樓梯BD長20米，在樓梯水平長度（BC）不發(fā)生改變的前提下，樓梯的傾斜角由30°增大到45°，那么新設計的樓梯高度將會增加多少米？（結果保留整數，參考數據：≈1.414，≈1.732）39．閱讀：能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數a，b，c，稱為勾股數．世界上第一次給出勾股數通解公式的是我國古代數學著作《九章算術》，其勾股數組公式為：其中m＞n＞0，m，n是互質的奇數．應用：當n＝1時，求有一邊長為5的直角三角形的另外兩條邊長．40．如圖，在鈍角△ABC中，BC＝9，AB＝17，AC＝10，AD⊥BC于D，求AD的長．

參考答案一．解答題1．解：（1）如圖，（2）連接BF．∵將△ABD沿射線BC方向平移，得到△FCE，∴AD∥EF，AD＝EF；AB∥FC，AB＝FC．∵∠ABC＝90°，∴四邊形ABCF為矩形．∴AC＝BF．∵AD⊥BE，∴EF⊥BE．∵AD＝a，AC＝b，∴EF＝a，BF＝b．∴．（3）①如圖，當線段BE的長度最大時，E點在BF的延長線上，∵四邊形ABCF是矩形，∠BAC＝α，∴∠BFC＝α，∴∠EFC＝180°﹣α．∴∠BAD＝180°﹣α．②如圖，當線段BE的長度最小時，E點在BF上，∵四邊形ABCF是矩形，∠BAC＝α，∴AC＝BF，且互相平分，∴∠BAC＝∠ABF，∠BFC＝∠ACF，∵∠AOB＝∠COF，∴∠BAC＝∠ABF＝∠BFC＝∠ACF，∴∠BFC＝∠BAC＝α，∴∠BAD＝α．故答案為：180°﹣α，α．2．解：∵甲輪船向東南方向航行，乙輪船向西南方向航行，∴AO⊥BO，∵甲輪船以16海里/小時的速度航行了一個半小時，∴OB＝16×1.5＝24海里，AB＝30海里，∴在Rt△AOB中，AO＝＝＝18，∴乙輪船每小時航行18÷1.5＝12海里．3．解：由題意可得：設AE＝xkm，則EB＝（2.5﹣x）km，∵AC2+AE2＝EC2，BE2+DB2＝ED2，EC＝DE，∴AC2+AE2＝BE2+DB2，∴1.52+x2＝（2.5﹣x）2+12，解得：x＝1．答：圖書室E應該建在距點A1km處，才能使它到兩所學校的距離相等．4．解：連接BD，∵AB＝3cm，AD＝4cm，∠A＝90°∴BD＝5cm，S△ABD＝×3×4＝6cm2又∵BD＝5cm，BC＝13cm，CD＝12cm∴BD2+CD2＝BC2∴∠BDC＝90°∴S△BDC＝×5×12＝30cm2∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝6+30＝36cm2．5．解：連接BD．∵∠A＝90°，AB＝2cm，AD＝，∴根據勾股定理可得BD＝3，又∵CD＝5，BC＝4，∴CD2＝BC2+BD2，∴△BCD是直角三角形，∴∠CBD＝90°，∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB?AD+BC?BD＝×2×+×4×3＝+6（cm2）．6．解：（1）60；（3分）（2）如圖（2），∵△ABC與△DEC都是等邊三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE∴∠ACD＝∠BCE（5分）∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∴＝1（7分）（3）如圖（3），①當點D在線段AM上（不與點A重合）時，由（2）可知△ACD≌△BCE，則∠CBE＝∠CAD＝30°，作CH⊥BE于點H，則PQ＝2HQ，連接CQ，則CQ＝5．在Rt△CBH中，∠CBH＝30°，BC＝AB＝8，則CH＝BC?sin30°＝8×＝4．在Rt△CHQ中，由勾股定理得：HQ＝，則PQ＝2HQ＝6．（9分）②如圖5，當點D在線段AM的延長線上時，∵△ABC與△DEC都是等邊三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠CAD＝30°，同理可得：PQ＝6（11分）③如圖4，當點D在線段MA的延長線上時，∵△ABC與△DEC都是等邊三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠ACB＝180°∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠CAD∵∠CAM＝30°∴∠CBE＝∠CAD＝150°∴∠CBQ＝30°同理可得：PQ＝6綜上，PQ的長是6．（13分）7．證明：延長ED到G，使DG＝DE，連接EF、FG、CG，如圖所示：在△EDF和△GDF中，∴△EDF≌△GDF（SAS），∴EF＝FG又∵D為斜邊BC中點∴BD＝DC在△BDE和△CDG中，，∴△BDE≌△CDG（SAS）∴BE＝CG，∠B＝∠BCG∴AB∥CG∴∠GCA＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°在Rt△FCG中，由勾股定理得：FG2＝CF2+CG2＝CF2+BE2∴EF2＝FG2＝BE2+CF2．8．解：連接BD，作DE⊥AB于E，∵AB＝AD＝6，∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AE＝BE＝AB＝3，∴DE＝＝3，因而△ABD的面積是＝×AB?DE＝×6×3＝9，∵∠ADC＝150°∴∠CDB＝150°﹣60°＝90°，則△BCD是直角三角形，又∵四邊形的周長為30，∴CD+BC＝30﹣AD﹣AB＝30﹣6﹣6＝18，設CD＝x，則BC＝18﹣x，根據勾股定理得到62+x2＝（18﹣x）2解得x＝8，∴△BCD的面積是×6×8＝24，S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝9+24．答：四邊形ABCD的面積是9+24．9．解：（1）過點B作BD⊥AE于D在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，設CD＝x，則BD＝，BC＝2x在Rt△ABD中，∠BAD＝45°則AD＝BD＝，AB＝BD＝由AC+CD＝AD得20+x＝x解得：x＝10+10故AB＝30+10答：港口A到海島B的距離為海里．（2）甲船看見燈塔所用時間：小時乙船看見燈塔所用時間：小時所以乙船先看見燈塔．10．解：如右圖所示，連接AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝＝2，∠BAC＝45°，又∵CD＝3，DA＝1，∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9，∴AC2+DA2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD＝90°，∴∠DAB＝45°+90°＝135°．故∠DAB的度數為135°．11．解：如圖，過點A作AD⊥BC交CB的延長線于D，在△ABC中，∵S△ABC＝3，BC＝2，∴AD＝＝＝3，∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝180°﹣135°＝45°，∴AB＝AD＝3，BD＝AD＝3，在Rt△ADC中，CD＝2+3＝5，由勾股定理得，AC＝＝＝．12．解：設水深為x尺，則蘆葦長為（x+1）尺，根據勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，蘆葦的長度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：水池深12尺，蘆葦長13尺．13．解：PB2﹣PC2的值不變，根據勾股定理PB2＝BD2+DP2，PC2＝CD2+PD2．∴PB2﹣PC2＝BD2+DP2﹣（CD2+PD2）＝DB2﹣DC2．答：PB2﹣PC2的值不變．14．解；在直角△ABC中，已知AB＝2.5m，BC＝0.7m，則AC＝＝2.4m，∵AC＝AA1+CA1∴CA1＝2m，∵在直角△A1B1C中，AB＝A1B1，且A1B1為斜邊，∴CB1＝＝1.5m，∴BB1＝CB1﹣CB＝1.5﹣0.7＝0.8m答：梯足向外移動了0.8m．15．解：如圖，過C作CD⊥AB于D，∵BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，∴根據勾股定理得AB＝500米，∵AB?CD＝BC?AC，∴CD＝240米．∵240米＜250米，故有危險，因此AB段公路需要暫時封鎖．16．解：（1）過點C作AB的垂線，交AB的延長線于E點，∵∠ABC＝120°，BC＝20，∴BE＝10，在△ACE中，∵AC2＝8100+300，∴；（2）乘客車需時間（小時）；乘列車需時間（小時）；∴選擇城際列車．17．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝2.5，BC＝0.7，∴AC＝＝＝2.4（米），答：此時梯頂A距地面的高度AC是2.4米；（2）∵梯子的頂端A下滑了0.9米至點A′，∴A′C＝AC﹣A′A＝2.4﹣0.9＝1.5（m），在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C2+B′C2＝A′B′2，即1.52+B′C2＝2.52，∴B′C＝2（m），∴BB′＝CB′﹣BC＝2﹣0.7＝1.3（m），答：梯子的底端B在水平方向滑動了1.3m．18．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD＝90°，∠B＝45°，∴∠B＝∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝1，AB＝．在Rt△ADC中，∵∠C＝30°，∴AC＝2AD＝2，∴CD＝，BC＝BD+CD＝1+，∴AB+AC+BC＝++3．19．解：（1）連接BD，∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ADB＝60°，DB＝4，∵42+82＝（4）2，∴DB2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝60°+90°＝150°；（2）過B作BE⊥AD，∵∠A＝60°，AB＝4，∴BE＝AB?sin60°＝4×＝2，∴四邊形ABCD的面積為：AD?EB+DB?CD＝×4×+×4×8＝4+16．20．解：（1）在Rt△ACD中，∵∠D＝60°，CD＝10，∴AC＝，∠DAC＝30°，又∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝30°，∴在Rt△ACB中，AB＝AC＝＝．（2）在Rt△ABE中，∠AEB＝45°，∴BE＝AB＝，由（1）可知，BC＝AB＝＝15，∴EC＝BC﹣BE＝．21．解：（1）作DE∥AB交BC于E，如圖所示：則∠CDE＝∠A＝60°，設CD＝x米，∵AC⊥l，∴∠ACB＝90°，∴∠CED＝30°，∴DE＝2CD＝2x，∴CE＝x，∵∠BDC＝75°，∴∠BDE＝15°，∵∠CED＝∠BDE+∠DBE，∴∠DBE＝15°＝∠BDE，∴BE＝DE＝2x，又∵∠A＝60°，∴BC＝AC，∴x+2x＝（x+40），解得：x＝20，即CD＝20米；（2）這輛車在本路段不超速；理由如下：由（1）得：x＝20，∴BC＝CE+BE＝×20+2×20＝60+40（米），校車從B到C勻速行駛用時10秒，速度為（60+40）÷10＝6+4（米/秒）≈46.67千米/小時＜50千米/小時，∴這輛車在本路段不超速．22．解：∵兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB＝10，現將直角邊AC沿直線AD對折，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD＝DE，AE＝AC＝6，∴BE＝10﹣6＝4，設DE＝CD＝x，BD＝8﹣x，在Rt△BDE中，根據勾股定理得：BD2＝DE2+BE2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3．即CD的長為3cm．23．（1）解：“直角三角形是勾股三角形”是假命題；理由如下：∵對于任意的三角形，設其三個角的度數分別為x°、y°和z°，若滿足x2+y2＝z2，則稱這個三角形為勾股三角形，∴無法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命題；（2）解：由題意可得：，解得：x+y＝102；（3）證明：過B作BH⊥AC于H，如圖所示：設AH＝xRt△ABH中，BH＝，Rt△CBH中，（）2+（1+﹣x）2＝4，解得：x＝，∴AH＝BH＝，HC＝1，∴∠A＝∠ABH＝45°，∴tan∠HBC＝＝＝，∴∠HBC＝30°，∴∠BCH＝60°，∠B＝75°，∴452+602＝752∴△ABC是勾股三角形．24．解：∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，∴（m），∵此人以0.5m/s的速度收繩，10s后船移動到點D的位置，∴CD＝13﹣0.5×10＝8（m），∴（m），∴）（m）．答：船向岸邊移動了）m．25．解：設基地E應建在離A站x千米的地方．則BE＝（50﹣x）千米在Rt△ADE中，根據勾股定理得：AD2+AE2＝DE2∴302+x2＝DE2…（3分）在Rt△CBE中，根據勾股定理得：CB2+BE2＝CE2∴202+（50﹣x）2＝CE2又∵C、D兩村到E點的距離相等．∴DE＝CE∴DE2＝CE2∴302+x2＝202+（50﹣x）2解得x＝20∴基地E應建在離A站多少20千米的地方．26．解：（1）在直角△ABC中，已知AC＝30米，AB＝50米，且AB為斜邊，則BC＝＝40米．答：小汽車在2秒內行駛的距離BC為40米；（2）小汽車在2秒內行駛了40米，所以平均速度為20米/秒，20米/秒＝72千米/時，因為72＞70，所以這輛小汽車超速了．答：這輛小汽車的平均速度大于70千米/時，故這輛小汽車超速了．27．（本題7分）（1）線段AB、CE的關系為：AB＝CE，AB⊥CE………………（2分）理由是：延長CE交AB于F，∵∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∴∠ACD＝∠DAC＝45°，∴AD＝CD，在△ADB和△CDE中，∵，∴△ADB≌△CDE（SAS），∴AB＝CE，∠BAD＝∠DCE，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠DCE+∠ABD＝90°，∴∠BFC＝90°，∴AB⊥CE；故答案為：AB＝CE，AB⊥CE．（2）如圖，設EF＝x，∵S△ABC＝S△ABE+S△BDE+S△ACD，∴＝AB?EF+BD?DE+DC?AD，………………（4分）∵BD＝a，AB＝c，AD＝b，∴易得AB＝CE＝c，BD＝DE＝a，AD＝CD＝b，………………（5分）∴cx+a2+，即：+cx＝cx+a2+，………………（6分）∴，∴a2+b2＝c2………………（7分）28．解：設杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+1）cm，x2+52＝（x+1）2，x2+25＝x2+2x+1x＝12，12+1＝13cm．答：杯高12cm，筷子長13cm．29．解：（1）∵點Q的運動速度為每秒1個單位，和運動時間t為2秒，運動時間t為2秒，∴由圖中可知PQ的位置如下圖2，則由已知條件可得PD＝4，AQ＝2，QE＝2，PE＝6，∴PQ＝＝＝2，（2）能．設時間為t，則在t秒鐘，P運動了2t格，Q運動了t格，由題意得PQ＝BQ（2t﹣t）2+62＝（8﹣t）2解得t＝．答：（1）PQ的長為2；（2）能，運動時間t為．30．證明：∵S梯形ABEF＝（EF+AB）?BE＝（a+b）?（a+b）＝（a+b）2，∵Rt△CDA≌Rt△CGF，∴∠ACD＝∠CFG，∵∠CFG+∠GCF＝90°，∴∠ACD+∠GCF＝90°，即∠ACF＝90°，∵S梯形ABEF＝S△ABC+S△CEF+S△ACF，∴S梯形ABEF＝ab+ab+c2，∴（a+b）2＝ab+ab+c2∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．31．一、解：（1）∵∠C為直角，BC＝a，CA＝b，AB＝c，∴a2+b2＝c2；（2）作AD⊥BC于D，如圖1所示：則BD＝BC﹣CD＝a﹣CD，在△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，在△ACD中，AC2﹣CD2＝AD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∴c2﹣（a﹣CD）2＝b2﹣CD2，整理得：a2+b2＝c2+2a?CD∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2＞c2；（3）作AD⊥BC于D，如圖2所示：則BD＝BC+CD＝a+CD，在△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∴c2﹣（a+CD）2＝b2﹣CD2，整理得：a2+b2＝c2﹣2a?CD，∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2＜c2；二、解：當∠C為鈍角時，由以上（3）得：＜c＜a+b，即5＜c＜7；當∠B為鈍角時，得：b﹣a＜c＜，即1＜c＜；綜上所述：第三邊c的取值范圍為5＜c＜7或1＜c＜．32．解：（1）∵BC＝20cm，CD＝16cm，BD＝12cm，∴滿足BD2+CD2＝BC2，∴根據勾股定理逆定理可知，∠BDC＝90°，即CD⊥AB；（2）設腰長為x，則AD＝x﹣12，由（1）可知AD2+CD2＝AC2，即：（x﹣12）2+162＝x2，解得x＝，∴腰長為cm．33．（1）解：∵CE⊥AB，∴AE＝BE，∵點D與點A重合，∴AD＝0，∴DE2＝AD2+BE2；（2）證明：過點A作AF⊥AB，使AF＝BE，連接DF，CF，∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠B＝45°，∴∠FAC＝45°，∴△CAF≌△CBE（SAS），∴CF＝CE，∠ACF＝∠BCE，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，∴∠ACD+∠BCE＝∠ACB﹣∠DCE＝90°﹣45°＝45°，∵∠ACF＝∠BCE，∴∠ACD+∠ACF＝45°，即∠DCF＝45°，∴∠DCF＝∠DCE，又∵CD＝CD，∴△CDF≌△CDE（SAS），∴DF＝DE，∵AD2+AF2＝DF2，∴AD2+BE2＝DE2；（3）結論仍然成立；如圖，證明：過點A作AF⊥AB，使AF＝BE，連接DF，∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠B＝45°，∴∠FAC＝45°，∴△CAF≌△CBE（SAS），∴CF＝CE，∠ACF＝∠BCE，∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠ACF+∠ACE＝90°，即∠FCE＝90°，∵∠DCE＝45°，∴∠DCF＝45°，∴∠DCF＝∠DCE，又∵CD＝CD，∴△CDF≌△CDE（SAS），∴DF＝DE，∵AD2+AF