數(shù)學(xué)歸納法 省賽獲獎(jiǎng)

考試要求1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理；2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.第5節(jié)數(shù)學(xué)歸納法(選用)知

識(shí)

梳

理1.數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取_____________________時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)__________時(shí)命題也成立.只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立.第一個(gè)值n0(n0∈N*)n＝k＋12.數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示[常用結(jié)論與易錯(cuò)提醒]1.數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)初始值n0不一定是1.2.推證n＝k＋1時(shí)一定要用上n＝k時(shí)的假設(shè)，否則不是數(shù)學(xué)歸納法.基

礎(chǔ)

自

測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊式子應(yīng)為1＋2＋22＋23.(

)(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明.(

)(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，歸納假設(shè)可以不用.(

)(4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng).(

)解析對(duì)于(2)，有些命題也可以直接證明；對(duì)于(3)，數(shù)學(xué)歸納法必須用歸納假設(shè)；對(duì)于(4)，由n＝k到n＝k＋1，有可能增加不止一項(xiàng).答案

(1)√

(2)×

(3)×

(4)×解析三角形是邊數(shù)最少的凸多邊形，故第一步應(yīng)檢驗(yàn)n＝3.答案

C答案

D5.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n＝2k－1(k∈N*)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n＝________時(shí)，命題亦真.

解析由于步長(zhǎng)為2，所以2k－1后一個(gè)奇數(shù)應(yīng)為2k＋1.

答案

2k＋16.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，xn－yn能被x＋y整除”第一步應(yīng)驗(yàn)證n＝________時(shí)，命題成立；第二步歸納假設(shè)成立應(yīng)寫(xiě)成________.

解析因?yàn)閚為正偶數(shù)，故第一個(gè)值n＝2，第二步假設(shè)n取第k個(gè)正偶數(shù)成立，即n＝2k，故應(yīng)假設(shè)成x2k－y2k能被x＋y整除.

答案

2

x2k－y2k能被x＋y整除證明

(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝右邊，所以等式成立.所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立，由(1)(2)可知，對(duì)于一切n∈N*等式都成立.規(guī)律方法

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題，要“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少.(2)由n＝k時(shí)等式成立，推出n＝k＋1時(shí)等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫(xiě)出證明過(guò)程，不利用歸納假設(shè)的證明，就不是數(shù)學(xué)歸納法.＝cosx＝等式左邊，等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，即cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋coskx那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋coskx＋cos(k＋1)x這就是說(shuō)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立.根據(jù)(1)和(2)可知，對(duì)任何n∈N*等式都成立.(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，Sn>n.②假設(shè)n＝k，k≥2(k∈N*)時(shí)，Sk≥k成立，那么n＝k＋1時(shí)，因?yàn)镾k＋1＝Sk＋ak＋1，若ak＋1≥1，則Sk＋1＝Sk＋ak＋1≥k＋1.若0<ak＋1<1，

因?yàn)?<ak＋1<1，故Sk＋1＝Sk＋ak＋1>(k－1)＋2＝k＋1.由①②可知，對(duì)一切n∈N*且n≥2時(shí)，Sn≥n成立.規(guī)律方法應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問(wèn)題(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k成立，推證n＝k＋1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法、構(gòu)造函數(shù)法等證明方法.假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)結(jié)論成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，綜上，an<an＋1.所以an＋1－2與an－2同號(hào)，(2)證明①由(1)知，當(dāng)n＝1，2，3時(shí)，通項(xiàng)公式成立.②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3，k∈N*)時(shí)，通項(xiàng)公式成立，

即n＝k＋1時(shí)通項(xiàng)公式成立.規(guī)律方法

(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問(wèn)題、存在性問(wèn)題，其基本模式是“歸納—猜想—證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理論證結(jié)論的正確性.(2)“歸納—猜想—證明”的基本步驟是“試驗(yàn)—?dú)w納—猜想—證明”.高中階段與數(shù)列結(jié)合的問(wèn)題是最常見(jiàn)的問(wèn)題.解把n＝1，2，3代入得方程組下面用數(shù)學(xué)歸納法證明