河北省2023屆高三模擬（六）數(shù)學(xué)試題（ 含答案解析 ）

第1頁/共1頁2023年普通高等學(xué)校招生考試模擬試題數(shù)學(xué)（六）本試卷共22題，全卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、考號等填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求函數(shù)的定義域得到集合，再利用集合交并的運(yùn)算求解即可.【詳解】因，所以，所以，又，所以，，故選：D2.設(shè)為正實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)恰好在直線上，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出，得到在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)代入直線方程即可求解.【詳解】由題意可得，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，將點(diǎn)代入得，解得，故選：A3.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得出，再利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，得出，從而得出結(jié)果.【詳解】易知，，，而，故，又因?yàn)?，，故，即，所以，故選：D.4.在平行四邊形中，已知，且，則向量與的夾角的余弦值為（）A. B.0 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積求解即可.【詳解】由題意知，在平行四邊形中，，，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，又，所以，故，則，所以向量與的夾角的余弦值為0.故選：B.5.柷（zhù），是一種古代打擊樂器，迄今已有四千多年的歷史，柷的上方形狀猶如四方形木斗，上寬下窄，下方有一底座，用椎（木棒）撞擊其內(nèi)壁發(fā)聲，表示樂曲將開始.如圖，某柷（含底座）高，上口正方形邊長，下口正方形邊長，底座可近似地看作是底面邊長比下口邊長長，高為的正四棱柱，則該柷（含底座）的側(cè)面積約為（）（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求出正四棱臺(tái)的側(cè)棱長，即可求出斜高，再根據(jù)側(cè)面積公式計(jì)算可得.【詳解】如圖正四棱臺(tái)中，連接，，過點(diǎn)、分別作、，交于點(diǎn)、，依題意，，，則，所以，所以正四棱臺(tái)的斜高為，所以正四棱臺(tái)的側(cè)面積，又正四棱柱的側(cè)面積，所以該柷（含底座）的側(cè)面積約為；故選：B6.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，則的部分圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用條件，變形化簡得到，再逐一對各個(gè)選項(xiàng)圖形分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，選項(xiàng)A，因?yàn)椋?，所以，故，根?jù)圖形知，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，即不是偶函?shù)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，因?yàn)椋郑?，故，根?jù)圖形知，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；綜上可知選項(xiàng)D符合題意.故選：D.7.過拋物線的焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，若，則（為原點(diǎn)）的面積為（）A. B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出直線的方程為，聯(lián)立方程消得到，從而得到，再根據(jù)條件，可得到，從而求出，再由，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，消去得到，，由韋達(dá)定理得，，如圖，由對稱性，不妨設(shè)在軸上方，因?yàn)椋?，又易知，，所以，故有，所以，得到，將，代入，得到，所以，則，故選：C.8.在正四面體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為球心的球上運(yùn)動(dòng)，，且恒有，已知三棱錐的體積的最大值為，則正四面體外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析得出在處到平面的距離最遠(yuǎn)，即三棱錐的體積最大，利用等體積法即可得出正四面體邊長，即可得外接正方體的邊長，然后利用正方體外接球體積公式求解即可.【詳解】由題知，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為球心的球上運(yùn)動(dòng)，，所以都在以為球心的球上，又因，則在的中垂面上，如圖，連接，都為正三角形，且為的中點(diǎn)，，，平面，平面，平面，平面是的中垂面，即在平面上，所以點(diǎn)在平面與以為球心，為半徑的球的交線上，即在以為圓心，為半徑的平面內(nèi)的圓上，取中點(diǎn)，連接，延長至點(diǎn)，使，作在平面內(nèi)，以為圓心，為半徑的圓，則圓上的點(diǎn)到平面的距離最遠(yuǎn)，故在處，設(shè)，則，，平面，平面，,,,在中，，點(diǎn)到平面的距離，所以，解得，如圖則其外接正方體的邊長為，所以正四面體外接球即為邊長為正方體的外接球，故外接球半徑，所以外接球體積.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三棱錐的體積問題，三棱錐的外接球問題，運(yùn)動(dòng)變化思想的應(yīng)用，方程思想，屬于難題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.近年來，我國大力發(fā)展新能源汽車工業(yè)，新能源汽車（含電動(dòng)汽車）的銷量已躍居全球首位，同時(shí)我國也加大了新能源汽車公共充電樁的建設(shè)，以解決新能源汽車的充電困境.下面是我國2021年9月至2022年8月這一年來公共充電樁累計(jì)數(shù)量統(tǒng)計(jì)圖，則針對這12個(gè)月的數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）A.這12個(gè)月以來，我國公共充電樁累計(jì)數(shù)量一直保持增長態(tài)勢B.這12個(gè)月我國公共充電樁累計(jì)數(shù)量的中位數(shù)低于123萬臺(tái)C.這12個(gè)月我國公共充電樁的月平均累計(jì)數(shù)量超過115萬臺(tái)D.2022年6月我國公共充電樁累計(jì)數(shù)量的同比增長率最大【答案】ABC【解析】【分析】由統(tǒng)計(jì)圖逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案.【詳解】由公共充電樁累計(jì)數(shù)量統(tǒng)計(jì)圖可知，這12個(gè)月以來，我國公共充電樁累計(jì)數(shù)量一直保持增長態(tài)勢，A正確；根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知，這12個(gè)月我國公共充電樁累計(jì)數(shù)量的中位數(shù)為，低于123，所以B正確；這12個(gè)月我國公共充電樁的月平均累計(jì)數(shù)量為：

，超過了，C正確；由圖可知，年月我國公共充電樁累計(jì)數(shù)量的同比增長率最大，且為，D錯(cuò).故選：ABC10.已知，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通過比較各項(xiàng)的大小，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，∴，故A錯(cuò)誤，，故B錯(cuò)誤，，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤，，∴，故D正確，故選：D.11.如圖，已知正方體的棱長為1，為底面的中心，交平面于點(diǎn)，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則（）A.，，三點(diǎn)共線 B.異面直線與所成的角為C.點(diǎn)到平面的距離為 D.過點(diǎn)，，的平面截該正方體所得截面的面積為【答案】ACD【解析】【分析】通過證明，，三點(diǎn)都是平面與平面的公共點(diǎn)，可知A正確；利用線面垂直的判定與性質(zhì)可證異面直線與所成的角為，可知B不正確；通過證明平面，得的長度就是點(diǎn)到平面的距離，計(jì)算的長度可知C正確；取的中點(diǎn)，可得等腰梯形就是過點(diǎn)，，的平面截該正方體所得截面，計(jì)算等腰梯形的面積可知，D正確.【詳解】因?yàn)闉榈酌娴闹行模詾楹偷闹悬c(diǎn)，則，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，平面，所以點(diǎn)是平面與平面的公共點(diǎn)；顯然是平面與平面的公共點(diǎn)；因?yàn)榻黄矫嬗邳c(diǎn)，平面，所以也是平面與平面的公共點(diǎn)，所以，，三點(diǎn)都在平面與平面的交線上，即，，三點(diǎn)共線，故A正確；因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，即異面直線與所成的角為，故B不正確；根據(jù)證明的方法，同理可得，因?yàn)椋矫?，所以平面，則的長度就是點(diǎn)到平面的距離，顯然為正三角形的中心，因?yàn)檎襟w的棱長為1，所以正三角形的邊長為，所以，又，所以，即點(diǎn)到平面的距離為，故C正確；取的中點(diǎn)，連，，，，因?yàn)椋缘妊菪尉褪沁^點(diǎn)，，的平面截該正方體所得截面，如圖：因?yàn)?，，，所以等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，即過點(diǎn)，，的平面截該正方體所得截面的面積為，故D正確.故選：ACD12.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.圖象的一條對稱軸為直線C.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增D.存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上恰有2023個(gè)零點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】化簡的表達(dá)式，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性可判斷A；根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸的性質(zhì)可判斷B；結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷C；取，結(jié)合正弦函數(shù)的零點(diǎn)可判斷D.【詳解】對于A，，故，即為的一個(gè)周期，說明不是的最小正周期，A錯(cuò)誤；對于B，，故圖象的一條對稱軸為直線，B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，則，由于正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，故在上單調(diào)遞增，且，此時(shí)，而在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，C正確；對于D，由A可知即為的一個(gè)周期，且的最小正周期為，故的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上的零點(diǎn)為和，故當(dāng)時(shí)，恰有個(gè)零點(diǎn)，且第個(gè)零點(diǎn)為，故當(dāng)時(shí)，恰有個(gè)零點(diǎn)，即存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上恰有2023個(gè)零點(diǎn)，D正確，故選：BCD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查了含型函數(shù)性質(zhì)，涉及到周期、對稱性以及零點(diǎn)問題，綜合性較強(qiáng)，解答時(shí)要綜合應(yīng)用函數(shù)的對稱軸性質(zhì)以及正弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)行解答，對于零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，可取特殊值，結(jié)合正弦函數(shù)的周期性以及零點(diǎn)進(jìn)行判斷.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則______.【答案】##-0.8【解析】【分析】根據(jù)正切的差角公式得出，再結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，構(gòu)造齊次式化簡弦為切計(jì)算即可.【詳解】由，又，代入得.故答案為：14.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，，且，則的前2023項(xiàng)和為______.【答案】2【解析】【分析】利用條件求出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，化為，解得或，又因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，得到或，又，所以，故，所以，故答案為?15.為了貫徹落實(shí)中央新疆工作座談會(huì)和全國對口支援新疆工作會(huì)議精神，促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)的發(fā)展，某市派出了包括甲、乙在內(nèi)的5名專家型教師援疆，現(xiàn)將這5名教師分配到新疆的，，共3所學(xué)校，每所學(xué)校至少1人，則在甲、乙兩人不分配到同一所學(xué)校的前提下，甲恰好分配到學(xué)校的概率為______.【答案】【解析】【分析】由條件概率的概率公式求解即可.【詳解】將這5名教師分配到新疆的，，共3所學(xué)校，每所學(xué)校至少1人，則先分組后排列，5名教師分成三組，可能為1，1，3或1，2，2.若為1，1，3，則有種情況；若為1，2，2，則有種情況.所以5名教師分配到新疆的，，共3所學(xué)校，每所學(xué)校至少1人，共有種情況.設(shè)“甲、乙兩人不分配到同一所學(xué)?！睘槭录?，“甲恰好分配到學(xué)校”為事件.若為1，1，3，則甲、乙兩人分配到同一所學(xué)校有：種；若為1，2，2，則甲、乙兩人分配到同一所學(xué)校有：種；所以甲、乙兩人不分配到同一所學(xué)校共有：種.所以.若為1，1，3，甲、乙兩人不分配到同一所學(xué)校，且甲恰好分配到學(xué)校有：種；若為1，2，2，甲、乙兩人不分配到同一所學(xué)校，且甲恰好分配到學(xué)校有：種；所以甲、乙兩人不分配到同一所學(xué)校，且甲恰好分配到學(xué)?？偣灿校悍N.所以.所以.故答案為：.16.已知斜率為的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)，，，直線與的左、右兩支分別交于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，若點(diǎn)恒在直線上，則的離心率為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)及中點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線作差得，，利用三點(diǎn)共線表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入已知直線方程得，即可求出離心率.【詳解】設(shè)，，，，，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則，兩式相減，得，化簡得，所以，所以①，同理②，因?yàn)?，所以，，三點(diǎn)共線，所以，將①②代入得，即，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)P恒在直線上，又點(diǎn)恒在直線上，所以，所以，所以雙曲線的離心率為.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：一般涉及中點(diǎn)弦問題時(shí)，采用設(shè)而不求點(diǎn)差法求解，本題通過點(diǎn)坐標(biāo)之間關(guān)系建立a，b關(guān)系，從而求出雙曲線的離心率.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知的內(nèi)角A，，所對的邊分別為，，，且.（1）求A；（2）若，且，求內(nèi)切圓的半徑.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡條件式，利用正弦定理化角為邊，再利用余弦定理化邊為角計(jì)算即可；（2）由條件得出三角形的面積，再利用三角形的面積與周長的關(guān)系轉(zhuǎn)化即可.【小問1詳解】已知可化為：化簡得：，由正弦定理上式可得：，由余弦定理可得：，即，因?yàn)椋?；【小?詳解】由正弦定理，故，由（1）知：，故，所以，即，解得.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在曲線上.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足對一切正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】(1)利用的關(guān)系結(jié)合等差數(shù)列定義即可證明；(2)分奇偶項(xiàng)討論，先得出，分離參數(shù)，求的最值即可.【小問1詳解】將點(diǎn)代入曲線得：，故，又，符合上式，所以，則，故為1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；【小問2詳解】由（1）可知：，若，則，此時(shí)，易知單調(diào)遞增，，即；若，則，此時(shí)，易知單調(diào)遞減，故，故又時(shí)，，，即；綜上所述，對于，滿足不等式恒成立.19.在圓柱中，等腰梯形為底面圓的內(nèi)接四邊形，且，矩形是該圓柱的軸截面，為圓柱的一條母線，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)，，試確定的值，使得直線與平面所成角的正弦值為.【答案】（1）證明見解析（2）或【解析】【分析】（1）先證明平面以及平面，根據(jù)面面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得平面的一個(gè)法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.【小問1詳解】在圓柱中，,平面,平面,故平面；連接，因?yàn)榈妊菪螢榈酌鎴A的內(nèi)接四邊形，，故，則為正三角形，故，則，平面,平面,故平面；又平面，故平面平面.【小問2詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，在底面圓過點(diǎn)垂直于平面作直線為x軸，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由于，由（1）可知,故,則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，由，，，可得，設(shè)直線與平面所成角為，則，即得，解得或，符合，故或.20.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，.（1）若，求直線的斜率；（2）設(shè)，是上異于的點(diǎn)，且，，三點(diǎn)共線，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出橢圓左焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，解方程可得直線的斜率；（2）求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再求直線的斜率，與直線的斜率比較可得證明.【小問1詳解】依題意，橢圓的左焦點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)、兩點(diǎn)是橢圓長軸上的兩點(diǎn)，向量，或，均不滿足，不合題意，所以直線的斜率不為0.故可設(shè)直線的方程為，，，由得：，，則，①，由可得，所以，即②，由①②可得，，化簡整理得，所以，所以直線的斜率為.【小問2詳解】證明：由，可得直線的方程為，由得：，所以，結(jié)合可得：，，即，又，則，所以，所以.21.為切實(shí)做好新冠疫情防控工作，有效、及時(shí)地控制和消除新冠肺炎的危害，增加學(xué)生對新冠肺炎預(yù)防知識的了解，某校舉辦了一次“新冠疫情”知識競賽.競賽分個(gè)人賽和團(tuán)體賽兩種.個(gè)人賽參賽方式為：組委會(huì)采取電腦出題的方式，從題庫中隨機(jī)出10道題，編號為，，，，，，電腦依次出題，參賽選手按規(guī)則作答，每答對一道題得10分，答錯(cuò)得0分.團(tuán)體賽以班級為單位，各班參賽人數(shù)必須為3的倍數(shù)，且不少于18人，團(tuán)體賽分預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段，其中預(yù)賽階段各班可從以下兩種參賽方案中任選一種參賽：方案一：將班級選派的名參賽選手每3人一組，分成組，電腦隨機(jī)分配給同一組的3名選手一道相同的試題，3人均獨(dú)立答題，若這3人中至少有2人回答正確，則該小組順利出線；若這個(gè)小組都順利出線，則該班級晉級決賽.方案二：將班級選派的名參賽選手每人一組，分成3組，電腦隨機(jī)分配給同一組的名選手一道相同的試題，每人均獨(dú)立答題，若這個(gè)人都回答正確，則該小組順利出線；若這3個(gè)小組中至少有2個(gè)小組順利出線，則該班級晉級決賽.（1）郭靖同學(xué)參加了個(gè)人賽，已知郭靖同學(xué)答對題庫中每道題的概率均為，每次作答結(jié)果相互獨(dú)立，且他不會(huì)主動(dòng)放棄任何一次作答機(jī)會(huì)，求郭靖同學(xué)得分的數(shù)學(xué)期望與方差；（2）在團(tuán)體賽預(yù)賽中，假設(shè)A班每位參賽選手答對試題的概率均為常數(shù)，A班為使晉級團(tuán)體賽決賽的可能性更大，應(yīng)選擇哪種參賽方式？請說明理由.【答案】（1）（2）選擇方案一，理由見解析【解析】【分析】（1）設(shè)郭靖同學(xué)答對的題目數(shù)為X，得分為Y，由題意確定，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差的性質(zhì)，即可求得答案.（2）設(shè)A班選擇方案一和方案二晉級團(tuán)體賽決賽的概率分別為，分別求出的表達(dá)式，作差并利用構(gòu)造函數(shù)判斷的大小，即可得到結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)郭靖同學(xué)答對的題目數(shù)為X，得分為Y，則，由題意可知,則;.【小問2詳解】設(shè)A班選擇方案一和方案二晉級團(tuán)體賽決賽的概率分別為，當(dāng)選擇方案一時(shí)，小組里3人中至少有2人回答正確的概率為，故；當(dāng)選擇方案二時(shí)，一個(gè)小組順利出現(xiàn)的概率為，則小組沒有出現(xiàn)的概率為，故；故，令，則，因?yàn)?，所以，故，則，即，故為單調(diào)增函數(shù)，因?yàn)椋捎诟靼鄥①惾藬?shù)必須為3的倍數(shù)，且不少于18人，即，此時(shí)故A班為使晉級團(tuán)體賽決賽的可能性更大，