四川省峨眉山市第七教育發(fā)展聯(lián)盟高2024學年高二上數(shù)學期末達標檢測模擬試題含解析

四川省峨眉山市第七教育發(fā)展聯(lián)盟高2024學年高二上數(shù)學期末達標檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，點A的坐標為，點P是雙曲線在第二象限的部分上一點，且，點Q是線段的中點，且，Q關(guān)于直線PA對稱，則雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.2．已知圓，則圓上的點到坐標原點的距離的最小值為（）A.-1 B.C.+1 D.63．已知等比數(shù)列中，，，則公比（）A. B.C. D.4．若展開式的二項式系數(shù)之和為，則展開式的常數(shù)項為（）A. B.C. D.5．曲線與曲線的（）A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等6．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學巨著，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（爵位依次變低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成遞增的等差數(shù)列，這5個人各出多少錢？”在這個問題中，若公士出28錢，則不更出的錢數(shù)為（）A.14 B.16C.18 D.207．函數(shù)的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.68．在中，若，，則外接圓半徑為（）A. B.C. D.9．已知雙曲線，其漸近線方程為，則a的值為（）A. B.C. D.210．雙曲線的光學性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為，分別為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點A和點B反射后（，A，B在同一直線上），滿足，則該雙曲線的離心率的平方為（）A. B.C. D.11．已知雙曲線，則雙曲線M的漸近線方程是（）A. B.C. D.12．已知向量，，且，，，則一定共線的三點是（）A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為，過焦點的直線交拋物線與兩點，且，則拋物線的準線方程為________.14．一道數(shù)學難題，在半小時內(nèi)，甲能解決的概率是，乙能解決的概率是，兩人試圖獨立地在半小時內(nèi)解決它，則問題得到解決的概率是________.15．已知平面向量均為非零向量，且滿足，記向量在向量上投影向量為，則k=______．(用數(shù)字作答)16．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為_____________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為9，最小值為1.（1）求a，b的值；（2）若方程在上有兩個不同的解，求實數(shù)k的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)，其中a為正數(shù)（1）討論單調(diào)性；（2）求證：19．（12分）已知：，，：，，且為真命題，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，證明：存在最大值，且恒成立.21．（12分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，數(shù)列滿足，且（1）求的通項公式；（2）設，記數(shù)列的前項和為，求證：22．（10分）某中醫(yī)藥研究所研制出一種新型抗過敏藥物，服用后需要檢驗血液抗體是否為陽性，現(xiàn)有n（n∈N*）份血液樣本，每個樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗方式：①逐份檢驗，需要檢驗n次；②混合檢驗，將其中k（k∈N*，2≤k≤n）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若結(jié)果為陰性，則這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只需檢驗一次就夠了，若檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪份為陽性，就需要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為k+1次.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是相互獨立的，且每份樣本是陽性的概率為p（0＜p＜1）.（1）假設有5份血液樣本，其中只有兩份樣本為陽性，若采取逐份檢驗的方式，求恰好經(jīng)過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率.（2）現(xiàn)取其中的k（k∈N*，2≤k≤n）份血液樣本，采用逐份檢驗的方式，樣本需要檢驗的次數(shù)記為ξ1；采用混合檢驗的方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)記為ξ2.（i）若k＝4，且，試運用概率與統(tǒng)計的知識，求p的值；（ii）若，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】由角平分線的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件即可求雙曲線的離心率.【題目詳解】由題設，易知：，由知：，即，整理得：.故選：C2、A【解題分析】先求出圓心和半徑，求出圓心到坐標原點的距離，從而求出圓上的點到坐標原點的距離的最小值.【題目詳解】變形為，故圓心為，半徑為1，故圓心到原點的距離為，故圓上的點到坐標原點的距離最小值為.故選：A3、C【解題分析】利用等比中項的性質(zhì)可求得的值，再由可求得結(jié)果.【題目詳解】由等比中項的性質(zhì)可得，解得，又，，故選：C.4、C【解題分析】利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求得的值，再利用二項式展開式的通項公式，求得結(jié)果即可.【題目詳解】解：因為展開式的二項式系數(shù)之和為，則，所以，令，求得，所以展開式的常數(shù)項為.故選：C.5、D【解題分析】分別求出兩曲線表示的橢圓的位置，長軸長、短軸長、離心率和焦距，比較可得答案.【題目詳解】曲線表示焦點在x軸上的橢圓，長軸長為10，短軸長為6，離心率為,焦距為8,曲線焦點在x軸上的橢圓，長軸長為，短軸長為，離心率為,焦距為,故選：D6、B【解題分析】由題可知這是一個等差數(shù)列，前項和，，列式求基本量即可.【題目詳解】設每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，公差為，前項和為，則由題可得，解得，所以不更出的錢數(shù)為.故選：B7、D【解題分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性求最小值【題目詳解】由，得，因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，故選：D8、A【解題分析】根據(jù)三角形面積公式求出c，再由余弦定理求出a，根據(jù)正弦定理即可求外接圓半徑.【題目詳解】,,,解得由正弦定理可得：，所以故選：A9、A【解題分析】由雙曲線方程，根據(jù)其漸近線方程有，求參數(shù)值即可.【題目詳解】由漸近線，結(jié)合雙曲線方程，∴，可得.故選：A.10、D【解題分析】設，根據(jù)題意可得，由雙曲線定義得、，進而求出（用表示），然后在中，應用勾股定理得出關(guān)系，求得離心率【題目詳解】易知共線，共線，如圖，設，則.因為，所以，則，則，又因為，所以，則,在中，，即，所以.故選：D11、C【解題分析】由雙曲線的方程直接求出見解析即可.【題目詳解】由雙曲線，則其漸近線方程為：故選：C12、A【解題分析】由已知，分別表示出選項對應的向量，然后利用平面向量共線定理進行判斷即可完成求解.【題目詳解】因，，，選項A，，，若A，B，D三點共線，則，即，解得，故該選項正確；選項B，，，若A，B，C三點共線，則，即，解得不存，故該選項錯誤；選項C，，，若B，C，D三點共線，則，即，解得不存在，故該選項錯誤；選項D，，，若A，C，D三點共線，則，即，解得不存在，故該選項錯誤；故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】根據(jù)題意作出圖形，設直線與軸的夾角為，不妨設，設拋物線的準線與軸的交點為，過點作準線與軸的垂線，垂足分別為，過點分別作準線和軸的垂線，垂足分別為，進一步可以得到，進而求出，同理求出，最后解得答案.【題目詳解】設直線與軸的夾角為，根據(jù)拋物線的對稱性，不妨設，如圖所示.設拋物線的準線與軸的交點為，過點作準線與軸的垂線，垂足分別為，過點分別作準線和軸的垂線，垂足分別為.由拋物線的定義可知，，同理：,于是，，則拋物線的準線方程為：.故答案為：.14、【解題分析】分甲解決乙不能解決，甲不能解決乙能解決，甲能解決乙也能解決三類，利用獨立事件的概率求解.【題目詳解】因為甲能解決的概率是，乙能解決的概率是，所以問題得到解決的概率是，故答案為：15、##1.5【解題分析】由兩邊平方可得，，，設，向量是以向量為鄰邊的平行四邊形、有共同起點的對角線，，由余弦定理可得，向量在向量上投影向量為，化簡可得答案.【題目詳解】因為，所以，，兩邊平方整理得，，兩邊平方整理得，即，可得，，設，所以向量是以向量為鄰邊的平行四邊形、有共同起點的對角線，如圖，即，因為，，平行四邊形即為的菱形，所以，由余弦定理可得，可得，，向量在向量上投影向量為，即.故答案為：.16、3【解題分析】分析：設塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項和公式能求出結(jié)果詳解:設塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，∴S7==381，解得a1=3．故答案為3.點睛：本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）令，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出；（2）令，方程化為，求出的變化情況即可求出.【小問1詳解】令，則，則題目等價于在的最大值為9，最小值為1，對稱軸，開口向上，則，解得；【小問2詳解】令，則，于是方程可變?yōu)?，即，因為函?shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，要使方程有兩個不同的解，則與有兩個不同的交點，所以.18、（1）答案見解析（2）證明見解析【解題分析】（1）求解函數(shù)的導函數(shù)，并且求的兩個根，然后分類討論，和三種情況下對應的單調(diào)性；（2）令，通過二次求導法，判斷函數(shù)的單調(diào)性與最小值，設的零點為，求出取值范圍，最后將轉(zhuǎn)化為的對勾函數(shù)并求解最小值，即可證明出不等式.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為∵令得∵，∴，得或①當，即時，時，或；時，.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增②當，即時，時，或；時，.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增③當，即時，∴在上單調(diào)遞增綜上所述：當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增【小問2詳解】令，（）∴，令∴，∴在上單調(diào)遞增又∵，，∴使得，即（*）∴當時，，∴，∴單調(diào)遞減∴當時，，∴，∴單調(diào)遞增∴，（）由（*）式可知：，∴，∴∵，∴函數(shù)單調(diào)遞減∴，∴∴【題目點撥】求解本題的關(guān)鍵是利用二次求導法，通過虛設零點，求解原函數(shù)的單調(diào)性與最小值，并通過最小值的取值范圍證明不等式.19、【解題分析】由，為真，可得對任意的恒成立，從而分和求出實數(shù)的取值范圍，再由，，可得關(guān)于的方程有實根，則有，從而可求出實數(shù)的取值范圍，然后求交集可得結(jié)果【題目詳解】解：可化為.若：，為真，則對任意的恒成立.當時，不等式可化為，顯然不恒成立，當時，有且，所以.①若：，為真，則關(guān)于的方程有實根，所以，即，所以或.②又為真命題，故，均為真命題.所以由①②可得的取值范圍為.20、（1）的單增區(qū)間為，；單減區(qū)間為，，；（2）證明見解析.【解題分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，求出，由，結(jié)合函數(shù)的定義域可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)當時，定義域R,求出，從而得出單調(diào)區(qū)間，由當時，，當時，，以及極值點與2的大小關(guān)系可得出當時，函數(shù)有最大值，然后再證明即可.【題目詳解】解：（1）定義域，可得且且，，可得且3無0無0減無減增無增減所以，的單增區(qū)間為，；單減區(qū)間為，，.（2）當時，定義域R因為，當時，，當時，，所以的最大值在時取得；由，即，得由，得，或由，得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當時，，且，由所以當時，函數(shù)有最大值.所以，因為，所以,設，則所以化為由，則，則，所以所以21、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】（1）求出的值，可求得等差數(shù)列的公差，進而可求得數(shù)列的通項公式，再由前項和與通項的關(guān)系可求得的表達式，可求得，然后對是否滿足在時的表達式進行檢驗，綜合可得出數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用裂項求和法可求得的表達式，利用不等式的性質(zhì)和數(shù)列的單調(diào)性可證得所證不等式成立.【小問1詳解】解：因為，，所以，因為，，所以，設數(shù)列公差為，則，所以，當時，由，可得，所以，所以，因為滿足，所以，對任意的，【小問2詳解】證明：因為，所以，因為，所以，因為，所以，故數(shù)列單調(diào)遞增，當時，，所以22、（1）；（2）（i）；（ii）證明見解析.【解題