基于.MATLAB的蒙特卡洛方法對可靠度的計算

/基于MATLAB的蒙特卡洛方法對可靠度的計算——《可靠性工程》大作業(yè)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u目錄2摘要3緒論4一、編寫MonteCarlo模擬程序5二、關(guān)于兩個服從正態(tài)分布的可靠性驗證8三、非正態(tài)分布的驗證10四、總結(jié)11參考文獻(xiàn)12摘要對于簡單的概率計算.我們可以用離散或者連續(xù)的概率分布模型進(jìn)行求解；但是對于復(fù)雜的模型的近似解的求解.蒙特卡洛方法是一種非常方便的方法。蒙特卡洛方法將最復(fù)雜的計算部分交給了電機(jī)計算機(jī)來完成.極大的方便了我們的求解過程。本文主要是用MATLAB編寫蒙特卡洛的模擬程序.然后分別驗證兩個正態(tài)分布的模型和兩個非正態(tài)分布的模型。非正態(tài)分布的模型中的隨機(jī)變量序列都是獨(dú)立同分布的.這樣我們可以方便的用列維-林德伯格中心極限定理進(jìn)行處理。[關(guān)鍵字]：復(fù)雜模型、蒙特卡洛、MATLAB、正太分布、獨(dú)立同分布的非正態(tài)模型、列維-林德伯格中心極限定理緒論計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展.促進(jìn)了蒙特卡洛方法的推廣、普及以及完善等。蒙特卡洛方法誕生之初是不被重視的.因為當(dāng)時的計算機(jī)技術(shù)沒有達(dá)到與之匹配的程度。蒙特卡洛模擬也稱為隨機(jī)模擬方法.或隨機(jī)抽樣技術(shù)。它是一種以概率論和數(shù)理統(tǒng)計為基礎(chǔ).通過對隨機(jī)變量的統(tǒng)計實驗、隨機(jī)模擬來求解問題近似解的數(shù)值方法。它的主要思想是：為了求解數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)及工程問題.建立一個概率模型或隨機(jī)過程.使它的參數(shù)等于問解；然后通過對模型或過程的觀察或抽樣來計算所求參數(shù)的統(tǒng)計特征〔如均值、概率等.作為待解問題的數(shù)值解.最后給出所求解的近似值.而解的精度可用估計值的方差來表示。蒙卡洛模擬的步驟是：首先建立簡單而又便于實現(xiàn)的概率分布模型.使分布模型的某些特征〔如模型的概率分布或數(shù)學(xué)期望恰好是所求問題的解；然后根據(jù)概率分布模型的特點(diǎn)和計算的需要改進(jìn)模型.以便減少方差.降低費(fèi)用.提高計算效率；再對分布模型進(jìn)行隨機(jī)模擬.其中包括建立產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的方法和建立對所遇到的分布產(chǎn)生隨機(jī)變量樣本的隨機(jī)抽樣方法；最后建立各種統(tǒng)計量的估計.獲得所求解的統(tǒng)計估計值及其方差。蒙特卡洛模擬方法可分為直接蒙特卡洛模擬、間接蒙特卡洛模擬和蒙特卡洛積分。〔1直接蒙特卡洛模擬采用隨機(jī)數(shù)來模擬本身具有復(fù)雜隨機(jī)過程的效應(yīng)。該方法是按照實際問題所遵循的概率統(tǒng)計規(guī)律.用計算機(jī)進(jìn)行直接的抽樣.然后計算其統(tǒng)計參數(shù)。直接蒙卡洛模擬法能充分體現(xiàn)蒙特卡洛方法的特殊性和優(yōu)越性.因而在物理中得到了廣泛的應(yīng)用.該方法也就是通常所說的"計算機(jī)實驗"。〔2間接蒙特卡洛模擬是人為地構(gòu)造出一個合適的概率模型.依照該模型進(jìn)行大量的統(tǒng)計實驗.使它的某些統(tǒng)計參數(shù)恰好是待求問題的解。Buffon投針實驗就是運(yùn)用間接蒙特卡洛模擬來求解π?！?蒙特卡洛積分是利用隨機(jī)數(shù)系列計算積分的方法.積分維數(shù)越高.效率越高。定積分的計算是蒙特卡洛方法被引入計算數(shù)學(xué)的開端.這里以定積分的計算說明其處理確定性問題的方法。如計算定積分：此時.求定積分亦即求邊長為1的正方形中一個曲邊梯形的面積問題.如圖2所示?？梢噪S機(jī)地向正方形內(nèi)投點(diǎn).然后統(tǒng)計落在曲線下的點(diǎn)數(shù).當(dāng)總的投點(diǎn)充分大時.就近似等于積分值s。一、編寫MonteCarlo模擬程序1．模型的建立本章節(jié)根據(jù)拋擲骰子編制MonteCarlo模擬程序.驗證各點(diǎn)出現(xiàn)的概率均為1/6。2．模擬流程圖繪制初始化初始化i=i+1K=？K=1K=2K=3K=4K=5K=6K1+1K2+1K3+1K4+1K5+1K6+1i<1000000P1P2P3P4P5P6YN圖1.1流程圖3．MonteCarlo程序編寫MonteCarlo模擬程序<Matlab>clearN=1000000;K_1=0;K_2=0;K_3=0;K_4=0;K_5=0;K_6=0;K=randi<6,N,1>;fori=1:NifK<i,1>==1K_1=K_1+1;endifK<i,1>==2K_2=K_2+1;endifK<i,1>==3K_3=K_3+1;endifK<i,1>==4K_4=K_4+1;endifK<i,1>==5K_5=K_5+1;endifK<i,1>==6K_6=K_6+1;endendP_1=K_1/NP_2=K_2/NP_3=K_3/NP_4=K_4/NP_5=K_5/NP_6=K_6/Nhist<K,6>4．模擬結(jié)果及結(jié)論MonteCarlo模擬得到.P_1=16.639%；P_2=16.605%;P_3=16.712%;P_4=16.710%;P_5=16.625%;P_6=16.710%。各項約為總數(shù)的1/6.符合理論情況。通過模擬可以得到分布直方圖<圖1.2>。圖1.2分布直方圖二、關(guān)于兩個服從正態(tài)分布的可靠性驗證機(jī)械結(jié)構(gòu)的可靠性設(shè)計中的應(yīng)力-強(qiáng)度干涉理論的理論計算和采用蒙的卡羅方法對其進(jìn)行驗證。MATLAB自帶有產(chǎn)生正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù).所以我們用MATLAB對N=100000實驗次數(shù)進(jìn)行驗證。計算次數(shù)為3次。理論計算：首先根據(jù)可靠度R=0.999.可得可靠度系數(shù)Z==3.191.然后我們確定應(yīng)力XL〔正態(tài)分布的參數(shù).均值=200.方差=5776,；然后再確定強(qiáng)度XS〔正太分布的參數(shù).均值=500.方差=3062.71。流程圖的繪制初始化初始化Z=S-Li=i+1Z<0n=n+1i<NR=n/NYNYN圖2.1流程圖Matlab模擬：由理論計算的正態(tài)分布的參數(shù)進(jìn)行matlab的模擬.得出的可靠度如下圖：程序如下：N=100000;P=[0,0,0];R=[0.0,0.0,0.0];forj=1:3S=normrnd<500,55.34,N,1>;%N<500,55.34>L=normrnd<200,76,N,1>;%N<200,76>fori=1:Nz=S<i,1>-L<i,1>;ifz>0P<j>=P<j>+1;endendR<j>=P<j>/Nend三、非正態(tài)分布的驗證對于非正態(tài)分布的強(qiáng)度-應(yīng)力隨機(jī)變量的可靠度計算.我們再M(fèi)ATLAB上用蒙的卡羅方法來驗證。驗證時我們?nèi)颖局祅=100000.分別驗證強(qiáng)度服從期望為10〔及λ=指數(shù)分布〔x<0時.概率密度為0和應(yīng)力服從期望為5〔及λ=指數(shù)分布〔x<0時.概率密度為0。所得的可靠度如下圖：程序如下：n=100000;p=[0,0,0];R=[0.0,0.0,0.0];forj=1:3r1=exprnd<10,n,1>;%E<0.1>r=exprnd<5,n,1>;%E<0.2>fori=1:nz=r1<i,1>-r<i,1>;ifz>0p<j>=p<j>+1;endendR<j>=p<j>/n;end四、總結(jié)根據(jù)強(qiáng)度-應(yīng)力干涉模型求解系統(tǒng)的可靠度.對