陜西省西安音樂學院附屬中等音樂學校2024學年高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

陜西省西安音樂學院附屬中等音樂學校2024學年高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．與圓和圓都外切的圓的圓心在（）A.一個圓上 B.一個橢圓上C.雙曲線的一支上 D.一條拋物線上2．已知雙曲線離心率為2，過點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，且點P恰好是弦的中點，則直線的方程為（）A. B.C. D.3．設(shè)雙曲線的實軸長為8，一條漸近線為，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.4．已知命題p：，，則命題p的否定為（）A.， B.，C.， D.，5．設(shè)是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且在內(nèi)可導，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的極值點一定是最值點B.的最值點一定是極值點C.在區(qū)間上可能沒有極值點D.在區(qū)間上可能沒有最值點6．已知等差數(shù)列滿足，則等于（）A. B.C. D.7．如圖，在棱長為的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到直線的距離為（）A. B.C. D.8．已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（）A.2 B.3C.4 D.59．在下列各圖中，每個圖的兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的圖是（）A.（1）（2） B.（1）（3）C.（2） D.（2）（3）10．為了調(diào)查全國人口的壽命，抽查了11個省（市）的2500名城鎮(zhèn)居民，這2500名城鎮(zhèn)居民的壽命的全體是（）A.總體 B.個體C.樣本 D.樣本容量11．函數(shù)y=的最大值為Ae-1 B.eC.e2 D.12．已知橢圓的右焦點為，為坐標原點，為軸上一點，點是直線與橢圓的一個交點，且，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線l1：（1）x+y﹣2=0與l2：（1）x+ay﹣4=0平行，則a=_____.14．射擊隊某選手命中環(huán)數(shù)的概率如下表所示：命中環(huán)數(shù)10987概率0.320.280.180.120.1該選手射擊兩次，兩次命中環(huán)數(shù)相互獨立，則他至少命中一次9環(huán)或10環(huán)的概率為_________________.(結(jié)果用小數(shù)表示)15．函數(shù)的圖象在點處的切線方程為____.16．設(shè)，分別是橢圓C：左、右焦點，點M為橢圓C上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標為___________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)等差數(shù)列的各項均為整數(shù)，且滿足對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱這樣的數(shù)列具有性質(zhì)（1）若數(shù)列的通項公式為，數(shù)列是否具有性質(zhì)？并說明理由；（2）若，求出具有性質(zhì)的數(shù)列公差的所有可能值；（3）對于給定的，具有性質(zhì)的數(shù)列是有限個，還是可以無窮多個？(直接寫出結(jié)論)18．（12分）已知橢圓．離心率為，點與橢圓的左、右頂點可以構(gòu)成等腰直角三角形（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點，為坐標原點直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由19．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，已知（1）求數(shù)列通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為．定義為不超過x的最大整數(shù)，例如．當時，求n的值20．（12分）已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前100項和21．（12分）在如圖所示的多面體中，且，，，且，，且，平面，（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值22．（10分）已知命題p：函數(shù)有零點；命題，（1）若命題p，q均為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若為真命題，為假命題，求實數(shù)a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】設(shè)動圓的半徑為，然后根據(jù)動圓與兩圓都外切得，再兩式相減消去參數(shù)，則滿足雙曲線的定義，即可求解.【題目詳解】設(shè)動圓的圓心為，半徑為，而圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為2依題意得，則，所以點的軌跡是雙曲線的一支故選：C2、C【解題分析】運用點差法即可求解【題目詳解】由已知得，又，，可得.則雙曲線C的方程為.設(shè)，，則兩式相減得，即.又因為點P恰好是弦的中點，所以，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.經(jīng)檢驗滿足題意故選：C3、D【解題分析】雙曲線的實軸長為，漸近線方程為，代入解析式即可得到結(jié)果.【題目詳解】雙曲線的實軸長為8，即，，漸近線方程為，進而得到雙曲線方程為.故選：D.4、D【解題分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準確改寫，即可求解.【題目詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系可得：命題“p：，”的否定式為“，”.故選：D.5、C【解題分析】根據(jù)連續(xù)函數(shù)的極值和最值的關(guān)系即可判斷【題目詳解】根據(jù)函數(shù)的極值與最值的概念知，的極值點不一定是最值點，的最值點不一定是極值點．可能是區(qū)間的端點，連續(xù)可導函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最值，所以選項A，B，D都不正確，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則函數(shù)在區(qū)間上沒有極值點，所以C正確故選：C.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的極值與最值的概念辨析，屬于容易題6、A【解題分析】利用等差中項求出的值，進而可求得的值.【題目詳解】因為得，因此，.故選：A.7、C【解題分析】連接，，，，在平面中，作，為垂足，將兩平行線的距離轉(zhuǎn)化成點到直線的距離，結(jié)合余弦定理即同角三角函數(shù)基本關(guān)系，求得，因此可得，進而可得直線到直線的距離；【題目詳解】解：如圖，連接，，，，在平面中，作，為垂足，因為，分別為，的中點，因為，，所以，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以即為直線到直線的距離，在三角形中，由余弦定理得因為，所以是銳角，所以，在直角三角形中，，故直線到直線的距離為；故選：C8、C【解題分析】依據(jù)橢圓和雙曲線定義和題給條件列方程組，得到關(guān)于橢圓的離心率和雙曲線的離心率的關(guān)系式，即可求得的值.【題目詳解】設(shè)橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，令，不妨設(shè)則，解之得代入，可得整理得，即，也就是故選：C9、D【解題分析】根據(jù)圖形可得（1）具有函數(shù)關(guān)系；（2）（3）的散點分布在一條直線或曲線附近，具有相關(guān)關(guān)系；（4）的散點雜亂無章，不具有相關(guān)關(guān)系.【題目詳解】對（1），所有的點都在曲線上，故具有函數(shù)關(guān)系；對（2），所有的散點分布在一條直線附近，具有相關(guān)關(guān)系；對（3），所有的散點分布在一條曲線附近，具有相關(guān)關(guān)系；對（4），所有的散點雜亂無章，不具有相關(guān)關(guān)系.故選：D.10、C【解題分析】由樣本的概念即知.【題目詳解】由題意可知，這2500名城鎮(zhèn)居民的壽命的全體是樣本.11、A【解題分析】,所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以函數(shù)的最大值為時，y==故選A點睛：研究函數(shù)最值主要根據(jù)導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，找到最值，分式求導公式要記熟12、D【解題分析】設(shè)橢圓的左焦點為，由橢圓的對稱性可知，則，所以，即可得到的關(guān)系，利用橢圓的定義進而求得離心率.【題目詳解】設(shè)橢圓的左焦點為，連接，因為，所以，如圖所示，所以，設(shè)，，則，所以，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】根據(jù)兩直線平行的充要條件求解【題目詳解】因為已知兩直線平行，所以，解得故答案為：【題目點撥】本題考查兩直線平行的充要條件，兩直線平行的充要條件是，或，在均不為0時，用表示容易理解與記憶14、84【解題分析】先求出該選手射擊兩次，兩次命中的環(huán)數(shù)都低于9環(huán)的概率，由對立事件的概率可得答案.【題目詳解】該選手射擊一次，命中的環(huán)數(shù)低于9環(huán)的概率為該選手射擊兩次，兩次命中的環(huán)數(shù)都低于9環(huán)的概率為所以他至少命中一次9環(huán)或10環(huán)的概率為故答案：0.8415、【解題分析】先求出導函數(shù)，進而根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，然后求出切線方程.【題目詳解】由題意，，，則切線方程為：.故答案為：.16、【解題分析】先計算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的橫坐標為，代入橢圓C：求出.【題目詳解】橢圓C：,所以.因為M在橢圓上,.因為M在第一象限,故.為等腰三角形,則,所以,由余弦定理可得.過M作MA⊥x軸于A,則所以,即M的橫坐標為.因為M為橢圓C：上一點且在第一象限，所以，解得：所以M的坐標為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）數(shù)列具有性質(zhì)，理由見解析；（2），；（3）有限個.【解題分析】（1）由題意，由性質(zhì)定義，即可知是否具有性質(zhì).（2）由題設(shè)，存在，結(jié)合已知得且，則，由性質(zhì)的定義只需保證為整數(shù)即可確定公差的所有可能值；（3）根據(jù)（2）的思路，可得且，由為整數(shù)，在為定值只需為整數(shù)，即可判斷數(shù)列的個數(shù)是否有限.【小問1詳解】由，對任意正整數(shù)，，說明仍為數(shù)列中的項，∴數(shù)列具有性質(zhì).【小問2詳解】設(shè)的公差為．由條件知：，則，即，∴必有且，則，而此時對任意正整數(shù)，，又必一奇一偶，即為非負整數(shù)因此，只要為整數(shù)且，那么為中的一項.易知：可取，對應得到個滿足條件的等差數(shù)列.【小問3詳解】同（2）知：，則，∴必有且，則，故任意給定，公差均為有限個，∴具有性質(zhì)的數(shù)列是有限個.【題目點撥】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)性質(zhì)的定義，在第2、3問中判斷滿足等差數(shù)列通項公式，結(jié)合各項均為整數(shù)，判斷公差的個數(shù)是否有限即可.18、（1）；（2）是定值，理由見解析.【解題分析】（1）由題意有，點與橢圓的左、右頂點可以構(gòu)成等腰直角三角形有，即可寫出橢圓方程；（2）直線與橢圓交于兩點，聯(lián)立方程結(jié)合韋達定理即有，已知應用點線距離公式、三角形面積公式即可說明的面積是否為定值；【題目詳解】（1）橢圓離心率為，即，∵點與橢圓的左、右頂點可以構(gòu)成等腰直角三角形，∴，綜上有：，，故橢圓方程為，（2）由直線與橢圓交于兩點，聯(lián)立方程：，整理得，設(shè)，則，，，，原點到的距離，為定值；【題目點撥】本題考查了由離心率求橢圓方程，根據(jù)直線與橢圓的相交關(guān)系證明交點與原點構(gòu)成的三角形面積是否為定值的問題.19、（1）（2）10【解題分析】（1）由等差數(shù)列的前項和公式求得公差，可得通項公式；（2）用裂項相消法求和求得，根據(jù)新定義求得，然后分組，結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式計算后解方程可得【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為，則.因為，則，得.所以數(shù)列的通項公式是【小問2詳解】因為，則所以.當時，因為，則.當時，因為，則.因為，則，即，即，即．因為，所以20、（1）（2）【解題分析】（1）由題意得出，然后與原式結(jié)合，兩式相減并化簡求出，最后根據(jù)等差數(shù)列的定義求得答案；（2）結(jié)合（1），分別討論，和三種情況，分別求出，進而求出.【小問1詳解】因為，所以，兩式相減得，所以又，所以數(shù)列是首項為，公差為2的等差數(shù)列，所以.【小問2詳解】由得，當時，，當時，，當時，，所以.21、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，，如圖所示，以為坐標原點建立空間直角坐標系，證明即可得證；（2）求出平面與平面的法向量，再利用向量法即可得解.【小問1詳解】證明：因為平面，平面，平面，所以，且，因為，如圖所示，以為坐標原點建立空間直角坐標系，則，，，，，，，所以，，，所以；【小問2詳解】，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，有，設(shè)平面和平面的夾角為，，所以平面和平面的夾角的余弦值為22、（1）；（2）.【解題分析】（1）根據(jù)二次