線性代數(shù)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形詳解演示文稿

線性代數(shù)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形詳解演示文稿本文檔共51頁；當(dāng)前第1頁；編輯于星期三\14點31分（優(yōu)選）線性代數(shù)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形本文檔共51頁；當(dāng)前第2頁；編輯于星期三\14點31分3.二次型的矩陣表示式令，則于是

本文檔共51頁；當(dāng)前第3頁；編輯于星期三\14點31分本文檔共51頁；當(dāng)前第4頁；編輯于星期三\14點31分記本文檔共51頁；當(dāng)前第5頁；編輯于星期三\14點31分

其中為對稱陣：.——二次型的矩陣表示式說明對稱陣與二次型一一對應(yīng)；若，二次型的矩陣滿足：⑴的對角元是的系數(shù)；⑵的元是系數(shù)的一半.則對稱陣稱為

二次型的矩陣；二次型稱為對稱陣的二次型；3.二次型的矩陣表示式本文檔共51頁；當(dāng)前第6頁；編輯于星期三\14點31分例如：二次型的矩陣為于是本文檔共51頁；當(dāng)前第7頁；編輯于星期三\14點31分二、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形二次型研究的主要問題是：尋找可逆變換，使

這種只含平方項的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形(法式).特別地，如果標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)只在三個數(shù)中取值，那么這個標(biāo)準(zhǔn)形稱為二次型的規(guī)范形.標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣是對角陣.本文檔共51頁；當(dāng)前第8頁；編輯于星期三\14點31分三、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型1.經(jīng)可逆變換后，新舊二次型的矩陣的關(guān)系：因為有所以與的關(guān)系為：本文檔共51頁；當(dāng)前第9頁；編輯于星期三\14點31分2.矩陣的合同關(guān)系定義

設(shè)和是階矩陣，若有可逆矩陣，使則稱矩陣與合同.說明合同關(guān)系是一個等價關(guān)系.設(shè)與合同，若是對稱陣，則也對稱陣.對稱陣一定合同相似于一個對角陣.若與合同，則.經(jīng)可逆變換后，二次型的矩陣由變?yōu)榕c合同的矩陣,且二次型的秩不變.本文檔共51頁；當(dāng)前第10頁；編輯于星期三\14點31分把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形相當(dāng)于把對稱陣用合同變換化成對角陣(稱為把對稱陣合同對角化)，3.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形對二次型作可逆變換，相當(dāng)于對對稱陣作合同變換；即尋找可逆陣,使.定理8任給二次型,總其中是的矩陣的特征值.即任何二次型都可用正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.（主軸定理，P262Th6.1）存在正交變換，使化為標(biāo)準(zhǔn)形本文檔共51頁；當(dāng)前第11頁；編輯于星期三\14點31分推論任給二次型，總有可逆變換，使為規(guī)范形.即任何二次型都可用可逆變換化為規(guī)范形.

本文檔共51頁；當(dāng)前第12頁；編輯于星期三\14點31分證設(shè)有二次型由定理8知，存在正交變換，使設(shè)二次型的秩為，則特征值中恰有個不為0，不妨設(shè)不等于0，于是，令其中則可逆，且變換把化為本文檔共51頁；當(dāng)前第13頁；編輯于星期三\14點31分記，則可逆變換能把化為規(guī)范形本文檔共51頁；當(dāng)前第14頁；編輯于星期三\14點31分推論任給二次型，總有可逆變換，使為規(guī)范形.即任何二次型都可用可逆變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.

4.用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟：⑴寫出二次型的矩陣；⑵求出的特征值；⑶求出的兩兩正交的單位特征向量；⑷用表示在中⑶求得的特征向量構(gòu)成的矩陣，寫出所求的正交變換和二次型的標(biāo)準(zhǔn)型.本文檔共51頁；當(dāng)前第15頁；編輯于星期三\14點31分4.用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟：⑴寫出二次型的矩陣；⑵求出的特征值；⑶求出的兩兩正交的單位特征向量；⑷用表示在中⑶求得的特征向量構(gòu)成的矩陣，寫出所求的正交變換和二次型的標(biāo)準(zhǔn)型.將對稱陣正交相似對角化的步驟：(1)求特征值；(2)求兩兩正交的單位特征向量；(3)寫出正交矩陣和對角陣.本文檔共51頁；當(dāng)前第16頁；編輯于星期三\14點31分例1

已知二次型用正交變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出相應(yīng)的正交矩陣.解

析：此題是一道典型例題.目的是熟悉用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的“標(biāo)準(zhǔn)程序”.⑴

寫出二次型對應(yīng)的矩陣二次型對應(yīng)的矩陣為本文檔共51頁；當(dāng)前第17頁；編輯于星期三\14點31分⑵求的特征值由，求得的特征值為本文檔共51頁；當(dāng)前第18頁；編輯于星期三\14點31分⑶求的兩兩正交的單位特征向量對應(yīng)，解方程，由得基礎(chǔ)解系為將其單位化，得本文檔共51頁；當(dāng)前第19頁；編輯于星期三\14點31分對應(yīng)，解方程，由得基礎(chǔ)解系為將其單位化，得本文檔共51頁；當(dāng)前第20頁；編輯于星期三\14點31分對應(yīng)，解方程，由得基礎(chǔ)解系為將其單位化，得本文檔共51頁；當(dāng)前第21頁；編輯于星期三\14點31分⑷寫出正交矩陣和二次型的標(biāo)準(zhǔn)形令矩陣則為正交陣，于是，經(jīng)正交變換原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形本文檔共51頁；當(dāng)前第22頁；編輯于星期三\14點31分例1+：求一個正交變換x=Py，把二次型f=－2x1x2+2x1x3+2x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)形（規(guī)范形）．本文檔共51頁；當(dāng)前第23頁；編輯于星期三\14點31分例1+：求一個正交變換x=Py，把二次型f=－2x1x2+2x1x3+2x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)形．解：二次型的矩陣有正交陣使得于是正交變換x=Py把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形f=－2y12+y22+y32本文檔共51頁；當(dāng)前第24頁；編輯于星期三\14點31分如果要把f

化為規(guī)范形，令，即可得f

的規(guī)范形：f=－z12+z22+z32本文檔共51頁；當(dāng)前第25頁；編輯于星期三\14點31分例2

已知二次型的秩為2.⑴求參數(shù)以及此二次型對應(yīng)矩陣的特征值；⑵指出表示何種曲面.解

⑴二次型的矩陣因為的秩為2，所以的秩也為2，因而本文檔共51頁；當(dāng)前第26頁；編輯于星期三\14點31分當(dāng)時，的特征多項式為本文檔共51頁；當(dāng)前第27頁；編輯于星期三\14點31分于是，的特征值為⑵由定理8知，必存在正交變換其中為正交矩陣(不必具體求出)，使二次型于是，曲面這表示準(zhǔn)線是平面上橢圓、母線平行于軸的橢圓柱面.在新變量下稱為標(biāo)準(zhǔn)形本文檔共51頁；當(dāng)前第28頁；編輯于星期三\14點31分本文檔共51頁；當(dāng)前第29頁；編輯于星期三\14點31分一、情形1配方法的系數(shù)例3用拉格朗日配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的變換矩陣.

解本文檔共51頁；當(dāng)前第30頁；編輯于星期三\14點31分用到的線性變換為即用到的線性變換為即配方法本文檔共51頁；當(dāng)前第31頁；編輯于星期三\14點31分配方法本文檔共51頁；當(dāng)前第32頁；編輯于星期三\14點31分33所用的變換矩陣為于是，的標(biāo)準(zhǔn)形為配方法本文檔共51頁；當(dāng)前第33頁；編輯于星期三\14點31分二、情形2的系數(shù)例4用拉格朗日配方法化二次型成規(guī)范形，并求所用的變換矩陣.

解先用下面可逆變換，使二次型中即配方法本文檔共51頁；當(dāng)前第34頁；編輯于星期三\14點31分用到的線性變換為即配方法本文檔共51頁；當(dāng)前第35頁；編輯于星期三\14點31分用到的線性變換為即配方法本文檔共51頁；當(dāng)前第36頁；編輯于星期三\14點31分配方法本文檔共51頁；當(dāng)前第37頁；編輯于星期三\14點31分配方法本文檔共51頁；當(dāng)前第38頁；編輯于星期三\14點31分于是，配方法本文檔共51頁；當(dāng)前第39頁；編輯于星期三\14點31分于是，所用的變換矩陣為因此，的規(guī)范形為配方法本文檔共51頁；當(dāng)前第40頁；編輯于星期三\14點31分三、慣性定理定理9

(慣性定理)設(shè)有二次型，它的秩為，有兩個可逆變換及使及則正數(shù)的個數(shù)相等.（證明：P275Th6.3）中正數(shù)的個數(shù)與中本文檔共51頁；當(dāng)前第41頁；編輯于星期三\14點31分說明二次型的標(biāo)準(zhǔn)形正系數(shù)的個數(shù)稱為二次型的負系數(shù)的個數(shù)稱為負慣性指數(shù).

正慣性指數(shù)；若二次型的正慣性指數(shù)為，秩為，則的規(guī)范形變可確定為只有用正交變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)才是二次型矩陣的特征值.本文檔共51頁；當(dāng)前第42頁；編輯于星期三\14點31分例5下列矩陣中，與矩陣合同的矩陣是哪一個？為什么？本文檔共51頁；當(dāng)前第43頁；編輯于星期三\14點31分解析：此題的目的是熟悉慣性定理，用慣性定理解題.容易求得的特征值，于是可知，所對應(yīng)的二次型的正慣性指數(shù)為；負慣性指數(shù)為.合同的二次型應(yīng)有相同的正、負慣性指數(shù)，故選(B).

應(yīng)選(B)，理由是:本文檔共51頁；當(dāng)前第44頁；編輯于星期三\14點31分例5下列矩陣中，與矩陣合同的矩陣是哪一個？為什么？本文檔共51頁；當(dāng)前第45頁；編輯于星期三\14點31分一、正定二次型的概念定義設(shè)有二次型，⑴如果對任何，都有⑵如果對任何，都有，則稱為負定二次型，并稱對稱陣是負定的；陣是正定的；(顯然0)，則稱為正定二次型，并稱對稱本文檔共51頁；當(dāng)前第46頁；編輯于星期三\14點31分說明按定義，當(dāng)變量取不全為零的值時，二次型若是正定()二次型，則它的對應(yīng)值總是正數(shù)().負定負數(shù)若是正定二次型，則就是負定二次型.本文檔共51頁；當(dāng)前第47頁；編輯于星期三\14點31分二、正定二次型的性質(zhì)與判別法定理10二次型為正定的充要條件是：它的標(biāo)準(zhǔn)形的個系數(shù)全為正數(shù)，即它的