第七章前半部分改完

第七章前半部分改完第一頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四一.研究數(shù)值解法的必要性

1一般方程的根無(wú)法用解析表達(dá)式給出；2三次、四次方程的求根公式較繁。需要給出求根的近似值的方法。二.方程的根方程f(x)=0的解稱(chēng)為方程f(x)=0的根或稱(chēng)為f(x)的零點(diǎn)。若f(x)＝g(x)，其中m為正整數(shù)，g(x)滿足，顯然為f(x)的零點(diǎn)。這時(shí)，稱(chēng)為f(x)的m重零點(diǎn)，或稱(chēng)為f(x)=0的m重根。第二頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四定理

若f(x)具有m階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則是f(x)的m重零點(diǎn)之充要條件為：證明必要性設(shè)是f(x)的m重零點(diǎn)，則由

第三頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四當(dāng)時(shí)當(dāng)k=m時(shí)第四頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四充分性設(shè)使得由Taylor公式得其中0<θ<1，令則有且根據(jù)定義，為f(x)的m重零點(diǎn)第五頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四三.根的搜索求方程根的近似值之前，一般需要首先確定隔（有）根區(qū)間[a,b]（在[a,b]上方程僅有一個(gè)根）。方法：

通過(guò)函數(shù)f(x)的增減性、凹凸性、變號(hào)特征等，并結(jié)合做草圖來(lái)確定隔（有）根區(qū)間[a,b]。第六頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四§

1二分法（對(duì)分法）

基本思想：通過(guò)區(qū)間逐次分半，將有根區(qū)間逐步縮小。設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，f(a)f(b)<0，且在[a,b]內(nèi)f(x)=0至少有一個(gè)實(shí)根。記[a,b]為[,]

①計(jì)算[a1,b1]中點(diǎn)的函數(shù)值若＝0，則若，則令若，則令新的有根區(qū)間[,]的長(zhǎng)度第七頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四②再計(jì)算[,]中點(diǎn)的函數(shù)值若＝0，則若，則令若，則令新的有根區(qū)間[,]的長(zhǎng)度如此對(duì)分下去，則得到一系列有根區(qū)間且第八頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四由得k=1,2,3當(dāng)對(duì)分過(guò)程無(wú)限繼續(xù)下去，則有根區(qū)間必收縮為一點(diǎn)，即具體做法(1)給定ε每步檢查是否成立，若成立，取，否則繼續(xù)對(duì)分。(2)令，先確定對(duì)分次數(shù)k，再計(jì)算(3)誤差估計(jì)為第九頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四優(yōu)點(diǎn)對(duì)函數(shù)性質(zhì)要求不高（只要函數(shù)連續(xù)）；計(jì)算簡(jiǎn)單，且可達(dá)到任意精度。缺點(diǎn)計(jì)算量大；不能求復(fù)根與偶重根。第十頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四§2迭代法的算法和理論一不動(dòng)點(diǎn)迭代法對(duì)給定的方程f(x)=0，將其變?yōu)榈葍r(jià)的方程構(gòu)造k=1,2稱(chēng)為迭代序列，

(x)稱(chēng)為迭代函數(shù)。稱(chēng)為迭代格(公)式或迭代過(guò)程。當(dāng)

(x)連續(xù)時(shí)，若則有即故序列的極限為方程x=

(x)(或f(x)=0)的根第十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四若滿足，稱(chēng)為

(x)的不動(dòng)點(diǎn)。即映射關(guān)系

將映射到本身。因求f(x))的零點(diǎn)等價(jià)求

的不動(dòng)點(diǎn)。也稱(chēng)k=1,2為不動(dòng)點(diǎn)迭代法（簡(jiǎn)單迭代法或逐次逼近法）。迭代序列的收斂性及收斂速度依賴(lài)于迭代函數(shù)的選取。第十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四二不動(dòng)點(diǎn)迭代法的一般理論

定理（不動(dòng)點(diǎn)定理）已知x=

(x)，若且①對(duì)，有;②存在常數(shù)0<L<1,使對(duì)，有則①

(x)在[a,b]上有唯一的不動(dòng)點(diǎn)；②對(duì)任意k=0,1,2產(chǎn)生的序列必定收斂到

(x)的不動(dòng)點(diǎn)；③有誤差估第十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四證明①作輔助函數(shù)ψ(x)=

(x)-x由于

(x)在[a,b]上連續(xù)，則ψ(x)∈C[a,b]，且

ψ(a)=

(a)-a≥0ψ(b)=

(b)-b≤0故由連續(xù)函數(shù)的介值定理，至少存在使ψ()=0。即從而

(x)在[a,b]上存在不動(dòng)點(diǎn)。又設(shè)

(x)有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。注意且由微分中值定理得即故即(x)在[a,b]上有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。第十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四②注意且由微分中值定理其中介于與之間得k=1,2

因0<L<1，即③下面的證明需要用到由

即得第十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四由

其中ξ介于與之間。及利用②證明中的不等式，即

得第十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四Remarks①該定理的結(jié)論（證明）與線性方程組求解的簡(jiǎn)單迭代法之收斂性定理有相似之處。②由

可見(jiàn)：若當(dāng)則故一般用作為迭代停止的標(biāo)準(zhǔn)③L越小，收斂越快；L≈1，則應(yīng)該運(yùn)用加速收斂的方法。④若取定及，由可事先粗略估計(jì)迭代次數(shù)。⑤上述定理稱(chēng)為全局收斂性定理，但

不易驗(yàn)證，甚至并不成立，故多考察局部收斂性。第十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四三局部收斂性及收斂的階

1局部收斂性

①定義

若存在

(x)的不動(dòng)點(diǎn)的閉鄰域使對(duì)迭代產(chǎn)生的迭代序列均收斂于，則稱(chēng)求的迭代法

局部收斂。（在附近具有局部收斂性）②局部收斂性的判別定理

設(shè)為

(x)的不動(dòng)點(diǎn)，在的某個(gè)鄰域連續(xù)，且，則迭代法局部收斂。第十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四證明

因連續(xù)，所以存在使得對(duì)故即對(duì)有將前述定理中的[a,b]取為則對(duì)迭代法收斂。第十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四Remarks①實(shí)用的標(biāo)準(zhǔn)：若由迭代產(chǎn)生的序列均落在根的鄰域中，且在該鄰域中，則以該鄰域內(nèi)任何一點(diǎn)為初始值所產(chǎn)生的迭代序列不會(huì)收斂于。事實(shí)上故②在的鄰域中，或不恒成立，則迭代的收斂性不能斷定。③對(duì)收斂的迭代格式，收斂速度有快慢之分。第二十頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2收斂速度收斂速度是收斂過(guò)程中迭代誤差的下降速度。①p階收斂的定義設(shè)收斂于x=

(x)的根。令迭代誤差如果存在p≥1及c>0，使得（C稱(chēng)為漸近誤差常數(shù)）則稱(chēng)該迭代過(guò)程為p階收斂。0<c<1，p=1稱(chēng)為線性收斂；p>1稱(chēng)為超線性收斂；p＝2稱(chēng)為平方收斂（二次收斂）。p越大，收斂越快。第二十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四②收斂速度的判別定理設(shè)迭代格式中迭代函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)（p>1）在不動(dòng)點(diǎn)的鄰域里連續(xù)，則迭代格式為p階收斂的充要條件是且有證明

充分性當(dāng)p＝1，若則由得即迭代格式為線性收斂。第二十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四對(duì)p>1，由，知迭代格式滿足在鄰域具有局部收斂的條件，故迭代式收斂。由介于之間得故即為p階收斂。第二十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四必要性設(shè)迭代格式為p階收斂，則有即由于

在鄰域的連續(xù)性，知下面根據(jù)證明：（反證法）設(shè)有正整數(shù)，使

將在展開(kāi)，得即第二十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四顯然當(dāng)由得故這與迭代格式為p階收斂盾。當(dāng)由得故但迭代格式為p階收斂，應(yīng)有即與迭代格式為p階收斂產(chǎn)生矛盾。所以第二十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3迭代加速收斂的方法對(duì)于線性收斂的迭代格式，其收斂速度較慢（特別是），可以進(jìn)行迭代加速。一.用兩個(gè)迭代值進(jìn)行組合由,得取和則迭代公式為或當(dāng)有第二十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四Remark對(duì)因收斂，在領(lǐng)域內(nèi)，故改造后的迭代有及若即這時(shí)，當(dāng)L較大，加速收斂的效果明顯。但當(dāng)

有可能這時(shí)迭代不能加速收斂。第二十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四對(duì)于線性迭代，有通常取，即則故當(dāng)至少為二階收斂。實(shí)際中，常取的近似值作為c。得加速迭代公式即缺點(diǎn)：需估計(jì)的近似值。第二十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四二用三個(gè)迭代值的進(jìn)行組合設(shè)方程為的某個(gè)預(yù)測(cè)值為校正兩次由于在與之間在與之間在鄰域中，消去導(dǎo)數(shù)信息，即即因此可以得解下述Aitken方法。第二十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四Aitken加速收斂迭代格式給出校正再校正改進(jìn)或記上式可寫(xiě)為：稱(chēng)為Steffensen迭代格式。特點(diǎn)：不需計(jì)算導(dǎo)數(shù)值；三個(gè)迭代值進(jìn)行組合。第三十頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四對(duì)于

Steffensen迭代，有：定理

設(shè)函數(shù)

有不動(dòng)點(diǎn)，且在鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，若且則①

與有相同的不動(dòng)點(diǎn)；②Steffensen迭代為二階收斂，且極限為證明

設(shè)Steffensen迭代式為則第三十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四①驗(yàn)證與有相同的不動(dòng)點(diǎn)若則

即反之，若注意則第三十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四即注意的連續(xù)性，知故與的根相同。即與有共同的不動(dòng)點(diǎn)。第三十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四②

用定義證明Steffensen迭代為二階收斂由有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且為的不動(dòng)點(diǎn)，可得關(guān)系式：

故⑴

⑵第三十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四由