材料力學(xué)馬紅艷材力

aF

FC

DBA第六章

彎曲應(yīng)力§6.1概述一、純彎曲與橫力彎曲純彎曲FS

=

0M

≠0,

M=常量如CD

段橫力彎曲FS

≠

0M

≠

0如AC,DB

段aFFFSADCBFaMACDB二、彎曲應(yīng)力與內(nèi)力的關(guān)系彎曲正應(yīng)力σyzMAFN

=

s

d

A

=

0yM

=

As

z

d

A

=

0Mz

=

As

y

d

A

=

MAFS

=

t

d

A彎曲切應(yīng)力τyzσdAFSτdA§6.2純彎曲梁橫截面上的應(yīng)力純彎曲梁：因FS

=0所以τ

=0，σ

≠0一、變形特點縱線：變?yōu)橥膱A弧線；凹側(cè)縮短，凸側(cè)伸長。橫線：仍為直線，且垂直于縱線；不同橫截面相對轉(zhuǎn)過一個角度。橫線縱線m

nb

ba

am

nmbamnbanMM二、平面假設(shè)橫截面在梁變形后仍保持為平面，且與變彎的軸線垂直，

只是繞截面上某軸

轉(zhuǎn)動了一個角度。——對梁內(nèi)部變形的推測橫線縱線m

nb

ba

am

nmbamnbanMM三、中性層，中性軸1.中性層彎曲變形過程中長度始終不變的縱線組成的層面。意義：中性層將梁分成兩個區(qū)域：凹側(cè)縮短受壓，凸側(cè)伸長受拉。MM2.中性軸中性層與橫截面的交線。中性軸與對稱軸垂直意義——中性軸將橫截面分成兩個區(qū)域：受拉區(qū)和受壓區(qū)，而中性軸上的正應(yīng)力為零。彎曲變形可看作橫截面繞自己的中性軸轉(zhuǎn)動。橫截面四、純彎曲正應(yīng)力zyyOz

軸——中性軸y

軸——縱對稱軸y

坐標(biāo)相同的點所在縱線變形相同，因而應(yīng)力相同，所以

σ=

σ(y)dxyOO考察微段

dx

的變形

：O

-O

中性層，變形后為O′-O′ρ

——中性層曲率半徑縱對稱面ρyO′dθO′1.

變形幾何關(guān)系b′b′的線應(yīng)變3.

靜力學(xué)關(guān)系r

dqe

=

(r

+

y)dq

-

r

dq2.物理關(guān)系當(dāng)

σ

≤

σp

胡克定律Nr=

yrs

=

Ee

=

E

yEA

Ad

A

F

=

s

d

A

=

yr=Ay

d

AEr=

0MMz=

E

SrySz

=

0

s

=

E

r可見，中性軸通過橫截面的形心。EM

y

=

As

z

d

A

=

r

A

yz

d

AI

yz

=

0y是對稱軸，這一條自動滿足E

2Mz

=

Asy

d

A=

r

A

y

d

A

=

Myz=

E

I

=

0rzy

2

d

AAI

=r

EI

z1

=

M則所以I

zs

=

M

y4.

彎曲正應(yīng)力公式彎曲正應(yīng)力沿截面高度線性分布，中性軸上為零，距中性軸越遠(yuǎn)，數(shù)值越大。AM

=y

2

d

AErrs

=

E

y中性軸記慣性矩5.

最大正應(yīng)力的計算當(dāng)y

=

ymax

,有zzWI=

MMy=

maxmaxs式中maxyI

zzW

=稱抗彎截面系數(shù) 單位m3MσmaxzhbzO6.

Iz

和

Wz的計算Iz3=

bh12bh2Wz

=

6DzO32WzpD

3=64pD4I

z

=DdyzO4

)332(1

-

apDWz

=Dda

=(4

)4641

-

apDI

z

=Iz

和Wz

的計算y1

=

Mr

EI

z例1.

寬b=30mm,厚h=4mm的鋼帶，繞裝在半徑為R的圓筒上，已知鋼帶的E=200GPa，σp=400MPa,要求鋼帶繞裝過程中的應(yīng)力不超過σp，求圓筒的最小半徑R.30R4解：s

max￡

s

p=zIMymaxhhyI

zI

zmax22s

p

I

z==

s

pM

￡

s

pp=

1m2

·

400

·106=Eh

200

·109

·

4

·10-3M

?

2sr

=

R

=EI

z橫力彎曲 正應(yīng)力強度條件1.

橫力彎曲變形特點截面翹曲——平面假設(shè)不成立2.橫力彎曲正應(yīng)力采用純彎曲正應(yīng)力公式，當(dāng)梁的跨高比l／ｈ≥5時，誤差δ

＜2

﹪，因此，對細(xì)長梁，無論純彎曲還是橫力彎曲，橫截面上的正應(yīng)力都可用下式計算：s

=

M

yI

z3.彎曲正應(yīng)力強度條件注：⑴當(dāng)〔σt〕≠〔σc〕,應(yīng)分別計算?！拨襱〕——許用拉應(yīng)力〔σc〕——許用壓應(yīng)力⑵型鋼的Wz等參數(shù)應(yīng)查表。⑶截面上下不對稱應(yīng)當(dāng)用公式：￡

[s

]zWs

=

M

maxmaxzImaxM

y=

maxs解：作彎矩圖例2.寬b=120mm,高h(yuǎn)=180mm的矩形截面簡支梁如圖所示，求跨中截面上a,b,c三點的正應(yīng)力。8

8=

4.5kN

m==ql

2

4

·

32M

max=

6.94

MPa6

·10120

·18024.5

·103-9zaWMs

=

=q=4kN/m3m120180zbac50a點：b點：=

3.86

MPa12

·104.5

·103-12·

50

·10-3z=

b

=bI

120

·1803Mysc點：s

c

=

-s

a

=

-6.94

MPaM

(kN.m)4.5解：作彎矩圖例3.圖示簡支梁由56號工字鋼制成，求危險截面上的最大正應(yīng)力σmax及同一截面上a點的正應(yīng)力σa

。4

4max=

375kN

m=Fl

150

·10M

=max=

160

MPa375

·103=

max

=2340

·10-6zWMsF=150kN5m166560za21a點：=

148

MPa65600

·10-8375

·103

·(280

-

21)·10-3z=

a

=aIM

ys5mM(kN.m)375CBAy查型鋼表：4I

z

=

65600cm3Wz

=

2340cm40kN200kN/m500900ABCFA400FC例題已知：Iz=

26.1×10－6

m4

,

〔σt〕=35

MPa,〔σc〕=90

MPa求：校核梁的正應(yīng)力強度zyy1=

48Dy2=142例題解：1.

求支反力FA=14.3

kN

(↑)FC=105.7

kN(↑)MB=7.15

kNm,

MC=－16

kNm40kN200kN/m500900400ABCDFAFC7.15M(kNm)162.

內(nèi)力計算 作彎矩圖zyy2=142y1=

48討論I

zM

ys

=40kN200kN/m500900400ABCDFAFCM(kNm)7.1516zyy2=142y1=

48例題3.

強度校核[

]ZI==

87 MPa<

s

c16

·103

·142

·10-3MC

y2s

c

max

=ZI=MPa

>

[s

t

]=

38.926.1·10-67.15

·103

·142

·10-3MB

y2s

t

max

=40kN200kN/mABCD500

900

400FA

FBZI==

29.4 MPa

<

[s

t

]26.1·10-626.1·10-616

·103

·

48

·10-3MC

y1s

t

max1

=M(kNm)7.1516zyy2=142y1=

48討論40kN200kN/m500900400ABCDFAFC7.15M(