方差公式的妙用

方差公式的妙用一、知識回顧若一組數(shù)據(jù)x,x,x…x的平均數(shù)為x，方差為S2，則有123nS2=—[(x一x)2+(x一x)2+(x一x)2+…+(X一X)2]n123n變形，得1-S2= [(X2+x2+x2+…兀2)一nx2]n— 2 3 n由方差定義公式，顯然有S2—0,當(dāng)且僅當(dāng)x=x=???=x時(shí)，S2=0.這個(gè)變形后— 2 n的方差公式很有用處，在解決有些問題中，巧妙地利用這個(gè)變形公式，往往讓人耳目一新.比如，已知兩數(shù)a和b，則a和b兩數(shù)的方差為S2=—[(a2+b2)一2X()2]—0.22因此，當(dāng)問題中具備平方和的特征時(shí)，不妨考慮采用方差公式試試看，或許會有不一樣的體會.二、公式應(yīng)用判斷三角形的形狀例1設(shè)AABC的三邊為a、b、c,滿足：b+c=8，bc=a2-12a+52，試問AABC是什么三角形?并證明你的結(jié)論.分析由題設(shè)可求得b2+c2,的值及b、c的平均數(shù)，因此，b、c兩數(shù)的方差可求.解AABC為等腰三角形.證明如下:由已知，得b2+c2=(b+c)2一2bc=64一2bc=-2a2+24a一40.b+c???b、c兩數(shù)的平均數(shù)x=〒=4，b、c兩數(shù)的方差為S2=1[(b2+c2)-2X42]=-[(-2a2+24a-40)-2x42]2=-(a一6)2S2—0，即_(a—6)2—0，即(a—6)2<0，又(a—6)2—0

???此時(shí)，S2=0，故b=c=4,???AABC是以a為底，以b、c為腰的等腰三角形.例2例2解方程組S 9xy=—+2z2I 4分析兩個(gè)方程三個(gè)未知數(shù)，一般情況下是求不出具體的未知數(shù)的值的?但根據(jù)x+y及xy的值就可以求出x2+y2的值，這符合變形后的方差公式的特點(diǎn).因此，考慮利用方差變形公式，通過求x，y兩數(shù)的方差嘗試解決問題.解由題意，得x2+y2=(x+y)2—2xy9=9—2xy=9—2(_+2z2)49=一一4z22又x，y兩數(shù)的平均數(shù)為2?x，y的方差為13S2=才(x2+y2)—2X(2)2]=1[9—4z2—9]=—2z2222則z2<0，而z2>0z二0，3S2=0，此時(shí)x=y=—2「 3x=—23???原方程組的解為\y=z=0求參數(shù)的值例3設(shè)a，b，c為AABC的三邊，且滿足:(1)a>b>c；

2b二a+c；a2+b2+c2=84，貝y整數(shù)b二 .分析由題設(shè)，可得a2+b2+c2=84,a+b+c二3b,3b=b3故可以考慮通過計(jì)算a，故可以考慮通過計(jì)算a，b，c三個(gè)數(shù)的方差進(jìn)行求解；或者a+c=2b,a2+c2=84-b2，可以考慮通過計(jì)算a,c兩數(shù)的方差進(jìn)行嘗試求解.解由(2),得a+b+c=3b，a+b+c3b7.??a,b,c三個(gè)數(shù)的平均數(shù)x= 3 =y=b又由(4)a2+b2+c2=84，得a,b,c的方差為S2=*[(a2+b2+c2)-3xb2]=1x(84-3b2)=28-b2>0b2<28a+c1 =b(也可由⑵⑷，得< 2a2+c2=84-b2所以，a，c的方差為S2=1[(a2+c2)-2xb2]=1x(84-b2-2b2)3=42--b2>02.b2<28)a+c7 =b由< 2 得a2+c2=84-b24b2-2ac=84-b2，45b2=84+2ac>84,b2>16—54??.16—<b2<285又b為正整數(shù)，b2=25，b=5解多元方程例4解方程:4(Jx+Jy_1)=x+y+7.分析通過換元法構(gòu)造出兩數(shù)的平方和形式，并通過計(jì)算這兩數(shù)的方差進(jìn)行求解.解設(shè)=a,Jy-1=b,貝yx=a2,y=b2+1???原方程可化為4(a+b)=a2+b2+8,a2+b2=4(a+b)-8.a，b兩數(shù)的方差為:S2=i[(a2+b2)-2x()2]22=丄[4(a+b)-8-丄(°+b)2]22=一丄[-8(a+b)+16+(a+b)2]4=-—(a+b-4)24???S2>0?(a+b一4)2<0，即a+b—4=0a+b=4，且S2=0,從而得到a=b=2,故x=a2=4,y=b2+1=5經(jīng)檢驗(yàn)x=4,y=5是原方程的解.證明等式例5已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a=6—b,c2=ab一9,求證a=b.分析根據(jù)a=6-b，得出a+b=6，可求出a,b兩數(shù)的平方和，故可考慮通過計(jì)

算a,b兩數(shù)的方差進(jìn)行探究?如果得出方差為0則自然得出a=b，命題就成立.證明由已知，得a+b二6,/.a2+b2=36-2ab二36-2(c2+9)=18-2c2a,b兩數(shù)的方差為S2=-[(a2+b2)-2x(上纟)2]22=-[(18-2c2)-2x32]2S2>0，即c2<0.c=0此時(shí)S2=0，故有a=b.求函數(shù)的最值例64實(shí)數(shù)x、y滿足4x2—5xy+4y2=5，設(shè)m=x2+y2，則m的最大值為 分析從x2+y2形式看，容易使我們聯(lián)想到求x,y兩數(shù)的方差公式.因此，不妨用方差公式嘗試解答.解由4x2-5xy+4y2=5，得4m-5xy=—5.x，y兩數(shù)的方差為:S