高中數(shù)學(xué)蘇教版必修常用邏輯用語全稱量詞命題與存在量詞命題“十校聯(lián)賽”一等獎(jiǎng)

2.3全稱量詞命題與存在量詞命題第2章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.通過已知的數(shù)學(xué)實(shí)例,理解全稱量詞與存在量詞的意義.(數(shù)學(xué)抽象)2.能正確使用存在量詞對(duì)全稱量詞命題進(jìn)行否定.(邏輯推理)3.能正確使用全稱量詞對(duì)存在量詞命題進(jìn)行否定.(邏輯推理)課前篇自主預(yù)習(xí)情境導(dǎo)入在某個(gè)城市中有一位理發(fā)師,他的廣告詞是這樣寫的:“本人的理發(fā)技藝十分高超,譽(yù)滿全城.我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉,我也只給這些人刮臉.我對(duì)各位表示熱誠歡迎!”來找他刮臉的人絡(luò)繹不絕,這些人自然都是那些不給自己刮臉的人.可是,有一天,這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長了,他本能地抓起了剃刀.你們覺得他能不能給自己刮臉呢?如果他不給自己刮臉,他就屬于“不給自己刮臉的人”,他就要給自己刮臉.而如果他給自己刮臉,他又屬于“給自己刮臉的人”,他就不該給自己刮臉.這就是著名的“羅素理發(fā)師悖論”問題,如果我們學(xué)習(xí)了全稱量詞命題與存在量詞命題的知識(shí),就可以通過邏輯推理方法進(jìn)行分析了.知識(shí)點(diǎn)撥一、全稱量詞與全稱量詞命題1.全稱量詞“所有”“任意”“每一個(gè)”等表示全體的詞在邏輯學(xué)中稱為全稱量詞,通常用符號(hào)“?x”表示“對(duì)任意x”.2.全稱量詞命題含有全稱量詞的命題稱為全稱量詞命題,它的一般形式可表示為:?x∈M,p(x),其中,M為給定的集合,p(x)是一個(gè)關(guān)于x的語句.名師點(diǎn)析

常見的全稱量詞還有“一切”“每一個(gè)”“任給”等.由于全稱量詞不同,因此,同一個(gè)命題的不同表述形式如下:命題全稱量詞命題“?x∈M,p(x)”表述形式①對(duì)所有的x∈M,都有p(x)成立;②對(duì)一切x∈M,都有p(x)成立;③對(duì)每一個(gè)x∈M,都有p(x)成立;④任選一個(gè)x∈M,都有p(x)成立;⑤凡是x∈M,都有p(x)成立.微練習(xí)

下列命題是否為全稱量詞命題?若是,請(qǐng)指出全稱量詞,并判斷其真假.(1)所有的圓的圓心到其切線的距離都等于半徑;(2)?x∈R,x2>0;(3)負(fù)數(shù)的平方都是正數(shù).解(1)是,全稱量詞是“所有的”,真命題.(2)是,全稱量詞是符號(hào)“?”,假命題.(3)是,省略了全稱量詞“任意一個(gè)”,真命題.二、存在量詞與存在量詞命題1.存在量詞“存在”“有的”“有一個(gè)”等表示部分或個(gè)體的詞在邏輯學(xué)中稱為存在量詞,通常用符號(hào)“?x”表示“存在x”.2.存在量詞命題含有存在量詞的命題稱為存在量詞命題,它的一般形式可表示為:?x∈M,p(x),其中,M為給定的集合,p(x)是一個(gè)關(guān)于x的語句.名師點(diǎn)析

常見的存在量詞還有“有些”“對(duì)某些”等.由于存在量詞不同,因此,同一個(gè)命題的不同表述形式如下:命題存在量詞命題“?x∈M,p(x)”表述形式①存在x∈M,使p(x)成立;②至少有一個(gè)x∈M,使p(x)成立;③對(duì)有些x∈M,使p(x)成立;④對(duì)某些x∈M,使p(x)成立;⑤有一個(gè)x∈M,使p(x)成立.微思考

觀察下面的兩個(gè)語句,思考下列問題:P:m>8;Q:存在一個(gè)m∈Z,m>8.上面的兩個(gè)語句是命題嗎?二者之間有什么關(guān)系?提示

(1)語句P無法判斷真假,不是命題;語句Q在語句P的基礎(chǔ)上增加了“存在一個(gè)”,可以判斷真假,是命題.語句P是命題Q中的一部分.微練習(xí)

下列命題是真命題的是(

)A.?x∈R,x>0B.?x∈R,x2+2x+3=0C.有的三角形是正三角形D.每一個(gè)四邊形都有外接圓答案

C解析

對(duì)A,?x∈R,x>0顯然不正確;對(duì)B,?x∈R,x2+2x+3=0,因?yàn)棣?lt;0,所以方程無解,命題不正確;對(duì)C,有的三角形是正三角形,顯然正確;對(duì)D,每一個(gè)四邊形都有外接圓,顯然不正確.故選C.三、含有一個(gè)量詞的命題的否定一般地,“?x∈M,p(x)”的否定為“?x∈M,p(x)”,“?x∈M,p(x)”的否定為“?x∈M,p(x)”.其中,“p(x)”是對(duì)語句“p(x)”的否定.名師點(diǎn)析

常見關(guān)鍵詞及其否定形式

關(guān)鍵詞否定詞等于不等于能不能至少有一個(gè)一個(gè)都沒有都是不都是沒有至少有一個(gè)大于不大于小于不小于至多有一個(gè)至少有兩個(gè)是不是屬于不屬于微練習(xí)

(1)命題“存在一個(gè)三角形,內(nèi)角和不等于180°”的否定為(

)A.存在一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°B.所有三角形的內(nèi)角和都等于180°C.所有三角形的內(nèi)角和都不等于180°D.很多三角形的內(nèi)角和不等于180°(2)命題“?x∈R,x2-x+3>0”的否定是

.

(3)命題“?x∈R,x2+1<0”的否定是

.

答案

(1)B

(2)?x∈R,x2-x+3≤0

(3)?x∈R,x2+1≥0課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一全稱量詞命題與存在量詞命題的辨析及真假判斷例1判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,并判斷其真假.(1)平面內(nèi),凸多邊形的外角和等于360°;(2)至少有一個(gè)整數(shù),它既能被11整除,又能被9整除;(3)?x∈{x|x>0},x+≥2.解

(1)可以改寫為“平面內(nèi),所有凸多邊形的外角和都等于360°”,故是全稱量詞命題,是真命題.(2)命題中含有存在量詞“至少有一個(gè)”,因此是存在量詞命題,是真命題.(3)命題中含有全稱量詞“?”,是全稱量詞命題,是真命題.反思感悟1.判斷命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題的方法(1)分析命題中是否含有量詞;(2)分析量詞是全稱量詞還是存在量詞;(3)若命題中不含量詞,要根據(jù)命題的意義去判斷.2.全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法(1)要判定全稱量詞命題“?x∈M,p(x)”是真命題,需要對(duì)集合M中每個(gè)元素x,證明p(x)都成立;如果在集合M中找到一個(gè)元素x,使得p(x)不成立,那么這個(gè)全稱量詞命題就是假命題.(2)要判定存在量詞命題“?x∈M,p(x)”是真命題,只需在集合M中找到一個(gè)元素x,使p(x)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么這個(gè)存在量詞命題就是假命題.變式訓(xùn)練1以下四個(gè)命題既是存在量詞命題又是真命題的是(

)A.銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角B.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x2≤0C.兩個(gè)無理數(shù)的和必是無理數(shù)D.存在一個(gè)負(fù)數(shù)x,使

>2答案

B探究二全稱量詞命題與存在量詞命題的否定例2(1)命題“?x∈R,x2≠x”的否定是(

)A.?x?R,x2≠x B.?x∈R,x2=xC.?x?R,x2≠x D.?x∈R,x2=x(2)寫出下列命題的否定,并判斷其真假:①p:?x∈R,x2-x+≥0;②p:所有的正方形都是菱形;③p:至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x3+1=0.(1)答案

D解析

原命題的否定為“?x∈R,x2=x”,故選D.②至少存在一個(gè)正方形不是菱形,假命題.③?x∈R,x3+1≠0,假命題.因?yàn)閤=-1時(shí),x3+1=0.反思感悟?qū)θQ量詞命題和存在量詞命題進(jìn)行否定的步驟與方法(1)確定類型:是全稱量詞命題還是存在量詞命題.(2)改變量詞:把全稱量詞換為恰當(dāng)?shù)拇嬖诹吭~;把存在量詞換為恰當(dāng)?shù)娜Q量詞.(3)否定結(jié)論:原命題中“是”“有”“存在”“成立”等改為“不是”“沒有”“不存在”“不成立”等.變式訓(xùn)練2寫出下列命題的否定,并判斷其真假.(1)q:某些平行四邊形是菱形;(2)r:不論m取何實(shí)數(shù),方程x2+x-m=0必有實(shí)數(shù)根;(3)t:?x∈R,x2+2x+2≤0.解

(1)命題q的否定是“任意平行四邊形都不是菱形”,假命題;(2)命題r的否定是“存在實(shí)數(shù)m,使得方程x2+x-m=0沒有實(shí)數(shù)根”.當(dāng)Δ=1+4m<0時(shí),即當(dāng)m<-時(shí),方程x2+x-m=0沒有實(shí)數(shù)根,命題r的否定為真命題;(3)命題t的否定是“?x∈R,x2+2x+2>0”.因?yàn)閤2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0,命題t的否定為真命題.探究三由全稱(存在)量詞命題的真假確定參數(shù)的范圍例3若命題p“?x∈R,2x2-3ax+9<0”為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

解析

命題p的否定為“?x∈R,2x2-3ax+9≥0”,真命題.反思感悟應(yīng)用全稱(存在)量詞命題求參數(shù)范圍的兩類題型(1)全稱量詞命題的常見題型是“恒成立”問題,全稱量詞命題為真時(shí),意味著命題對(duì)應(yīng)的集合中的每一個(gè)元素都具有某種性質(zhì),所以可以利用代入體現(xiàn)集合中相應(yīng)元素的具體性質(zhì)中求解,也可以根據(jù)函數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)來解決.(2)存在量詞命題的常見題型是以適合某種條件的結(jié)論“存在”“不存在”“是否存在”等語句表述.解答這類問題,一般要先對(duì)結(jié)論作出肯定存在的假設(shè),然后從肯定的假設(shè)出發(fā),結(jié)合已知條件進(jìn)行推理證明,若推出合理的結(jié)論,則存在性隨之解決;若導(dǎo)致矛盾,則否定了假設(shè).變式訓(xùn)練3是否存在整數(shù)m,使得命題“?x≥-,-5<3-4m<x+1”是真命題?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.素養(yǎng)形成全稱(存在)量詞命題在不等式中的應(yīng)用典例已知函數(shù)y=x2-2x+5.(1)是否存在實(shí)數(shù)m,使不等式m+y>0對(duì)于任意x∈R恒成立,并說明理由;(2)若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使不等式m-y>0成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解

(1)存在.不等式m+y>0可化為m>-y,即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.要使m>-(x-1)2-4對(duì)于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可.故存在實(shí)數(shù)m,使不等式m+y>0對(duì)于任意x∈R恒成立,且m>-4.(2)不等式m-y>0可化為m>y,若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使不等式m>y成立,只需m>ymin.又y=(x-1)2+4,∴ymin=4,則m>4.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4,+∞).點(diǎn)評(píng)一般地,對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,a>y恒成立,只要a>ymax;若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使a>y成立,只需a>ymin.當(dāng)堂檢測1.(2020廣東廣州期末)設(shè)命題p:?x∈[0,1],都有x2-1≤0.則命題p的否定為(

)A.?x∈[0,1],使x2-1≤0B.?x∈[0,1],使x2-1≥0C.?x∈[0,1],使x2-1>0D.?x∈[0,1],使x2-1>0答案

C解析

根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題,命題p:?x∈[0,1],都有x2-1≤0的否定為?x∈[0,1],使x2-1>0.故選C.2.(2020山東滕州第一中學(xué)新校高一月考)設(shè)命題p:?k∈N,k2>2k+3,則命題p的否定為(

)A.?k∈N,k2>2k+3 B.?k∈N,k2<2k+3C.?k∈N,k2≤2k+3 D.?k∈N,k2≤2k+3答案

C解析

因?yàn)槊}p:?k∈N,k2>2k+3,所以其否定為?k∈N,k2≤2k+3.故選C.3.(2020江蘇南京外國語學(xué)校高一月考)下列命題為真命題的是(

)A.?x∈Z,1<4x<3 B.?x∈Z,15x+1=0C.?x∈R,x2-1=0 D.?x∈R,x2+x+2>0答案

D4.命題p:?x∈R,x2+2x+5<0是

(填“全稱量詞命題”或“存在量詞命題”),命題p是

(填“真”或“假”)命題,命題p的否定為

.

答案

存在量詞命題

假

?x∈R,x2+2x+5