一元二次方程

一元二次方程數(shù)學(xué)、代數(shù)名詞01簡介解法二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)發(fā)展簡史根與系數(shù)的關(guān)系目錄03050204基本信息通過化簡后，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程（quadraticequationwithoneunknown）。簡介簡介一元二次方程的一般形式是，其中是二次項(xiàng)，是二次項(xiàng)系數(shù)；是一次項(xiàng)，是一次項(xiàng)系數(shù)；是常數(shù)項(xiàng)。使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根（root）。

發(fā)展簡史發(fā)展簡史通過分析古巴比倫泥板上的代數(shù)問題，可以發(fā)現(xiàn)，在公元前2250年古巴比倫人就已經(jīng)掌握了與求解一元二次方程相關(guān)的代數(shù)學(xué)知識(shí)，并將之應(yīng)用于解決有關(guān)矩形面積和邊的問題。

相關(guān)的算法可以追溯到烏爾第三王朝。

在發(fā)現(xiàn)于卡呼恩（Kahun）的兩份古埃及紙草書上也出現(xiàn)了用試位法求解二次方程的問題。

公元前300年前后，活躍于古希臘文化中心亞歷山大的數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid）所著的《幾何原本》（Euclid’sElements）中卷II命題5、命題6以及卷VI命題12、命題13的內(nèi)容相當(dāng)于二次方程的幾何解。繼歐幾里得之后，亞歷山大數(shù)學(xué)發(fā)展第二次高潮“白銀時(shí)代”的代表人物丟番圖（Diophantus）發(fā)表了《算術(shù)》（Arithmetica）。該書出現(xiàn)了若干二次方程或可歸結(jié)為二次方程的問題。這足以說明丟番圖熟練掌握了二次方程的求根公式，但仍限于正有理根。不過他始終只取一個(gè)根，如果有兩個(gè)正根，他就取較大的一個(gè)。中國古代數(shù)學(xué)很早就涉及二次方程問題。在中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作《九章算術(shù)》中就已涉及相關(guān)問題。因此可以肯定，二次方程及其解法自東漢以來就已為人們所熟知了。

公元628年，印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多（Brahmagupta，公元598-665年以后卒）完成了《婆羅摩修正體系》（Brahma-sphuta-siddhanta），其中有兩章專論數(shù)學(xué)。在該書中，婆羅摩笈多明確給出了形如的求根公式：

但婆羅摩笈多當(dāng)時(shí)是用語言來表述的，沒有使用符號(hào)。解法直接開平方法配方法公式法因式分解法編程解法12345解法直接開平方法一般地，對(duì)于方程（I）（I）⑴當(dāng)時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程（I）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根⑵當(dāng)時(shí)，方程（I）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；⑶當(dāng)時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)，都有，所以方程（I）無實(shí)數(shù)根。但是方程（I）在復(fù)數(shù)域內(nèi)有解，配方法一般地，如果一個(gè)一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成（II）的形式，那么就有：⑴當(dāng)時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程（II）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根⑵當(dāng)時(shí)，方程（II）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；⑶當(dāng)時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)，都有，所以方程（II）無實(shí)數(shù)根，但是在復(fù)數(shù)域內(nèi)有解對(duì)于任意的一元二次方程，配方的方法是在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。

公式法主詞條：一元二次方程求根公式任何一個(gè)一元二次方程都可以寫成一般形式（III）根據(jù)用配方法解一元二次方程的經(jīng)驗(yàn)來解決這個(gè)問題：移項(xiàng)，得二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得配方，得即得①式因?yàn)?，所以，式子的值有以下三種情況：⑴這時(shí)由①得因式分解法把一個(gè)一元二次方程整理成一般形式后，如果能夠較簡便地分解成兩個(gè)一次因式的乘積，則一般用因式分解來解這個(gè)一元二次方程。將方程左邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積后（一般可用十字相乘法），分別令每一個(gè)因式等于零，可以得到兩個(gè)一元一次方程。解這兩個(gè)一元一次方程，得到的兩個(gè)解都是原方程的解。如果一元二次方程存在兩個(gè)實(shí)根，那么它可以因式分解為。如上所述，不是用開平方降次，而是先因式分解，使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于0，從而實(shí)現(xiàn)降次，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。注：當(dāng)方程等號(hào)兩邊同時(shí)出現(xiàn)同一個(gè)整式時(shí)，不可以用約分的方法約去相同的整式。編程解法用C語言求解一元二次方程的代碼如下

：用python語言求解一元二次方程的代碼如下

：根與系數(shù)的關(guān)系根與系數(shù)的關(guān)系方程的求根公式，不僅表示可以由方程的系數(shù)決定根的值，而且反映了根與系數(shù)之間的聯(lián)系。一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系表現(xiàn)于以下方面。從因式分解法可知，方程的兩根為和，將方程化為的形式。把方程的左邊展開，化為一般形式，得方程這個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)于是，上述方程兩個(gè)根的和、積與系數(shù)分別有如下關(guān)系：與原方程對(duì)照：等式兩邊同時(shí)除以,得到于是,也可以利用求根公式得，由此可得因此，方程的兩個(gè)根和系數(shù)有如下關(guān)系：二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)一般地，二次函數(shù)可以通過配方化成的形式，即因此，拋物線的對(duì)稱軸是，頂點(diǎn)是，如下圖所示，從二次函數(shù)的圖像可以看出：二次函數(shù)的圖像如果，當(dāng)時(shí)，隨的增大而