湖南省長(zhǎng)沙市高田寺中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析

湖南省長(zhǎng)沙市高田寺中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如果集合M={y|y=}，則M的真子集個(gè)數(shù)為（

）A．3

B．7

C．15

D．無(wú)窮多個(gè)參考答案：B略2.設(shè)a，b，c為△ABC中的三邊長(zhǎng)，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.參考答案：B【分析】由，則，再根據(jù)三角形邊長(zhǎng)可以證得，再利用不等式和已知可得，進(jìn)而得到，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值，即可求解．【詳解】由題意，記，又由，則，又為△ABC的三邊長(zhǎng)，所以，所以，另一方面，由于，所以，又，所以，不妨設(shè)，且為的三邊長(zhǎng)，所以．令，則，當(dāng)時(shí)，可得，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形，綜合了函數(shù)和不等式的綜合應(yīng)用，以及基本不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于綜合性較強(qiáng)的題，難度較大，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于難題．3.函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D4.下列各式中，值為的是（A） （B） （C） （D）參考答案：B【知識(shí)點(diǎn)】倍角公式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式【試題解析】對(duì)A：=1；

對(duì)B：

對(duì)C：；

對(duì)D：

故答案為：B5.在△ABC中，，則的值為

A．

B．

C．

D．參考答案：D6.對(duì)于平面，，和直線，，，，下列命題中真命題是（

）A．若，，，，則

B．若，，，則C．若，，則

D．若，，，，則參考答案：B7.點(diǎn)P(－2,－1)到直線l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ的距離為d,則d的取值范圍是(

)A.0≤d B.d≥0 C.d= D.d≥參考答案：A8.如果函數(shù)在區(qū)間上是減少的，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A略9.下列四組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是(

)A.f(x)＝|x|,g(x)＝

B.f(x)＝lgx2,g(x)＝2lgxC.f(x)＝,g(x)＝x＋1

D.f(x)＝·,g(x)＝參考答案：A10.若函數(shù)為增函數(shù)，那么的圖像是（

）參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知集合A={a,,1}，B={a2,a+b,0}，若AB且BA，則a=

，b=______。參考答案：12.在數(shù)列中，，，則等于

參考答案：3813.若函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，且滿足f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2（x﹣1），則f（x）的解析式為

．參考答案：f（x）=x2﹣3x+1【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法．【分析】函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，設(shè)出f（x）=ax2+bx+c，根據(jù)f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2（x﹣1），待定系數(shù)法求出a，b，c的值可得f（x）的解析式．【解答】解：由題意：函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，設(shè)出f（x）=ax2+bx+c，∵f（0）=1，∴c=1．f（x）=ax2+bx+1，∵f（x+1）=f（x）+2（x﹣1），那么：a（x+1）2+b（x+1）+1=ax2+bx+1+2（x﹣1），?2ax+a+b=2x﹣2由：，解得：a=1，b=﹣3．∴f（x）的解析式為f（x）=x2﹣3x+1，故答案為：f（x）=x2﹣3x+1．14.已知事件在矩ABCD的邊CD上隨意取一點(diǎn)P，使得△APB的最大邊是AB發(fā)生的概率為，則=．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】先明確是一個(gè)幾何概型中的長(zhǎng)度類型，然后求得事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的線段長(zhǎng)度，再利用兩者的比值即為發(fā)生的概率，從而求出．【解答】解：記“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”為事件M，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的長(zhǎng)度即為線段CD，構(gòu)成事件M的長(zhǎng)度為線段CD其一半，根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)PD=CD時(shí)，AB=PB，如圖．設(shè)CD=4x，則AF=DP=x，BF=3x，再設(shè)AD=y，則PB==，于是=4x，解得=，從而=．故答案為：．15.直線與平面所成角為，，則與所成角的取值范圍是

_________

參考答案：16.與向量共線的單位向量

▲

；參考答案：略17.已知變量滿足則的最大值為_(kāi)_________。參考答案：12三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=（1）證明f（x）是奇函數(shù)；（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義證明（3）求f（x）在上的最值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值；奇偶性與單調(diào)性的綜合．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）由條件利用奇函數(shù)的定義進(jìn)行判斷，可得結(jié)論．（2）由條件利用函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行證明，可得結(jié)論．（3）由條件利用函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）在上的最值．【解答】解：（1）由于函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)镽，f（﹣x）===﹣f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．（2）由于f（x）===1﹣，設(shè)x1＜x2，則＜，根據(jù)f（x1）﹣f（x2）=﹣=﹣==＜0，∴f（x1）＜f（x2），故函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．（3）在上，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷和證明，函數(shù)的單調(diào)性的判斷、證明、以及應(yīng)用，屬于中檔題．19.已知f（x）是定義在上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若a，b∈，a+b≠0時(shí)，有成立．（Ⅰ）判斷f（x）在上的單調(diào)性，并證明．（Ⅱ）解不等式：（Ⅲ）若f（x）≤m2﹣2am+1對(duì)所有的a∈恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】（Ⅰ）由f（x）在上為奇函數(shù)，結(jié)合a+b≠0時(shí)有成立，利用函數(shù)的單調(diào)性定義可證出f（x）在上為增函數(shù)；（II）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，化原不等式為﹣1≤x+＜≤1，解之即得原不等式的解集；（III）由（I）結(jié)論化簡(jiǎn)，可得f（x）≤m2﹣2am+1對(duì)所有的a∈恒成立，即m2﹣2am≥0對(duì)所有的a∈恒成立，利用一次函數(shù)的性質(zhì)并解關(guān)于m的二次不等式，即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解答】解：（I）f（x）在上為增函數(shù)，證明如下：設(shè)x1，x2∈，且x1＜x2，在中令a=x1、b=﹣x2，可得，∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，又∵f（x）是奇函數(shù)，得f（﹣x2）=﹣f（x2），∴．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）故f（x）在上為增函數(shù)…．（II）∵f（x）在上為增函數(shù)，∴不等式，即﹣1≤x+＜≤1解之得x∈上為增函數(shù)，且最大值為f（1）=1，因此，若f（x）≤m2﹣2am+1對(duì)所有的a∈恒成立，即1≤m2﹣2am+1對(duì)所有的a∈恒成立，得m2﹣2am≥0對(duì)所有的a∈恒成立∴m2﹣2m≥0且m2+2m≥0，解之得m≤﹣2或m≥2或m=0即滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|m≤﹣2或m≥2或m=0}．20.(本題滿分14分)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|<.(1)若coscosφ－sinsinφ＝0，求φ的值；(2)在(1)的條件下，若函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于，求函數(shù)f(x)的解析式；并求最小正實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)．參考答案：解:(1)由coscosφ－sinsinφ＝0得coscosφ－sinsinφ＝0，即cos＝0.

……….（3分）又|φ|<，∴φ＝；……….（6分）(2)由(1)得，f(x)＝sin.依題意，＝.又T＝，故ω＝3，∴f(x)＝sin………..（9分）函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個(gè)單位后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝sin，g(x)是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)3m＋＝kπ＋(k∈Z)，即m＝＋(k∈Z)．從而，最小正實(shí)數(shù)m＝.……….（12分）21.設(shè)函數(shù)對(duì)任意，都有，且時(shí)，，。（1）求證：是奇函數(shù)