2019-2020學年高中數(shù)學第一章立體幾何初步7.3球的表面積和體積課件北師大

7.3球的表面積和體積第一章

§7簡單幾何體的面積和體積學習目標1.了解球的表面積與體積公式，并能應用它們求球的表面積及體積.2.會求解組合體的體積與表面積.問題導學達標檢測題型探究內容索引問題導學知識點一球的截面思考什么叫作球的大圓與小圓？答案

平面過球心與球面形成的截線是大圓.平面不過球心與球面形成的截線是小圓.梳理用一個平面α去截半徑為R的球O的球面得到的是

，有以下性質：(1)若平面α過球心O，則截線是以

為圓心的球的大圓.(2)若平面α不過球心O，如圖，設OO′⊥α，垂足為O′，記OO′＝d，對于平面α與球面的任意一個公共點P，都滿足OO′⊥O′P，則有O′P＝

，即此時截線是以

為圓心，以r＝

為半徑的球的小圓.O圓O′知識點二球的切線(1)定義：與球只有

公共點的直線叫作球的切線.如圖，l為球O的切線，M為切點.(2)性質：①球的切線垂直于過切點的半徑；②過球外一點的所有切線的長度都

.相等唯一前提條件球的半徑為R表面積公式S＝______體積公式V＝_____知識點三球的表面積與體積公式πR34πR2[思考辨析判斷正誤]1.球的表面積等于它的大圓面積的2倍.(

)2.兩個球的半徑之比為1∶2，則其體積之比為1∶4.(

)3.球心與其截面圓的圓心的連線垂直于截面.(

)×√×題型探究例1已知球的表面積為64π，求它的體積.類型一球的表面積與體積解答解設球的半徑為R，則4πR2＝64π，解得R＝4，反思與感悟

(1)要求球的體積或表面積，必須知道半徑R或者通過條件能求出半徑R，然后代入體積或表面積公式求解.(2)半徑和球心是球的最關鍵要素，把握住了這兩點，計算球的表面積或體積的相關題目也就易如反掌了.跟蹤訓練1

(1)已知球的體積為π，則其表面積為______.解析答案100π解得R＝5，所以球的表面積S＝4πR2＝4π×52＝100π.類型二球的截面例2

在半徑為R的球面上有A，B，C三點，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△ABC所在截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積.解答解

依題意知，△ABC是正三角形，所以球的表面積S＝4πR2＝16π.反思與感悟(1)有關球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉化為平面中圓的問題.(2)解題時要注意借助球半徑R，截面圓半徑r，球心到截面的距離d構成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.跟蹤訓練2如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為解析√答案解析利用球的截面性質結合直角三角形求解.如圖，作出球的一個截面，則MC＝8－6＝2(cm)，設球的半徑為Rcm，則R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，解析

長方體外接球直徑長等于長方體體對角線長，所以球的表面積S＝4πR2＝14π.類型三與球有關的組合體命題角度1球的內接或外切柱體問題例3

(1)一個長方體的各個頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1,2,3，則此球的表面積為_____.14π解析答案解析

由題意知，此球是正方體的內切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長是相等的，故可得球的直徑為2，故半徑為1，(2)將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為____.解析答案反思與感悟

(1)正方體的內切球球與正方體的六個面都相切，稱球為正方體的內切球，若正方體的棱長為a，此時球的半徑為r1＝.(2)長方體的外接球長方體的八個頂點都在球面上，稱球為長方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點的三條棱長為a，b，c，則過球心作長方體的對角面有球的半徑為r2＝.√答案解析解

如圖所示，將正四面體補形成一個正方體.設正四面體的棱長為a.又∵球的直徑是正方體的體對角線，設球的半徑是R，命題角度2球的內接錐體問題例4若棱長為a的正四面體的各個頂點都在半徑為R的球面上，求球的表面積.解答解把正四面體放在正方體中，跟蹤訓練4球的一個內接圓錐滿足：球心到該圓錐底面的距離是球半徑的一半，則該圓錐的體積和此球體積的比值為________.解析答案解析

設球的半徑為R，①當圓錐頂點與底面在球心兩側時，過球心及內接圓錐的軸作軸截面如圖，達標檢測解析設圓柱的高為h，得h＝4R.1.把3個半徑為R的鐵球熔成一個底面半徑為R的圓柱，則圓柱的高為A.R B.2R

C.3R D.4R√12345答案解析答案解析解析

如圖，設截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點，12345√233.若與球外切的圓臺的上、下底面半徑分別為r，R，則球的表面積為A.4π(r＋R)2 B.4πr2R2C.4πRr D.π(R＋r)2451答案√解析23451解析

方法一如圖，設球的半徑為r1，則在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得23451方法二如圖，設球心為O，球的半徑為r1，連接OA，OB，則在Rt△AOB中，OF是斜邊AB上的高.由相似三角形的性質得OF2＝BF·AF＝Rr，故球的表面積為S球＝4πRr.4.兩個球的表面積之差為48π，它們的大圓周長之和為12π，則這兩個球的半徑之差為A.1 B.2 C.3 D.4解析

設兩球半徑分別為R1，R2，且R1>R2，所以R1－R2＝2.解析23451答案√表面積為S1＝4πR2，半徑增加為2R后，表面積為S2＝4π(2R)2＝16πR2.即體積變?yōu)樵瓉淼?倍，表面積變?yōu)樵瓉淼?倍.5.若球的半徑由R增加為