2022全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試試題及答案(A卷)

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2022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試（A卷）

參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

說明：

1.評閱試卷時，請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)的評分檔次給分.

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分,10分為一個檔次，不要增加其他中間檔次.

一、（本題滿分40分）設(shè)a1,a2,,an(n≥2)是實(shí)數(shù)，證明：可以選取

ε1,ε2,,εn∈{1,1}，使得

nnn2

∑ai+∑εiai≤(n+1)∑ai．=i1=i1=i1

證法一：我們證明：

n

22nn

n2

∑ai+∑ai∑aj≤(n+1)∑ai，①=i1=i1i1n==j+1

2

22

nn

（這里，[x]即對i=1,,，取εi=1；對=i+1,,n，取εi=1符合要求．

22

表示實(shí)數(shù)x的整數(shù)部分．）…10分

事實(shí)上，①的左邊為

州奧

2∑aii=1

n2

2

nn22nn

aaaa++∑∑jj∑i∑i

=nni1=i1jj2+12+1

2

林

2

n

2a+∑j

n=j+12

n

n2

n+1nnn+12a2∑ai2+2（利用）n∑j2i=12=22nj+1

2

n

n2≤n∑ai2+(n+1)∑a2j（利用[x]≤x）

n=i=1j+12

杭

n

n2

nn

≤2∑ai2+2n∑a2j（柯西不等式）…………30分2i=12=nj+1

2

教

2

育

2

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n2

≤(n+1)∑ai，

i=1

所以①得證，從而本題得證．…40分

證法二：首先，由于問題中a1,a2,,an的對稱性，可設(shè)a1≥a2≥≥an．此

外，若將a1,a2,,an中的負(fù)數(shù)均改變符號，則問題中的不等式左邊的∑ai不

i=1減，而右邊的∑ai2不變，并且這一手續(xù)不影響εi=1的選取，因此我們可進(jìn)一

i=1n

n

2

步設(shè)a1≥a2≥≥an≥0．…10分

引理：設(shè)a1≥a2≥≥an≥0，則0≤∑(1)i1ai≤a1．

i=1n

事實(shí)上，由于ai≥ai+1=(i1,2,,n1)，故當(dāng)n是偶數(shù)時，

i=1n

當(dāng)n是奇數(shù)時，

∑(1)

i=1

杭

引理得證．…30分

回到原題，由柯西不等式及上面引理可知

2

2

nnn22i1

∑ai+∑(1)ai≤n∑ai+a1==i1=i1i1

≤(n+1)∑ai2，

i=1n

這就證明了結(jié)論．…40分

州奧

i=1n

i1

i1ai=a1(a2a3)(an2an1)an≤a1．(1)∑

ai=(a1a2)+(a3a4)++(an2an1)+an≥0，

∑(1)

i=1

n

i1

ai=a1(a2a3)(an1an)≤a1．

林

∑(1)

n

i1

ai=(a1a2)+(a3a4)++(an1an)≥0，

教

育

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二、（本題滿分40分）設(shè)S={A1,A2,,An}，其中A1,A2,,An是n個互不相，滿足對任意Ai,Aj∈S，均有AiAj∈S．若同的有限集合（n≥2）

k

min|Ai|≥2．證明：存在x∈Ai，使得x屬于A1,A2,,An中的至少

1≤i≤n

n

i=1

n

個集k

合（這里X表示有限集合X的元素個數(shù)）．

證明：不妨設(shè)|A1|=k．設(shè)在A1,A2,,An中與A1不相交的集合有s個，重新記為B1,B2,,Bs，設(shè)包含A1的集合有t個，重新記為C1,C2,,Ct．由已知條件，(BiA1)∈S，即(BiA1)∈{C1,C2,,Ct}，這樣我們得到一個映射

f:{B1,B2,,Bs}→{C1,C2,,Ct}，f(Bi)=BiA1．

顯然f是單映射，于是s≤t．…10分

下的nst個集合中，設(shè)包含ai的集合有xi個（1≤i≤k），由于剩下的nst個集合中每個集合與A1的交非空，即包含某個ai，從而

x1+x2++xk≥nst．…20分

州

奧

1≤i≤k

不妨設(shè)x1=maxxi，則由上式知x1≥

包含a1，因此包含a1的集合個數(shù)至少為

nstns+(k1)tns+t

（利用k≥2）+t≥

kkk

n

≥（利用t≥s）．……………40分

k

三、（本題滿分50分）如圖，ABC內(nèi)接于圓O，P為上一點(diǎn)，點(diǎn)K在線段AP上，使得BK平分∠ABC．過BC

K、P、C三點(diǎn)的圓與邊AC交于點(diǎn)D，連接BD交圓

于點(diǎn)E，連接PE并延長與邊AB交于點(diǎn)F．證明：

∠ABC=2∠FCB．

杭

包含a1的集合至少有

nst

個．又由于A1Ci（i=1,,t），故C1,C2,,Ct都k

林

設(shè)A1={a1,a2,,ak}．在A1,A2,,An中除去B1,B2,,Bs,C1,C2,,Ct后，在剩

nst

，即在剩下的nst個集合中，k

教

育

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證法一：設(shè)CF與圓Ω交于點(diǎn)L（異于C），連接PB、PC、BL、KL．注意此時C、D、L、K、E、P六點(diǎn)均在圓Ω上，結(jié)合A、B、P、C四點(diǎn)共圓，可知

∠FEB=∠DEP=180∠DCP=∠ABP=∠FBP，

2

因此FBE∽FPB，故FB=FEFP．…10分

又由圓冪定理知，F(xiàn)EFP=FLFC，所以

2

FB=FLFC，

從而FBL∽FCB．…20分