《高等數(shù)學》應用實例

《高等數(shù)學》應用18例一、椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？二、磁盤的最大存儲量三、有趣的Fibonacci數(shù)列四、分形幾何中的Koch雪花五、工人上班何時效率最高？六、石油的消耗量七、捕魚成本的計算八、飛出火星九、萃取問題十、最優(yōu)化的產(chǎn)出水平十一、螞蟻逃跑問題十二、資金配置問題十三、家庭教育基金問題十四、分針與時針重合問題十五、證明是無理數(shù)十六、湖泊的污染問題十七、減肥問題十八、冷卻定律和破案一、椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？要回答這個問題，我們先要做一些合理的假設：椅子的四條腿長度相等，椅腳與地面接觸處視為一個點，四腳的連線是一個正方形；地面是一個連續(xù)曲面，沒有象臺階那樣的情況；地面是相對平坦的，即在任何位置至少有三只腳著地；在以上假設下，問題就是四只腳A、B、C、D能否同時著地？為此我們以四腳的中心為原點建立坐標系（如圖），再以原點為中心旋轉(zhuǎn)椅子，用θ表示旋轉(zhuǎn)的角度，并引入函數(shù)f(θ)表示A、C兩腿與地面的距離之和，函數(shù)g(θ)表示B、D兩腿與地面的距離之和,且不妨假設f(θ)、g(θ)都是連續(xù)函數(shù)，又因在任何位置至少有三只腳著地，所以對任何θ，有f(θ)g(θ)=0。于是，椅子能在不平的地面上放穩(wěn)的問題就轉(zhuǎn)化為：是否存在θ0，使f(θ0)=g(θ0)=0？回答是肯定的，下面是其證明。不妨假設開始時f(0)>0,g(0)=0，現(xiàn)將椅子旋轉(zhuǎn)900(π/2)，對角線AC與BD互換，由f(0)>0,g(0)=0可知f(π/2)=0,g(π/2)>0。令h(θ)=f(θ)-g(θ)，則h(0)>0，而h(π/2)<0，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理知，必存在θ0(0<θ0<π/2)，使f(θ0)-g(θ0)=0。最后，因為f(θ0)g(θ0)=0，所以f(θ0)=g(θ0)=0。這種通過對實際問題先作合理的假設，最后轉(zhuǎn)化成一個純粹的數(shù)學問題并求解的方法就是數(shù)學建模。有興趣的同學可以參考一下這方面的書籍。思考：若椅子的四腳的連線是一個長方形，如何證明椅子仍能在不平的地面上放穩(wěn)？二、磁盤的最大存儲量計算機使用的軟磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并由操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)，磁道指不同半徑構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被圓心角分隔所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長弧段可作為基本存儲單位，存儲一位，稱為bit。為了保障分辨率，磁道的寬度必須大于ρt，每bit所占用的磁道長度不小于ρb，為了檢索的便利，磁盤格式化時要求所有磁道要具有相同的bit數(shù)?，F(xiàn)有一張半徑為R的磁盤，存儲區(qū)是半徑介于r和R之間的環(huán)形區(qū)域，試確定r，使磁盤具有最大的存儲量。解：由題知，存儲量=磁道數(shù)×每磁道的bit數(shù)，另磁道數(shù)最多可達，由于每磁道具有相同的bit數(shù)，所以為獲得最大的存儲量，最內(nèi)的一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的bit數(shù)可達到。于是，總存儲量為求B(r)的最大值，計算得駐點故當時磁盤具有最大存儲量，此時最大存儲量為。三、有趣的Fibonacci數(shù)列有小兔一對，若第二個月它們成年，第三個月生下小兔一對，以后每月生產(chǎn)一對小兔，而所生小兔也在第二個月成年，第三個月生產(chǎn)另一對小兔，以后也每月生產(chǎn)小兔一對。假定每產(chǎn)一對小兔必為一雌一雄，且無死亡，試問一年后共有小兔幾對？這是意大利數(shù)學家Fibonacci在1202年所著“算法之書”中的一個題目。通過簡單的推算，我們不難得到每月末的兔子隊數(shù)為：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233，即一年末共有兔子233隊。這是一個有限項數(shù)列，按上述規(guī)律寫出的無限項數(shù)列就叫做Fibonacci數(shù)列，其中的每一項稱為Fibonacci數(shù)。若記,則此數(shù)列滿足遞推關系：其通項公式為：這最先是由法國數(shù)學家Binet（比內(nèi)）求出的。Fibonacci數(shù)列與自然、社會生活中的許多現(xiàn)象都密切相關，比如蜜蜂的“家譜”圖、鋼琴音階的排列、樹的分支等都與Fibonacci數(shù)列有關。為此，美國還專門出版了一份《Fibonacci數(shù)列季刊》，以登載它在應用上的新發(fā)現(xiàn)及有關理論。思考：有一條n階樓梯，如果每步只能跨上一級或兩級，問登上去共有幾種走法？（答案：種）四、分形幾何中的Koch雪花所謂Koch雪花，它其實是一種通過遞歸方式生成的幾何圖形。設有單位邊長的正三角形，如圖，則其周長為，面積為?，F(xiàn)將每條邊三等分，以每條邊中間一段為邊向外做正三角形，如圖，則每條邊生成的四條新邊的長度之和是原來每條邊的長度的倍，同時，生成三個新的三角形，每個的面積為原三角形面積的，故總周長，總面積，依次進行下去，并注意到（1）每一條邊生成四條新邊，邊長變?yōu)樵瓉淼模唬?）下一步，四條新邊共生成四個新的小三角形，面積是以生成前的邊為正三角形的面積的，故得到：，，，…，于是五、工人上班何時效率最高？對某工廠的上午班工人的工作效率的研究表明，一個中等水平的工人早上8：00開設工作，在t小時之后，生產(chǎn)出個晶體管收音機，問：在早上幾點鐘這個工人工作效率最高？解：求這個工人幾點鐘工作效率最高，就是問早上幾點鐘這個工人的生產(chǎn)效率取到最大值。那么，現(xiàn)在首先的問題是生產(chǎn)效率如何表示？根據(jù)題目的假設，產(chǎn)量是Q(t)，故生產(chǎn)率就是產(chǎn)量的變化率，即生產(chǎn)率函數(shù)假定上午班是從早上8：00到中午12：00，則問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)R(t)在區(qū)間上的最大值，由得函數(shù)的駐點t=3，即在當t=3時工作效率最高，此時時間是上午11：00。六、石油的消耗量近年來，世界范圍內(nèi)每年的石油消耗率呈指數(shù)增長，增長指數(shù)大約為0.07，1970年初，消耗率大約為每年161億桶。設R(t)表示從1970年起第t年的石油消耗率，則（億桶）。試用此式估計從1970年到1990年間石油消耗的總量。解：設T(t)表示從1970年間石油消耗的總量，即求T(20)。由于T(t)是石油消耗的總量，所以就是石油消耗率R(t)，即于是因T(0)=0，故c=-2300得從1970年間石油消耗的總量為：（億桶）。七、捕魚成本的計算在魚塘中捕魚時，魚越少捕魚越困難，捕撈的成本也就越高，一般可以假設每公斤魚的捕撈成本與當時池塘中的魚量成反比。假設當魚塘中有x公斤魚時，每公斤的捕撈成本是元，已知魚塘中現(xiàn)有魚10000公斤，問從魚塘中捕撈6000公斤魚需花費多少成本？解：根據(jù)題意，當塘中魚量為x時，捕撈成本函數(shù)為假設塘中現(xiàn)有魚量為A，需要捕撈的魚量為T。當我們已經(jīng)捕撈了x公斤魚之后，塘中的魚量為A-x，此時再捕撈公斤魚所需要的成本為因此，捕撈T公斤魚所需成本為將已知數(shù)據(jù)A=10000kg,T=6000kg代入，可計算出總捕撈成本為（元）八、飛出火星火星的半徑是6860千米，其表面的重力加速度是3.92米/秒2，若在火星上發(fā)射一枚火箭，試問要用怎樣的處速度才能擺脫火星的引力？解：設火星的半徑為R，質(zhì)量為M，火箭的質(zhì)量為m，根據(jù)萬有引力定律，當火箭離開火星表面距離為x時，它所受的引力為當x=0時，f=mg，因而所以當火箭上升距離為dx時，它克服火星引力所做的功為這就是功的“元素”，故當火箭從火星表面x=0處達到高度x=h時它克服火星引力所做的總功為：當時，，所以初速度必須使動能，火箭才能脫離火星引力。由此得，而g=392cm/s2,R=3430×105cm故注：眾所周知，脫離地球引力所需要的速度為11.2km/s，由此看來，如果人類有一天能在火星上居住，那么從火星上乘宇宙飛船去太空遨游應當比從地球上飛去容易得多。九、萃取問題現(xiàn)有稀水溶液的醋酸，利用苯做溶劑分3次萃取來回收醋酸，問：如何分配苯量，才能使從水溶液中萃取出的醋酸最多？解：設苯的總體積為，水溶液的體積為，溶液中醋酸的初始濃度為，并且我們假定每次萃取時都遵守下列定律：（i=1,2,3）（1）式中為常數(shù)，分別表示第i次萃取時苯中的醋酸濃度和水溶液中的醋酸濃度?，F(xiàn)將苯的總體積分成三份。對第一次萃取做醋酸的平衡計算，即：醋酸總量=苯中的醋酸量+水溶液中的醋酸量，由醋酸的物料平衡計算，得：（2）將（1）代入（2）有：（3）同理，對第二、三次萃取分別有：（4）（5）由（3）（4）（5）式得：（6）為了在苯一定量時萃取出的醋酸量最多，應為極小值，則只須考慮（6）分母的極大值，為此，設，問題轉(zhuǎn)化為求在條件下的極值問題。由Lagrange乘數(shù)法，設：由解得：不難驗證，這時取得最大值，從而取得最小值。也不難看出，這個結(jié)果是一般性的，即為了使萃取出的物質(zhì)最多，無論將溶劑分成多少份，每次都應該采用等量的溶劑。十、最優(yōu)化的產(chǎn)出水平假設某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，在生產(chǎn)過程中，兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量是不相關的，但兩種產(chǎn)品在生產(chǎn)技術(shù)上是相關的，這樣，總成本為產(chǎn)量的函數(shù)：，且兩種產(chǎn)品的邊際成本（總成本的偏導）也是的函數(shù)：，，經(jīng)濟學中一般總認為產(chǎn)出和銷售是一致的，從而總收益也是的函數(shù)：?，F(xiàn)在的問題是如何確定每種產(chǎn)品的產(chǎn)量，以使廠家獲得最大的利潤？廠家的利潤函數(shù)，由極值的必要條件有：這里，稱為邊際收益（總收益的偏導）。上式說明：廠家要獲得最大利潤，每種產(chǎn)品的產(chǎn)出水平應使得其邊際收益等于邊際成本。如：一工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，其總成本函數(shù)，兩種產(chǎn)品的需求函數(shù)分別為，，其中分別為兩種產(chǎn)品的價格。為使工廠獲得最大利潤，試確定兩種產(chǎn)品的產(chǎn)出水平。解：工廠的總收益函數(shù)，由有：，解之得：。故當兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為5和3時，工廠獲利最大；最大利潤。十一、螞蟻逃跑問題一長方形的金屬板，假定其四個頂點的坐標分別為（1，1），（5，1），（1，3），（5，3），在（0，0）處置一火焰，其使金屬板受熱，且假定板上任意點處的溫度與該點到原點的距離成反比。現(xiàn)在（3，2）處有一螞蟻，問這只螞蟻沿何方向爬行才能最快到達較涼快的地方？解：板上任意點處的溫度，其中是一個比例常數(shù)，溫度變化最快的方向?qū)嶋H就是梯度所指的方向，計算可得：，，其單位向量所指方向就是由熱變冷最快的方向（其反方向是由冷變熱最快）。螞蟻雖然不懂梯度，但根據(jù)它的感覺細胞的反饋信息，它將沿這個方向逃跑。注：借助微分方程的知識，我們還可求出螞蟻的逃跑路線。十二、資金配置問題設某制造商的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)，其中分別表示勞動力和資本，表示產(chǎn)量；若勞動力和資本的單位成本分別為150元和250元，現(xiàn)該制造商的總預算為5萬元，問他要如何分配這筆錢來購買勞動力和資本，以使生產(chǎn)量最高？解：這實際是個求函數(shù)在條件下的最值問題；設，由有，即該制造商應該雇傭250個勞動力而把其余資金作為資本投入可獲得最大產(chǎn)量。十三、家庭教育基金問題從1994年開始，我國逐步實行大學收費制度，各銀行也相應地開展了家庭教育基金儲蓄。一個小孩從出生開始，其父母每年向銀行存入元作為教育基金，若銀行的年復利率為，試寫出第年后教育基金總額的表達式。假設小孩到18歲進入大學時所需費用為3萬元，按年利率10%計算，問其父母每年需向銀行存入多少元？解：設年后教育基金總額為，每年向銀行存入元，年復利率為，則有遞推關系：，即：==代入有：，，對求和有：．現(xiàn)，代入有（元）．即父母每年至少應向銀行存入586.40元才能保證小孩在18歲時有3萬元的大學費用．十四、分針與時針重合問題在下午1點到2點之間的什么時間，時鐘的分針和時針恰好重合？解：從下午1點開始，當分針走到1時，時針走到；當分針走到時，時針又向前走到；依此類推，分針要追上時針需時：．這是一個等比級數(shù)，其和為（小時）5分27秒27．即分針與時針重合的時間為下午1點過5分27秒27．十五、證明是無理數(shù)解：利用反證法，假設，其中、為整數(shù)，借助的Maclaurin級數(shù)，令，我們有：將上式兩邊乘，改寫成下列形式：注意到上式的右邊是正的，而左邊是整數(shù)，故左邊是正整數(shù)．但：右邊=<==<不是正整數(shù)．從而證明只能是無理數(shù)．十六、湖泊的污染問題某湖泊的水量為V，每年排入湖泊內(nèi)含污染物A的污水量為，流入湖泊內(nèi)不含有A的水量為，留出湖泊的水量為，已知1999年底湖中A的含量為，超過國家規(guī)定指標，為了治理污染，從2000年年初起，限定排入湖泊中含A污水的濃度不超過，問至少需要經(jīng)過多少年，湖泊中污染A的含量降至以內(nèi)？（注：設湖水中A的濃度是均勻的）分析：本題實為建立湖中污染物含量與時間之間的函數(shù)關系。但無法直接得到，而需通過微分方程來求的，那么，應尋找污染物的改變量與時間間隔之間的關系，從而建立微分方程。解：設從2000年初（令此時）開始，第年湖中污染物A的總含量為，濃度為，在在時間間隔內(nèi)，排入湖中A的量為，流出湖泊的水中A的量為，因而在此時間間隔內(nèi)湖中污染物A的改變量為此為可分離變量的一階微分方程，分離變量解的。代入初始條件，得于是令得即至多需要經(jīng)過年，湖泊中污染物A的含量降至以內(nèi)。十七、減肥問題減肥的問題實際上是減少體重的問題，假定某人每天的飲食可以產(chǎn)生AJ熱量，用于基本新陳代謝每天所消耗的熱量為BJ，用于鍛煉所消耗的熱量為CJ，為簡單計，假定增加（或減少）體重所需熱量全由脂肪提供，脂肪的含熱量為DJ，求此人體重隨時間的變化規(guī)律。解：（1）建立微分方程與定解條件，設時刻（單位：（天））的體重為，根據(jù)熱量平衡原理，在時間內(nèi)人體熱量的改變量=吸收的熱量—消耗的熱量，即記則得方程設開始減肥時刻為，體重為，于是初值條件為（2）解微分方程，由分離變量法解得方程的通解為代入初值條件可得特解為（3）由上面的結(jié)論得如下結(jié)論：由于因此，隨著時間的增加體重將逐漸趨于常數(shù)，又，因此，只要節(jié)食，加強鍛煉，調(diào)節(jié)新陳代謝，使體重達到你要所希望的體重是可能的。若，即，則，這就是說，如果吃的越少。攝取的熱量僅夠維持新陳代謝