湖南省邵陽市2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期末考試-數(shù)學(xué)試題

PAGE2021年上學(xué)期高一期末考試數(shù)學(xué)試題選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合A＝{x|2x﹣1＞5}，B＝{3，4，5，6}，則A∩B＝（）A．? B．{3} C．{3，4，5，6} D．{4，5，6}2．若a∈R，且復(fù)數(shù)a﹣1+（a﹣2）i（i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則a＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣23．已知向量＝（9，6），＝（3，x），若∥，則?（﹣）＝（）A．﹣26 B．﹣25 C．25 D．264．已知函數(shù)，則f（2021）＝（）A．1B．2 C．D．35．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則（）A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m∥α，m⊥n，則n⊥α C．若α∥β，m⊥α，n∥β，則m⊥n D．若m∥n，n?α，則m∥α6．某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的150個(gè)地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取15個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，…，15），其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得＝60，＝1200，則該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值為（）A．60 B．12000 C．1200 D．60007．已知正方體的棱長為4，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，若平面過點(diǎn)且與平面平行，則平面截正方體所得的截面面積為（）A． B．2 C． D．38．函數(shù)（，）的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圖中圓C與的圖象交于M，N兩點(diǎn)，且M在y軸上，則下列說法中正確的是（）A．函數(shù)的最小正周期是2πB．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱C．函數(shù)在單調(diào)遞增D．將函數(shù)的圖象向左平移后得到的關(guān)于y軸對稱二．選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分。部分選對的特2分，有選錯(cuò)的得0分。9．經(jīng)過簡單隨機(jī)抽樣獲得的樣本數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，則下列說法正確的是（）A．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn方差s2＝0，則所有的數(shù)據(jù)xi（i＝1，2，…，n）相同 B．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的均值為3，則數(shù)據(jù)yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的均值為6C．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的中位數(shù)為90，則估計(jì)總體中有至少有50%的數(shù)據(jù)不大于90D．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的眾數(shù)為78，則可以說總體中的眾數(shù)為7810．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)2＝b2+c2﹣2bccosA B．a(chǎn)sinB＝bsinA C．a(chǎn)＝bcosC+ccosB D．a(chǎn)cosB+bcosC＝c11．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，點(diǎn)D為線段AB上靠近A端的三等分點(diǎn)，E為CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．＝ B．與的夾角的余弦值為 C．＝﹣ D．△AED的面積為212．如圖，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，AD＝DE＝2，G為線段AE上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A．AE⊥CF B．多面體ABCDEF的體積為 C．若G為線段AE的中點(diǎn)，則GB∥平面CEF D．BG2+CG2的最小值為11三．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若對任意x∈R，cos（x﹣φ）＝sinx恒成立，則常數(shù)φ的一個(gè)取值為．14．已知一場足球比賽中，隊(duì)員甲進(jìn)球的概率為0.4，隊(duì)員乙進(jìn)球的概率為0.3，這兩名隊(duì)員是否進(jìn)球相互獨(dú)立，則同一場比賽中他們兩人至少有一人進(jìn)球的概率為．15．設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是.16．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直棱柱稱之為“塹堵”．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1為一個(gè)“塹堵”，底面△ABC中，AB⊥AC，且AB＝AC＝2，AA1＝4，點(diǎn)P在棱CC1上，當(dāng)A1P⊥BP時(shí)，三棱錐P﹣ABC外接球的表面積為．四．解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知||＝4，||＝3，（2﹣3）·（2﹣）＝43．（1）求與的夾角θ；（2）求．18．（12分）某校2020屆高三數(shù)學(xué)教師為分析本校2019年高考文科數(shù)學(xué)成績，從該校文科生中隨機(jī)抽取400名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將他們的成績分成六段[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140]后得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）若每組數(shù)據(jù)以該組的中點(diǎn)值作為代表，估計(jì)這400個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)和平均數(shù)；（2）用分層抽樣的方法，從這400名學(xué)生中抽取20人，再從所抽取的20人中成績在[120，140]內(nèi)的學(xué)生中抽取2人，求這2人至少有一人成績在[130，140]內(nèi)的概率．19．（12分）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，且各棱長均相等．D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A1C1的中點(diǎn)．（1）證明：EF∥平面A1CD（2）求直線EF與直線A1B1所成角的正弦值．20．（12分）中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.（1）求A；（2）若BC＝3，求周長的最大值.21．（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.22．（12分）已知關(guān)于x的不等式ax2﹣x+1﹣a≤0．（1）當(dāng)a∈R時(shí)，解關(guān)于x的不等式；（2）當(dāng)a∈[2，3]時(shí)，不等式ax2﹣x+1﹣a≤0恒成立，求x的取值范圍．

2021年上學(xué)期高一期末考試數(shù)學(xué)參考答案一．選擇題（共8小題）1．已知集合A＝{x|2x﹣1＞5}，B＝{3，4，5，6}，則A∩B＝（）A．? B．{3} C．{3，4，5，6} D．{4，5，6}【答案】D．2．若a∈R，且復(fù)數(shù)a﹣1+（a﹣2）i（i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則a＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【答案】A．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)基本概念的理解，解題的關(guān)鍵是掌握純虛數(shù)的定義，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．已知向量＝（9，6），＝（3，x），若∥，則?（﹣）＝（）A．﹣26 B．﹣25 C．25 D．26【解答】解：∵∥，∴9x＝18，∴x＝2，∴＝（3，2），∴﹣＝（6，4），∴?（﹣）＝3×6+2×4＝26．故選：D．4．已知函數(shù)，則f（2021）＝（）A．1 B．3 C．log36 D．2【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝，則f（2021）＝f（﹣3+4×506）＝f（﹣3）＝log33+2＝3；故選：B．5．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則（）A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m∥α，m⊥n，則n⊥α C．若α∥β，m⊥α，n∥β，則m⊥n D．若m∥n，n?α，則m∥α【解答】解：對于A，若m∥α，n∥α，則m∥n或m與n相交或異面，故A錯(cuò)誤；對于B，若m∥α，m⊥n，則n∥α或n?α或n與α相交，相交也不一定垂直，故B錯(cuò)誤；對于C，若α∥β，m⊥α，則m⊥β，又n∥β，∴m⊥n，故C正確；對于D，若m∥n，n?α，則m∥α或m?α，故D錯(cuò)誤．故選：C．6．某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的150個(gè)地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取15個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，…，15），其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得＝60，＝1200，則該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（）A．60 B．12000 C．1200 D．6000【解答】解：由題意可知，15個(gè)樣區(qū)的野生動(dòng)物的平均數(shù)為＝1200＝，所以該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值為．故選：B．7．已知正方體的棱長為4，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，若平面過點(diǎn)且與平面平行，則平面截正方體所得的截面面積為（）A． B．2 C． D．3【解答】如圖所示，取的中點(diǎn)，則平面即為平面，過點(diǎn)作的平行線與交于點(diǎn)，則，過點(diǎn)作的平行線與交于點(diǎn)，則，平面截正方體所得的截面為，且，，在中，，所以，故的面積為．故答案為：．故選：A．8．函數(shù)（，）的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圖中圓C與的圖象交于M，N兩點(diǎn)，且M在y軸上，則下列說法中正確的是（）A．函數(shù)的最小正周期是2πB．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱C．函數(shù)在單調(diào)遞增D．將函數(shù)的圖象向左平移后得到的關(guān)于y軸對稱【解答】根據(jù)函數(shù)（，）的部分圖象以及圓C的對稱性，可得，兩點(diǎn)關(guān)于圓心對稱，故，則，解得：，函數(shù)的周期為，故A錯(cuò)誤；∵函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，∴函數(shù)的對稱中心為，則當(dāng)時(shí)，對稱中心為，故B不正確；函數(shù)的一條對稱軸為，在x軸負(fù)方向內(nèi)，接近于y軸的一條對稱軸為，由圖像可知，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故C正確；的一條對稱軸為，∴函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，此時(shí)，所得圖象關(guān)于直線對稱，故D錯(cuò)誤.故選：C二．多選題（共4小題）9．經(jīng)過簡單隨機(jī)抽樣獲得的樣本數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，則下列說法正確的是（）A．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn方差s2＝0，則所有的數(shù)據(jù)xi（i＝1，2，…，n）相同 B．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的均值為3，則數(shù)據(jù)yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的均值為6C．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的中位數(shù)為90，則估計(jì)總體中有至少有50%的數(shù)據(jù)不大于90 D．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的眾數(shù)為78，則可以說總體中的眾數(shù)為78【解答】解：對于A，數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2＝0，則所有的數(shù)據(jù)xi（i＝1，2，…，n）相同，即x1＝x2＝?＝xn，所以選項(xiàng)A正確；對于B，數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的均值為3，則數(shù)據(jù)yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的均值為＝2×3+1＝7，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C，數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的中位數(shù)為90，則可以估計(jì)總體中有至少有50%的數(shù)據(jù)不大于90，符合百分位數(shù)的定義，選項(xiàng)C正確；對于D，樣本數(shù)據(jù)具有隨機(jī)性，所以樣本的眾數(shù)不一定是總體的眾數(shù)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC．10．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)2＝b2+c2﹣2bccosA B．a(chǎn)sinB＝bsinA C．a(chǎn)＝bcosC+ccosB D．a(chǎn)cosB+bcosC＝c【解答】解：由余弦定理可知A顯然成立；由正弦定理，得asinB＝bsinA，B正確；因?yàn)閎cosC+ccosB＝2RsinBcosC+2RsinCcosB＝2Rsin（B+C）＝2RsinA＝a，C成立；因?yàn)閍cosB+bcosC＝2RsinAcosB+2RsinBcosC＝2R（sinAcosB+sinBcosC）≠2RsinC＝c，D不正確．故選：ABC．11．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，點(diǎn)D為線段AB上靠近A端的三等分點(diǎn)，E為CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．＝ B．與的夾角的余弦值為 C．＝﹣ D．△AED的面積為2【解答】解：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，故以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則A（0，0），B（3，0），C（0，4），D（1，0），E（），所以，，，對于A，因?yàn)椋裕?，故選項(xiàng)A正確；對于B，，，所以與的夾角的余弦值為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C，＝，故選項(xiàng)C正確；對于D，△AED的面積為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC．12．如圖，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，AD＝DE＝2，G為線段AE上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A．AE⊥CF B．多面體ABCDEF的體積為 C．若G為線段AE的中點(diǎn)，則GB∥平面CEF D．BG2+CG2的最小值為11【解答】解：如圖所示，將幾何體ABCDEF補(bǔ)全成棱長為2的正方體，在正方體中，因?yàn)镃F∥DM，DM⊥AE，所以AE⊥CF，故A正確，因?yàn)閂ABCDEF＝V正方體＝﹣2VF﹣AME＝8﹣2×，所以B錯(cuò)誤，當(dāng)G為線段AE的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)槠矫鍳BD∥CEF，所以GB∥CEF，故C正確，過G作AD的垂線，垂足為H，連接HB，HC，則BG2+CG2＝AB2+AG2+CD2+DG2＝8+AG2+DG2＝8+AH2+DH2+2GH2，因?yàn)锳H＝GH，所以BG2+CG2＝8+DH2+3AH2＝8+（2﹣AH）2+3AH2＝4AH2﹣4AH+12＝4（AH﹣2+11，當(dāng)AH＝時(shí)，BG2+CG2取得最小值為11，故D正確，故選：ACD．三．填空題（共4小題）13．若對任意x∈R，cos（x﹣φ）＝sinx恒成立，則常數(shù)φ的一個(gè)取值為．【解答】解：因?yàn)閷θ我鈞∈R，cos（x﹣φ）＝sin[﹣（x﹣φ）]＝sin（﹣x+φ）＝sin（π﹣x）恒成立，所以﹣x+φ＝π﹣x+2kπ，k∈Z，可得φ＝2kπ+，k∈Z，故答案為：．（或2kπ+，k∈Z中的一個(gè)）14．已知一場足球比賽中，隊(duì)員甲進(jìn)球的概率為0.4，隊(duì)員乙進(jìn)球的概率為0.3，這兩名隊(duì)員是否進(jìn)球相互獨(dú)立，則同一場比賽中他們兩人至少有一人進(jìn)球的概率為0.58．【解答】解：一場足球比賽中，隊(duì)員甲進(jìn)球的概率為0.4，隊(duì)員乙進(jìn)球的概率為0.3，這兩名隊(duì)員是否進(jìn)球相互獨(dú)立，同一場比賽中他們兩人至少有一人進(jìn)球的對立事件是他們兩人同時(shí)不進(jìn)球，∴同一場比賽中他們兩人至少有一人進(jìn)球的概率為：P＝1﹣（1﹣0.4）（1﹣0.3）＝0.58．故答案為：0.58．15．設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是.【解答】，所以，為上的偶函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù).因，由得到，故，或故答案為：．16．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直棱柱稱之為“塹堵”．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1為一個(gè)“塹堵”，底面△ABC中，AB⊥AC，且AB＝AC＝2，AA1＝4，點(diǎn)P在棱CC1上，當(dāng)A1P⊥BP時(shí)，三棱錐P﹣ABC外接球的表面積為12π．【解答】解：在Rt△ABC中，由AB＝AC＝2，得BC＝，在Rt△AA1B中，，設(shè)PC1＝a，則PC＝4﹣a（0＜a＜4），在Rt△A1C1P中，可得，在Rt△BPC中，BP＝．∵A1P⊥BP，∴，得，解得a＝2，則PC＝4﹣a＝2．即P為CC1的中點(diǎn)．∵底面ABC為直角三角形，∴外接圓的圓心在斜邊BC的中點(diǎn)M處，設(shè)三棱錐P﹣ABC外接球的球心為O，則OM⊥平面ABC，且OM＝PC＝1．∴R＝，∴三棱錐P﹣ABC外接球的表面積為S＝4πR2＝4π×3＝12π．故答案為：12π．四．解答題（共6小題）17．已知||＝4，||＝3，（2﹣3）·（2﹣）＝43．（1）求與的夾角θ；（2）求．【解答】解：（1）||＝4，||＝3，（2﹣3）·（2﹣）＝43．可得＝48，所以＝6，所以＝6，所以cos＝，可得＝．（2）＝＝＝．18．某校2020屆高三數(shù)學(xué)教師為分析本校2019年高考文科數(shù)學(xué)成績，從該校文科生中隨機(jī)抽取400名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將他們的成績分成六段[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140]后得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）若每組數(shù)據(jù)以該組的中點(diǎn)值作為代表，估計(jì)這400個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)和平均數(shù)；（2）用分層抽樣的方法，從這400名學(xué)生中抽取20人，再從所抽取的20人中成績在[120，140]內(nèi)的學(xué)生中抽取2人，求這2人至少有一人成績在[130，140]內(nèi)的概率．【解答】解：（1）眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形對應(yīng)的成績區(qū)間的中點(diǎn)，即眾數(shù)的估計(jì)值為115．平均數(shù)估計(jì)值為10×（85×0.005+95×0.010+105×0.020+115×0.03+125×0.025+135×0.010）＝114；（2）由頻率分布直方圖得，成績在[80，90）內(nèi)的人數(shù)為0.005×10×400＝20人，[90，100）內(nèi)的人數(shù)為0.010×10×400＝40人，[100，110）內(nèi)的人數(shù)為0.020×10×400＝80人，[110，120）內(nèi)的人數(shù)為0.030×10×400＝120人，[120，130）內(nèi)的人數(shù)為0.025×10×400＝100人，[130，140]內(nèi)的人數(shù)為0.010×10×400＝40人，按照分層抽樣方法，抽取20人，則成績在[80，90）的1人，[90，100）的2人，[100，110）的4人，[110，120）的6人，[120，130）的5人，[130，140]的2人，記成績在[120，130）內(nèi)的5人分別為a，b，c，d，e，成績在[130，140]的2人分別為x，y，則從成績在[120，140]內(nèi)的學(xué)生中任意取2人的基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，e），（b，x），（b，y），（c，d），（c，e），（c，x），（c，y），（d，e），（d，x），（d，y），（e，x），（e，y），（x，y），共21種，其中成績在[130，140]中至少有1人的基本事件有：（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（e，x），（e，y），（x，y），共11種，所以2人中至少有一人成績在[130，140]內(nèi)的概率．19．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，且各棱長均相等．D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A1C1的中點(diǎn)．（1）證明：EF∥平面A1CD（3）求直線EF與直線A1B1所成角的正弦值．【解答】（1）證明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1．連結(jié)ED，在三角形ABC中，因?yàn)镈、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，所以DE＝AC且DE∥AC，又因?yàn)镕為A1C1的中點(diǎn)，可得A1F＝DE，且A1F∥DE，即四邊形A1DEF為平行四邊形，所以A1D∥EF．又EF?平面A1CD，DA1?平面A1CD，所以EF∥平面A1CD．（2）易知：A1D∥EF，直線EF與直線A1B1所成角，就是直線A1D與直線A1B1所成角，也是∠A1DA，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，且各棱長均相等．D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A1C1的中點(diǎn)．設(shè)棱長為2，則AD＝1，A1D＝，sin∠A1DA＝＝．直線EF與直線A1B1所成角的正弦值：．20．（12分）中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.（1）求A；（2）若BC＝3，求周長的最大值.【