2021年安徽省合肥市第十三中學高三數學理期末試卷含解析

2021年安徽省合肥市第十三中學高三數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設集合，，

則“”是“”的

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充分必要條件

D．即不充分也不必要條件參考答案：C本題是在集合與邏輯用語的交匯處命題，考查了集合的運算與充要關系的判定，難度一般。因為，所以，所以，所以是的充要條件，故選C2.已知等比數列{}的前n項和為Sn，且S3=7a1，則數列{}的公比q的值為

（

）

A．2

B．3

C．2或－3

D．2或3參考答案：答案：C3.設非零向量a，b，c，若，那么|p|的取值范圍為

A．[0,1]

B．[0,2]

C．[0,3]

D．[1,2]參考答案：C因為，，是三個單位向量，因此三個向量同向時，|p|的最大值為3.4.已知函數是自然對數的底數）與的圖象上存在關于x軸對稱的點，則實數a的取值范圍是（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】由已知，得到方程即在[，e]上有解，構造函數，求出它的值域，即可得到a的范圍．【詳解】根據題意，若函數（，是自然對數的底數）與的圖象上存在關于軸對稱的點，則方程在區(qū)間上有解，即，即方程在區(qū)間上有解，設函數，其導數，又，在有唯一的極值點，分析可得：當時，，為減函數，當時，，為增函數，故函數有最小值，又由，，比較得，故函數有最大值，故函數在區(qū)間上的值域為；若方程在區(qū)間上有解，必有，則有，即的取值范圍是.故選A.【點睛】本題考查了利用導數研究函數的值域問題，考查了構造函數法求方程的解及參數范圍，考查了轉化思想，屬于中檔題．5.已知正數的等比中項是2，且，則的最小值是（▲）A．3

B．4

C．5

D．6參考答案：C略6.已知曲線y＝x2－2上一點P，則過點P的切線的傾斜角為()．A．30°

B．45°

C．135°

D．165°參考答案：B7.已知函數()，如果（），那么的值是（

）

A．

B．3

C．5

D．參考答案：A8.已知拋物線C1：x2=2py(p>0)的準線與拋物線C2:x2=-2py(p>0)交于A、B兩點，C1的焦點為F，若?FAB的面積等于1，則C1的方程是A.x2=2y

B.x2=y

c.x2=y

D.x2=y參考答案：A解：拋物線C1的準線是，與拋物線C2:x2=-2py(p>0)聯(lián)立得C1的焦點為F∴∴9.已知角α的頂點與直角坐標系的原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊在直線x+3y=0上，則cos2α的值為（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：C【考點】二倍角的余弦；任意角的三角函數的定義．【分析】根據直線的斜率等于傾斜角的正切值，得到tanα的值，然后根據同角三角函數間的基本關系和二倍角的余弦，將cos2α化為關于tanα的式子，代入求值．【解答】解：由題意知：直線的斜率k=tanα=﹣，∴cos2α=cos2α﹣sin2α====．故選：C．10.設集合，集合，則

等于

A．

B．

C．

D．參考答案：D,所以，選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，則常數

.參考答案：112.數列{an}的奇數項成等差數列，偶數項成等比數列，公差與公比均為2，并且a2＋a4a1＋a5，a4＋a7a6＋a3。則使得成立的所有正整數m的值為_______________。參考答案：113.已知x＞0，y＞0，x+y2=4，則log2x+2log2y的最大值為．參考答案：2【考點】基本不等式．【分析】利用基本不等式、對數的運算法則和單調性即可得出．【解答】解：∵實數x，y＞0，x+y2=4，∴4=x+y2≥2，化為xy2≤4，當且僅當x=2，y=時取等號．則log2x+2log2y=log2（xy2）≤log24=2．因此log2x+2log2y的最大值是2．故答案為：2．14.已知、為雙曲線C:的左、右焦點，點P在C上，∠=，則_______________參考答案：略15.設，則a，b，c從小到大的關系為．參考答案：a＜b＜c略16.定義在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數y=f（x），如果?ξ∈[a，b]，使得f（b）﹣f（a）=f′（ξ）（b﹣a），則稱ξ為區(qū)間[a，b]上的“中值點”．下列函數： ①f（x）=3x+2；

②f（x）=x2﹣x+1；

③f（x）=ln（x+1）；

④f（x）=（x﹣）3， 在區(qū)間[0，1]上“中值點”多于一個的函數序號為．（寫出所有滿足條件的函數的序號） 參考答案：①④【考點】導數的概念． 【分析】根據題意，“中值點”的幾何意義是在區(qū)間[0，1]上存在點，使得函數在該點的切線的斜率等于區(qū)間[0，1]的兩個端點連線的斜率值．分別畫出四個函數的圖象，如圖．由此定義再結合函數的圖象與性質，對于四個選項逐個加以判斷，即得正確答案． 【解答】解：根據題意，“中值點”的幾何意義是在區(qū)間[0，1]上存在點，使得函數在該點的切線的斜率等于區(qū)間[0，1]的兩個端點連線的斜率值．如圖． 對于①，根據題意，在區(qū)間[0，1]上的任何一點都是“中值點”，故①正確； 對于②，根據“中值點”函數的定義，拋物線在區(qū)間[0，1]只存在一個“中值點”，故②不正確； 對于③，f（x）=ln（x+1）在區(qū)間[0，1]只存在一個“中值點”，故③不正確； 對于④，根據對稱性，函數在區(qū)間[0，1]存在兩個“中值點”，故④正確．故答案為：①④． 【點評】本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了導數及其幾何意義等知識點，屬于中檔題． 17.函數f(x)=x﹣lnx的單調減區(qū)間為

▲

．參考答案：(0,1]

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數

（Ⅰ）求函數的最小正周期；（Ⅱ），求函數的最大值及相應的自變量x的取值.參考答案：解：（1）∵，∴函數的最小正周期． （2）由，得

∴由圖像知當即時，有略19.已知橢圓，過焦點垂直于長軸的弦長為1，且焦點與短軸兩端點構成等邊三角形.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線l交橢圓于A，B兩點，交直線于點E，判斷是否為定值，若是，計算出該定值；不是，說明理由.參考答案：（1）；（2）是定值0.試題分析：（1）設橢圓的方程，用待定系數法求出的值；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據題意設直線方程，有的題設條件已知點，而斜率未知；有的題設條件已知斜率，點不定，可由點斜式設直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程.第三步：求解判別式：計算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數的關系.第五步：根據題設條件求解問題中結論.試題解析：（1）由條件得，所以方程

4分

（2）易知直線l斜率存在，令由

5分

6分由得

7分由得

8分將代入有.

13分考點：1、橢圓的標準方程；2、直線與橢圓的綜合應用.20.已知，是橢圓的左、右焦點，橢圓C過點．（1）求橢圓C的方程；（2）過點F2的直線l（不過坐標原點）與橢圓C交于A，B兩點，且點A在x軸上方，點B在x軸下方，若，求直線l的斜率．參考答案：（1）；（2）．（1）由條件知，解得，因此橢圓的方程為．（2）解法一：設，，則，，設直線的方程為，代入橢圓的方程消去，得，由韋達定理得，，由，知，即，帶入上式得，，所以，解得，結合圖形知，故直線的斜率為

21.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，D為棱CC1上任一點．（1）求證：直線A1B1∥平面ABD；（2）求證：平面ABD⊥平面BCC1B1．參考答案：【考點】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【分析】（1）根據直棱柱的性質判定線線平行，再由線線平行證線面平行即可；（2）先由線線垂直證線面垂直，再由線面垂直證明面面垂直即可．【解答】證明：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1，得A1B1∥AB，又A1B1?平面ABD，AB?平面ABD，∴A1B1∥平面ABD．（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，∴AB⊥BB1，AB⊥BC，∴AB⊥平面BCC1B1，又∵AB?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCC1B1．22.已知函數f（x）＝ex＋ax2，g（x）＝x＋blnx．若曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線與曲線y＝g（x）在點（1，g（1））處的切線相交于點（0，1）．（1）求a，b的值；（2）求函數g（x）的最小值；（3）證明：當x＞0時，f（x）＋xg（x）≥（e－1）x＋1．參考答案：（1）解：因為f′（x）＝ex＋2ax，所以f′（1）＝e＋2a，切點為（1，e＋a），所以切線方程為y＝（e＋2a）（x－1）＋（e＋a），因為該切線過點（0，1），所以a＝－1．又，g′（1）＝1＋b，切點為（1，1），所以切線方程為y＝（1＋b）（x－1）＋1，同理可得b＝－1．（2）解：由（1）知，g（x）＝x－lnx，，所以當0＜x＜1時，g′（x）＜0；當x＞1時，g′（x）＞0，所以當x＝1時，g（x）取極小值，同時也是最小值，即g（x）min＝g（1）＝1．（3）證明：由（1）知，曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y＝（e－2）x＋1．下面證明：當x＞0時，f（x）≥（e－2）x＋1．設h（x）＝f（x）－（e－2）x－1，則h′（x）＝ex－2x－（e－2），再設k（x）＝h′（x），則k′（x）＝ex－2，所以h′（x）在（0，ln2）上單調遞減，在（ln2，＋∞）上單調遞增．又因為h′（0）＝3－e，h′（1）＝0，0＜＜ln2＜1，所以h′（ln2）＜0，所以存在x0∈（0，1），使得h′（x0）＝0，所以，當x∈（0，x0）∪（1，＋∞）時，h′（x）＞0；