合情推理與邏輯推理

合情推理波利的”啟發(fā)法"（heuristic,即”有助丁發(fā)現(xiàn)"）中的一個推理模式.通過對問題解決過程特別是對已有的成功實踐的深入研究 ，波利業(yè)發(fā)現(xiàn)，可以機械地用來解決一切問題的"萬能方法"是不存在的；在問題解決過程中，人們總是針對具情況，不斷地向自己提出有啟發(fā)性的句，提示，以啟動與推進思維的小船。合情推理的模式（歸納和類比）還須予以釋，它是指觀察，歸納，類比,實驗，聯(lián)想，猜測，矯正與調(diào)控等方法.目錄主要特征方法模式舉例意義喬治?波利業(yè)著作簡介合情推理是波利業(yè)的"啟發(fā)法（heuristic，即"有助丁發(fā)現(xiàn)的"中的一個推理模式.波利業(yè)多年深入研究數(shù)學問題解決過程 （problemsolving一般被誤譯"解題"，這里把它譯為"問題解決"）得出的理論成果.波利業(yè)對啟發(fā)法解釋道:"現(xiàn)代啟發(fā)法力求了解問題解決過程中典型有用的智力活動.……在這種研究中并且應當找出處理各類問題所共有的特征來

，特別是問題解決過程，我們不應忽視任何一類問題，；我們的目的應當是找出一般特征而與主題無關."可見波利業(yè)的啟發(fā)法講的是問題解決在數(shù)學方法論上的共同點.啟發(fā)法源丁他對問題解決的研究解題方法時尋找一條解題途徑

，問題解決就是"在沒有現(xiàn)成的，就是從困難中找到出路，就是尋求一條繞過障礙的道路，由適當?shù)姆椒ㄟ_到所要去的而不能立即達到的目的 ".這說明波利業(yè)早在50年前就已經(jīng)把問題和問題解決的主要特征搞活楚了^主要特征通過對問題解決過程特別是對已有的成功實踐的深入研究 ，波利業(yè)發(fā)現(xiàn)，可以機械地用來解決一切問題的"萬能方法"是不存在的；在問題解決過程中，人們總是針對具體情況，不斷地向自己提出有啟發(fā)性的問句，提示，以啟動與推進思維的小.因此，他試圖總結(jié)出一般的方法或模式 ，這些方法和模式在以后的問題解決活動中可起到啟發(fā)和指導的作用.波利業(yè)曾著書給出這樣一些啟發(fā)性的模式或方法：分解與組合，笛卡爾模式，遞歸模式，疊加模式，特殊化方法，一般化方,"從后往前推",設立次目標，合情推理的模式（歸納和類比）,畫圖法,"看著未知數(shù)",回到定義去，考慮相關的問題，對問題進行變形，等等.特別引人注意的是，波利業(yè)把問題和建議按照問題解決過程的4個階段組成了他的"怎樣解題表".這4個階段依次是：弄活問題，制定計劃，實施計劃和回顧，這就是著名的波利業(yè)問題解決四階段模式 .波利業(yè)建議："只要應用得當，如果你向自己提出表中的這些問題與建議，它們就可以幫助你解決你的問題；而如果你向你的學生提出同樣的問題與建議，你就可以幫助解決他們的問題 ."方法模式在上述啟發(fā)法框架中提到的合情推理的模式 （歸納和類比）還須予以解釋,它是指觀察，歸納，類比，實驗，聯(lián)想,猜測，矯正與調(diào)控等方法.波利業(yè)很早就注意到"數(shù)學有兩個側(cè)面，……用歐幾里得方式提出來的數(shù)學是一門系統(tǒng)的演繹科學；但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學卻是實驗性的歸納科學確提出有兩種推理：論證推理可用來確定數(shù)學知識提供依據(jù)，即波利業(yè)給我們指出數(shù)學思維不是純

."因此，他明，合情推理可用來為猜想"形式"的，它所涉及的不僅有公理，定理，定義及嚴格的證明，而且還有許許多多其它方面類推以及從具體情況中辨認出或者說抽取出某個數(shù)學概念等等

：推廣，歸納，，數(shù)學教師應使學生了解這些十分重要的"非形式"思維過程.在日常生活中，合情推理幾乎無處不在，比如："它可能是……（猜測,"做出來看一看（實驗,"由上所述"心"象"實理準 "等.舉例在社會生活中，醫(yī)生診斷疾病，法官審判案件，軍事家指揮戰(zhàn)爭，人際交往等都應用合情推理.貫徹任何科學發(fā)現(xiàn)的思維，也主要是合情推理：量子力學方程是猜出來的；球體公式是阿基米德"稱"出來的；在對熱在金屆中流動的觀察研究中，傅立葉發(fā)明了級數(shù)；而現(xiàn)代仿生學則是類比推理在科技中應用的杰出成果.由上可以看出,"我們所學到的關丁世界的任何新的東西都包含著推理，它是我們?nèi)粘Ｊ聞罩兴P心的僅有的一種推理".合情推理是各學科之間,社會生活中的文化大使，是現(xiàn)代化社會公民的必備文化素質(zhì).意義因此加強合情推理的教育將有助丁發(fā)揮學科的兩個功能 ，并學會發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方.科學思維具有兩重性：一類是進行論證推理的邏輯思維 ；另一類則是形象思.形象思維最直接的層面是合情推理 .邏輯思維是在”抓到真理”后進行完善和”補行證明”的思維，而合情推理則是”發(fā)現(xiàn)真理”的思維.因此，波利業(yè)呼:讓我們教猜想!"我國的理科教學，歷來較多強調(diào)邏輯推理，而對合情推理有所忽.再聯(lián)想到有關團體對中外學生調(diào)查結(jié)果顯示的中國學生科學測驗成績較差的信息 ，不能不使我們感到加強對合情推理能力的培養(yǎng)已是刻不容緩.因此,"既教證明，乂教猜想",給合情推理能力的教學以適當?shù)牡匚?，是開發(fā)學生創(chuàng)造性素質(zhì)的需要 ，是全面提高學生優(yōu)秀文化素質(zhì)的需要是全面開發(fā)大腦潛力的需要 .我們在教學實踐中認識到加強合情推理的教學，還可以使受教育者將日常事務中積累的經(jīng)驗 ，方法用丁學習，提高學習的興趣，提高解決問題的能力.而在其中，乂將那自然狀態(tài)下的合情推理，提高到一個更加合理更加科學的層次的金鑰匙".為保證加強合情推理教育的觀念得到落實可操作的教學樣式，我們構(gòu)建了合情推理教學模式

，以至成為"科學發(fā)現(xiàn)，并為教師提供一個.若在教學中能正確地使用合情推理的教學模式，至少不會削弱學科教學的技術功能能將得到明顯的加強，學生有效地應用合情推理的技能得到提高

，而文化教育功，創(chuàng)造能力得到加強，教學質(zhì)量也將有一定的提高，同時將有一批科研型的教師脫穎而出.喬治?波利亞喬治波利業(yè)（1887-1985），是美籍匈牙利數(shù)學家，數(shù)學教育.在數(shù)學教育方面他有3部世界名著：《怎樣解題〉〉，《數(shù)學與猜想〉〉，《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)對解題的理解，研究和講授〉〉.這3本書在我國有5個譯本，其中《怎樣題》發(fā)量已過萬冊 ；著名數(shù)家瓦爾曾高評價這書:"每個大學生，每學者，別是個教師應該這本人入勝書 ".波利業(yè)也謙虛地評價己說:"在問題解決方面以講授種水平的數(shù)方面者可以提供一些經(jīng)驗".可見波利業(yè)的數(shù)學教育思想對世界和我國數(shù)學教育的影響非常深遠.他的名著有：著作〔美〕喬治.波利.怎樣解題〔M.閻育蘇. 北京：科學出版，〔美〕喬治波利出版社，1984.

.數(shù)學與猜想（一卷）〔M1982,.李心燦譯.北京:第-〔美〕喬治.波利業(yè)出版，1984.

.數(shù)學與猜想（第二）〔M.李心燦.北:科學（〔美〕喬治.波利業(yè).數(shù)學的發(fā)第-一卷）〔M.歐陽絳.北:科學出版，1985.〔美〕喬.波利業(yè).數(shù)學的發(fā)現(xiàn)（第二卷）M.劉景麟.呼和浩特：內(nèi)蒙古人民出版1981.數(shù)學思維涉及很多成份，但它的核心是邏輯推理。在教學中，應該使學生能根據(jù)已有事實進行數(shù)學推測和論斷和解釋，養(yǎng)成“推理有據(jù)”的習慣，能夠反思自己的思考過程；使他們能夠理解他人的思考方式和推理過程，并能與他人溝通。邏輯推理表現(xiàn)了一種由已知推求未知的過程，這一過程所經(jīng)歷的心理活動，就是思維活動。在解決問題過程中，學生進行邏輯推理有以下二種情況。第一種是演繹推理。演繹推理是以一個被認同的命題為前提，推演到其它命題，得到一個論論的思維方法。如邏輯中的三段論法，就是最典型的演繹推理。有一種說法，說小學生開展演繹推理能力比較薄弱，這種說法并不全面。一般說來，小學生在解決問題的過程中能進行演繹推理，但演繹推理中涉及的材料相對比較具體。第二納推理是以觀察到多個事例后所獲的經(jīng)驗為根據(jù)，

種是歸納推理。歸由此歸結(jié)出一個概括性的原則的一種思維過程。歸納推理具有完全歸納與不完全歸納兩種情況。學生在解決問題的過程中，以不完全歸納為多。對學生解決問題的過程的觀察表明，學生在思考問題時除了演繹推理和歸納推理之外，還有第三種方法。這就是“捷徑推理”或“合情推理”。合情推理是指在解決問題過程中，學生根據(jù)經(jīng)驗進行猜測和推導的一種思維過程。表面上看，學生在解決問題時的合情推理的特征是不按邏輯程序去思考， 但實際上是學生把自己的經(jīng)驗與邏輯推理的方法有機地整合進來的一種跳躍性的表現(xiàn)形式。表明，這種合情推理是不按常理看問題，但仔細分析卻有一定道理。這一推理方式，有時在解決問題的過程中可收事半功倍之效。在“捷徑推理”過程中，直覺和頓悟發(fā)揮了很大的作用。直覺和頓悟是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要因素。首先，直覺和頓悟在發(fā)現(xiàn)有價值的研究對象和問題時具有重要作用。其次，在研究的思路同時存在幾種可能時，直覺和頓悟能幫助人們快速地從中作出抉擇；再次，當解決問題的邏輯通道阻塞，思路發(fā)生中斷時，直覺和頓悟能夠幫助人們打破僵局，另辟全新思路。因此，直覺和頓悟是數(shù)學學習的重要能力。讓合推”邏推”得彰□蒲大勇眾所周知，推理是數(shù)學的基本思維方式,包括合情推理和演繹推理。合情推理是根據(jù)已有的知識和經(jīng)驗，在某種情境和過程中推出可能性結(jié)論的推理。演繹推理是根據(jù)有實正結(jié)（括、理理）按格的邏輯則得到新結(jié)論的推理。長期以來，數(shù)學教學強調(diào)了嚴謹?shù)倪壿嬐评矶鲆暳松鷦踊顫姷暮锨橥评?，新一輪課程改革提出既要發(fā)展學生合情推理能力，乂要發(fā)展學生初步的演繹推理能力。然而，實踐中卻出現(xiàn)了一種傾向一一注重了合情推理卻忽視了邏輯推理。【案例】人教版九年級數(shù)學《相似三角形的判定》教學片段。師：我們已知道，要判定兩個三角形相似，必須知道這兩個三角形的對應角相等，對應邊成比例。那么，有沒有比這更簡便的判定方法呢？（帥出示兩個450角的直角三角尺，其中一個為教具，另一個為學生用的小三角尺）師：請同學們認真觀察這兩個三角尺，看看它們有什么關系？生1:它們的形狀相同，大小不一樣。生2:這兩個三角尺相似。（帥提示觀察它們的角）生3:兩個三角尺的三個角分別相等。生4:兩個三角尺的邊長不相等。師：同學們觀察得很仔細，這兩個看起來相似的三角尺，它們的對應角分別相等。（板書）如果一個三角形的三個角分別與另一個角形的三個角對應相等，那么它們相似嗎？（學生議論紛紛，然后有很多學生都說“相似”）帥：很好！同學們實際上已發(fā)現(xiàn)了一個很好的結(jié)論。那么，你是怎么驗證這個結(jié)論的呢？請與周圍的同學討論討論。（一段時間的討論后）聰聰：我沿三角板的內(nèi)框和外框各畫一個三角形，然后量出兩個三角的邊長，計算對應邊的比值。師：聰聰同學的想法很好，這樣畫保證了兩個三角形的對應角都相等。只是畫的圖形比較特殊，是直角三角形，那么對丁兩個任意三角形呢？明明：我任意畫一個角形，然后用量角器量出它的三個角的大小，然后再畫一個三角形，使它的三個角等丁這三個角。后面與聰聰同學的做法一樣。帥：說得真好。請同學們按明明的這種方法，4人一小組，試一試。（學生動手進行實驗，教師巡視并個別指導）師：現(xiàn)在把各組的結(jié)果交流一下。1組：我們組算得三個比值分別是1.85、1.84、1.862組：我們組算得1.3、1.3和1.2。3組：我們算得3.34、3.36、3.32。（在這一過程中，多數(shù)都未得到三個比值相等，還有說除不盡的）帥：剛才，聰聰與明明同學已經(jīng)驗證了，三個角分別相等的兩個三角形的對應邊的比也相等。從其他同學得出的結(jié)果也可以看出，對應邊的比值大致相等。可見，三個角分別相等的兩個三角形相似?！痉此肌可鲜鼋虒W片段教師為了讓學生認識和理解“三個角分別相等的兩個三角形相似”，采取的是“直觀感知”和“操作確認”兩種教學方式。這本無可厚非，但整個過程教師是通過直觀感知和動手測量探索幾何結(jié)論，教學中只有合情推理，沒有了演繹推理。所以，才出現(xiàn)了案例中“多數(shù)學生的測量結(jié)果不能驗證結(jié)論”的尷尬局面，情急中教師只好置多數(shù)學生不顧，把個別同學的結(jié)論當做救命稻草緊緊抓住。其實，數(shù)學教學需要合情推理，也需要演繹推理。數(shù)學發(fā)現(xiàn)靠的主要是合情推理，而數(shù)學理論的整理主要是靠演繹推理。數(shù)學教育家波利業(yè)認為，演繹推理是確定的，可靠的；合情推理則帶有一定的風險性。嚴格的數(shù)學推理以演繹推理為基礎，而數(shù)學結(jié)論的得出及其證明過程是靠合情推理才得以發(fā)現(xiàn)的。 因此，教學中對二者不可偏廢。數(shù)學課程標準要求“能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數(shù)學猜想，并進一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例”。也就是要求在獲得數(shù)學結(jié)論時要經(jīng)歷合情推理到演繹推理的過程。事實上，合情推理與演繹推理是相輔相成的，合情推理的實質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)一一猜想”，因而關注合情推理能力的培養(yǎng)有助丁發(fā)展創(chuàng)新精神。同時，由合情推理得到的猜想常常需要證實，這就要通過演繹推理給出證明或舉出反例。新課程增加了合情推理能力，表面上看削弱了邏輯推理論證能力，實質(zhì)上卻完善了推理論證。上述教學案例教師不妨這樣：先讓學生在特殊情境下通過直觀感、操作確認，對“三個角分別相等的兩個三角形相似”有一定的感性認識，在此基礎上進一步通過直觀感知、操作確認，歸納出“兩角分別相等的兩個三角形相似”，并對判定加以邏輯論證。通過這樣的數(shù)學活動將合情推理與演繹推理有機結(jié)合起來，做到既講推理，乂講道理，在合情推理與演繹證明之間找到一個適當?shù)钠健龊恻c，避免僅靠操作確認、直觀判斷的低層次思維。一、要點剖析推理：從一個或幾個已知命題得出另一個新命題的思維過程稱為推理.1.歸納推理(1)歸納推理