2023年人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)4.2等差數(shù)列的概念（第 1課時(shí)）練習(xí)

4.2.1等差數(shù)列的概念（第1課時(shí)）

（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）

【夯實(shí)基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2022?遼寧錦州?高二期末）已知等差數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式勺=-5〃+3,則它的公差為（）

A.3B.—3C.5D.—5

【答案】D

【分析】由。2求得公差.

【詳解】依題意,等差數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式/=-5〃+3,

q=-2,a2=-7,

所以公差為々-4=-5.

2.（2022?甘肅?慶陽(yáng)第六中學(xué)高二階段練習(xí)）一個(gè)等差數(shù)列共有2〃項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)

的和分別為24和30,且末項(xiàng)比首項(xiàng)大10.5,則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是（）

A.4B.8C.12D.20

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到方程組，求出〃=4,從而求出數(shù)列的項(xiàng)數(shù).

【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得：成=30—24=6,-4=（2〃-1）4=10.5,

解得：〃=4,故該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2〃=8.

3.（2022?甘肅?敦煌中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，%=2,%=-4,那么數(shù)

列｛4“｝的通項(xiàng)公式為（）

A.?！?-2〃+10B.?！?-2%+5C.an=--^n+10D.an=--^n+5

【答案】A

【分析】設(shè)數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)為％,公差為d,列方程組求出4,d即得解.

【詳解】解：設(shè)數(shù)列｛可｝的首項(xiàng)為4,公差為d,

4+3d=24=8

由題得g=4所以

d=-2

所以數(shù)列的通項(xiàng)為4=8+(〃-1)X(-2)=-2〃+10.

4.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))下列數(shù)列中，不成等差數(shù)列的是().

A.2,5,8,11B.1.1,1.01,1.001,1.0001

C.a,a,a,aD.Ig2,lg20,lg200,lg2000

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義逐個(gè)分析判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)榈?項(xiàng)起，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)3,所以此數(shù)列是等差

數(shù)列，所以A不合題意，

對(duì)于B,因?yàn)?.01-1.1=-0.09,1.001-1.01=-0.009,即于1-1.1工1.001-1.01,所以此數(shù)列

不是等差數(shù)，所以B符合題意，

對(duì)于C,因?yàn)榈?項(xiàng)起，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)0,所以此數(shù)列是等差數(shù)列，所

以C不合題意，

對(duì)于D,數(shù)列l(wèi)g2,lg20,lg200,1g2000可表示為1g2,1+于2,2+lg2,3+lg2,因?yàn)?/p>

第2項(xiàng)起，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)1,所以此數(shù)列是等差數(shù)列，所以D不合題意，

5.（2022?北京市第一六一中學(xué)高二期中）數(shù)列｛%｝中％=5,3a,m=3a“-2（〃wN*）,則該數(shù)

列中相鄰兩項(xiàng)乘積為負(fù)數(shù)的是（）

A.B.%?為C.D.。/即）

【答案】C

【分析】結(jié)合等差數(shù)列的知識(shí)求得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，從而判斷出正確答案.

【詳解】依題意6=5,31=3??-2（〃eN*）,

22

所以%+i-?

所以數(shù)列｛a“｝是首項(xiàng)為4=5,公差為的等差數(shù)列，

所以《=一”25+2；=-2，+1，7，

3333

21717

由?0得n2—8.5,

所以《?%＜。

6.（2022?廣東肇慶?高二階段練習(xí)）已知數(shù)列何｝是等差數(shù)列，且滿(mǎn)足。2+%=4,則log?%=

（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求出％的值，進(jìn)而可求得結(jié)果.

【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得2%=%+4。=4,可得必=2,因此，log2?6=I.

7.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?高二階段練習(xí)）在等差數(shù)列也｝中，4=1,4+即,=10,則%=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得偈的值，進(jìn)而可求得出的值.

【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得為="愛(ài)=5,則%="曳=3.

8.（2022.北京朝陽(yáng)?高二期末）-2與-8的等差中項(xiàng)是（）

A.-5B.-4C.4D.5

【答案】A

【分析】代入等差中項(xiàng)公式即可解決.

【詳解】-2與-8的等差中項(xiàng)是言=-5

二、多選題

9.（2022?福建省華安縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為5,,,且4=6,

a“+i+2=q,,則（）

A.｛4｝是等差數(shù)列B.｛%｝是等比數(shù)列C.包｝是遞增數(shù)列D.｛q｝是遞減數(shù)列

【答案】AD

【分析】依題意可得。向-4=-2,即可得到｛a,,｝是遞減的等差數(shù)列；

【詳解】解：因?yàn)?+I+2=%,所以%又4=6,

所以｛a,,｝是由6為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列，

因?yàn)楣钚∮?,所以｛%｝是遞減數(shù)列；

三、填空題

10.（2022?重慶市廣益中學(xué)校高二階段練習(xí)）若數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足：4=5,且q-a,T=-2522）,

貝"________

【答案】-2"+7##7-2〃

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義即得.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛q｝滿(mǎn)足：4=5,且%-*=-2（在2）,

所以數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為5,公差為-2的等差數(shù)列，

所以q=5-2（〃-1）=-2〃+7.

11.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足%=。e+2,且q=l,則它的通項(xiàng)公式為=

【答案】-2〃+3##3-2〃

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等差數(shù)列定義求出公差，再求出通項(xiàng)作答.

【詳解】因數(shù)歹I」?jié)M足4=%+2,即%+「%,=-2,

因此數(shù)列｛q｝是首項(xiàng)為1,公差為-2的等差數(shù)列，

所以數(shù)列｝的通項(xiàng)公式為a?=l+（n-l）x（-2）=-2n+3.

12.（2022?廣東汕頭?高二期末）”為2和6的等差中項(xiàng)，則。=.

【答案】4

【分析】利用等差中項(xiàng)的定義可求得結(jié)果.

【詳解】由等差中項(xiàng)的定義可得。=等=4.

13.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）（a+b/與（a-6丫的等差中項(xiàng)是.

【答案】a2+b2##b2+a2

【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：設(shè)（。+6）2與（a-4的等差中項(xiàng)是A,

則4=（"+”+（“-"）2=/+/

2

四、解答題

14.（2022.全國(guó)?高二期中）在等差數(shù)列｛助｝中，

⑴若45=15,0/7=39,試判斷91是否為此數(shù)列中的項(xiàng);

⑵若。2=11，48=5,求<7/0.

【答案】⑴是；（2）3.

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可;

（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.

（1）

設(shè)｛〃〃｝的公差為d,

勾+4d=15,4=7,

因?yàn)椋?以/=39解得

d=2,

所以〃〃=7+2（〃-1）=2〃+5.

令2〃+5=91,得〃=43.

因?yàn)?3為正整數(shù)，所以91是此數(shù)列中的項(xiàng);

（2）

[4+d=11,\CL=12,

設(shè)｛即｝的公差為d,則I14解得,/

[a]+7J=5,[a=-l.

12+(〃—1)x(—1)=13—n9

所以4/0=13—10=3.

15.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))在等差數(shù)列｛4｝中，%+%=24,a17=66.

⑴求出⑼的值；

(2)2022是否為數(shù)列｛q｝中的項(xiàng)？若是，則為第幾項(xiàng)？

【答案】(1)8082(2)2022是數(shù)列何｝中的第506項(xiàng)

【分析】(1)根據(jù)條件求出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式即可求解；

(2)令4=4〃-2=2022可求解.

(1)

由題意，設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為4,公差為d.

由小+處=24,的=66,即｛[解得]

4+16d=66,[a=4.

所以，數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=2+4(〃-1)=4〃-2.

所以生⑼=4x2021-2=8082.

(2)

令4=4〃-2=2022,解得“=506,所以，2022是數(shù)列｛4｝中的第506項(xiàng).

16.(2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí))已知數(shù)列｛%｝和｛〃｝是兩個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列，公差分別為4和

4,求證：數(shù)列｛4+4｝是等差數(shù)列，并求它的公差.

【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解析，公差為4+4

【分析】利用等差數(shù)列的定義進(jìn)行求解.

【詳解】證明：由題意得：當(dāng)心1時(shí)，。,用-勺=4,beH，所以當(dāng)時(shí)，

ae+%-(4,+僅)=(4+「。,,)+色加一〃)=4+4，故數(shù)列｛an+〃｝是等差數(shù)列，且公差為

4+4.

17.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式%=2"+1,判斷數(shù)列｛1%(%-1)｝

是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論.

【答案】是，證明見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)等差數(shù)列得定義進(jìn)行判斷.

【詳解】數(shù)列｛log2(4,-l)｝是等差數(shù)列，證明如下：

令b?=log2（a?-l）（neN-）,因?yàn)?=2"+1

所以a=log,（??-1）=log?（2"+1-1）=〃.

所以+則4+i-a=1,又"=1,

所以｛2｝是首項(xiàng)為i,公差為i的等差數(shù)列.

18.（2022?甘肅?慶陽(yáng)第六中學(xué)高二階段練習(xí)）在等差數(shù)列｛““｝中，a,=2,保=58.

（1）求｛q｝的通項(xiàng)公式；

（2）判斷96是不是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)？

【答案】⑴4=4n-2；⑵不是.

【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列｛“〃｝的公差即可求解作答.

（2）利用（1）的結(jié)論，求解方程即可作答.

（1）

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則%=4+14d=58,而4=2,于是得d=4,

（n-1）d=4?-2,

所以數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式是可=4〃-2.

（2）

49

由（1）知，a?=4n-2,由4〃—2=96得：〃=了不是正整數(shù)，

所以96不是數(shù)列｛q,｝中的項(xiàng).

19.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列｛q｝：3,7,11,15,....

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式.

（2）若為,,4（，”,reN"）是數(shù)列｛叫中的項(xiàng)，那么2%+3《，是數(shù)列｛q｝中的項(xiàng)嗎？如果是,

是第幾項(xiàng)？

【答案】⑴a?=4n-l（neN*）；（2）2%+3q是數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)，是第2加+3?1項(xiàng).

【分析】（1）求出公差后由通項(xiàng)公式可得.

（2）根據(jù)通項(xiàng)公式判斷.

【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為

依題意，有q=3,1=7-3=4,

an=3+4（”-l）=4〃一l（〃eN"）.

（2）am,q是數(shù)列｛a,J中的項(xiàng)，

/.am=4/w-l,a,=4r-l,

???久〃+34=2(4機(jī)—1)+3(47-1)=4(2m+3r—1)—1.

?/2機(jī)+3f—IcN"，

2clm+是數(shù)列｛《7｝中的項(xiàng)，是第2〃z+3f—1項(xiàng).

20.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知｛?！埃秊榈炔顢?shù)列，且以4=2,%=3,若在每相鄰兩

項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使它和原數(shù)列的數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，求：

(1)原數(shù)列的第12項(xiàng)是新數(shù)列的第幾項(xiàng)？

(2)新數(shù)列的第29項(xiàng)是原數(shù)列的第幾項(xiàng)？

【答案】(1)第45項(xiàng)⑵第8項(xiàng).

【分析】(1)設(shè)新數(shù)列為｛2｝，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出其通項(xiàng)，再確定兩數(shù)列的項(xiàng)的關(guān)系,

由原數(shù)列的項(xiàng)數(shù)求對(duì)應(yīng)的新數(shù)列的項(xiàng)數(shù)；(2)由(1)的結(jié)論，由新數(shù)列的項(xiàng)數(shù)求原數(shù)列的項(xiàng)數(shù).

(1)

設(shè)新數(shù)列為也｝,則4=4=2,b5=a2=3,

根據(jù)勿=4+(〃T)",有"=仇+41,即3=2+4”,

所以d=9,所以2=2+(〃-1*：=4.

4744

又因?yàn)?=q+(〃-l)xl="+l=(4”7+7,所以a“=&-3.

即原數(shù)列的第，項(xiàng)為新數(shù)列的第4”-3項(xiàng).

當(dāng)〃=12時(shí)，4?-3=45,故原數(shù)列的第12項(xiàng)為新數(shù)列的第45項(xiàng).

(2)

由⑴4=*，令4〃-3=29,得〃=8,即新數(shù)列的第29項(xiàng)是原數(shù)列的第8項(xiàng).

21.(2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí))求("?+〃)2和(相一“)2的等差中項(xiàng).

【答案】m2+n2

【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的定義求解.

【詳解】設(shè)A是(加+〃)2和(機(jī)一〃門(mén)的等差中項(xiàng)，則2A=(m+n)2+(m—n)2=2(/n2+n2),

所以A=m2+n2.

【能力提升】

一、單選題

1.（2022.福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列｛《,｝滿(mǎn)足4=2,%=6,且

?！?2-2《川+%=2,若因表示不超過(guò)x的最大整數(shù)（例如[1.6]=1,卜1.6]=-2）,則

「2[「202涔

—+—+…+-------------=（）

-a\J1_。2」L。2020_

A.2019B.2020C.2021D.2022

【答案】C

【分析】由已知等式可推導(dǎo)證得數(shù)列｛見(jiàn)討-%｝為等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得

川-?！?2〃+2,采用累加法可求得冊(cè)，由此可得婦D_=1+_L,分別討論〃=1和〃22時(shí)

-—L的取值，加和即可得到結(jié)果.

【詳解】由。“+2-2%+%=2得：=又。2-《=4,

則數(shù)列{。向-}是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

=4+2(〃-1)=2"+2，

「.a”=(?n—atl_})+{cin_}-cin_2)4--卜(4-qJ+4=2(〃—1)+2+2(〃—2)+2d---1-2x14-2+2

n(n-l)/、/、，、/、

=2x'2―^+2(〃-1)+2=+1)+2=69+/?=〃(〃+1),

22

(n+1)(n+1)5=i+L

a?〃(〃+l)nn

又〃￡N,當(dāng)n-\時(shí)，=2；當(dāng)〃N2時(shí),

-221「3?-20212

—十—+…+=2+1x2019=2021.

axJ\_a2。2020

2.（2022?山東?蘭陵四中高二階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和S“=24-5x2-'+8,則4ao=

()

A.5Olx2100B.501x2⑼C.496x2"D.496x2l()0

【答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)列S“與%的關(guān)系化簡(jiǎn)計(jì)算可得a“-2a,i=5x2",等式兩邊同時(shí)除以2"得

墨-會(huì)-5,結(jié)合等差數(shù)列的定義可知｛娶｝是以6為首項(xiàng)，5為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而求出

。”的通項(xiàng)公式，即可求解.

【詳解】由題意知，S?=2a?-5x2n+l+8,

當(dāng)〃=1時(shí),4=S[=2q-5x2+8,解得q=12,

當(dāng)“22時(shí)，S,i=2%-5x2"+8,

則a?=Sn-Sn_x=2a?-5x2"“+8-(2%-5x2"+8)=2a?-2a?,1-5x2",

整理，得%-2ai=5x2",等式兩邊同時(shí)除以2"，

得祟-得=5,又導(dǎo)=6,

所以數(shù)列｛云｝是以6為首項(xiàng)，5為公差的等差數(shù)列，

有/=6+5(〃-1)=5〃+1,則a“=(5”+l)x2",

所以40a=501x2m.

3.(2022.福建.莆田第二十五中學(xué)高二階段練習(xí))直線(xiàn)y=l與函數(shù)/(x)=2sin(2x-S)的圖

像在y軸右側(cè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左到右依次為4、“2、、%，下列結(jié)論:①/1-1)=-28$2右

②/⑴在”，闿上是減函數(shù)；③卬的、、%為等差數(shù)列；④4+/++。=34兀.其中正

o1Z_

確的個(gè)數(shù)是()

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

【分析】利用圖像的平移變換、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的整體代換技巧以及正弦函數(shù)的圖像與

性質(zhì)、等差數(shù)列的概念進(jìn)行判斷求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=2sin(2x-￡),所以

=2sin(2(x-1)-￡)=2sin(2x-V)w-2cos2x,

故①錯(cuò)誤；

當(dāng)駕]，2'-?€邑=],因?yàn)閥=2sinx在上不單調(diào),故②錯(cuò)誤；

_612J66363

因?yàn)閥=l與〃x)=2sin(2x-1)的圖像在y軸右側(cè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左到右依次為

%、出、…、冊(cè),

Bp2sin[2x-^|=1,解得工=二+桁或：+keZ,

\6/62

因?yàn)閤>0,所以4=5，出=：，卬=?+兀，/=：+兀，不是等差數(shù)列，

6~262

故③錯(cuò)誤；

,7T71兀71

因?yàn)閝=二,%=不，凡=:+兀,4=7+兀，，

6262

jr7ETT7T7TIT

所以4+%++〃]2=—+—+(—+兀)+(—+兀)++(—+5X7：)+(—+5X7：)

~626262

JTJT

=—x6+—x6+2x(l+2+3+4+5)x7t=347i,故④正確.故A,B,D錯(cuò)誤.

62

4.(2022.全國(guó)?高二期末)在數(shù)列｛%｝,｛〃｝中，滿(mǎn)足他也也，｝=｛qeZ&=>M，UeN?,

且包<"+1，若々oo=4"("?eN),則機(jī)=()

A.5050B.5100C.10050D.10100

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件探求出數(shù)列眄,｝的通項(xiàng)公式，將九o代入計(jì)算作答.

【詳解】因他也也，,｝=｛%eZ|%=麻*T/eN*｝,bn<bll+l,

則數(shù)列｛2｝是由44+1(%wN*)計(jì)算而得的完全平方數(shù)的算術(shù)平方分根由小到大排列而成，

04x2+1=32,4x6+1=52,4x12+1=72,4x20+1=92,4x30+1=II2,4x42+1=132,,

即伉=3也=5也=7也=9也=11也=13,,即數(shù)列｛"｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，

bn=2n+\,

反之，當(dāng)么=2"+1時(shí)，由J4-+1=2w+I,“wN*得％=〃(〃+1),因此，“="("+1),〃eN*,

J4Z+1eN*

于是得么=2〃+1,〃eN*,則a“,=4oo=2Ol,

所以〃7=100(100+1)=10100.

二、多選題

5.(2022?福建省華安縣第一中學(xué)高二階段練習(xí))設(shè)等差數(shù)列｛q｝中，《=3,公差”=一5,

依次取出項(xiàng)的序號(hào)被4除余3的項(xiàng)組成新數(shù)列｛〃｝,則()

=

A.々=7B.4=-27C.by=-47D.^022asos7

【答案】BCD

【分析】先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出q=-5〃+8,再由題意逐一判斷即可

【詳解】因?yàn)?=3,d=-5,

所以4,=a｝=3+(/?-l)x(-5)=-5n+8,

數(shù)列｛a,,｝中序號(hào)被4除余3的項(xiàng)是第3項(xiàng)，第7項(xiàng)，第11項(xiàng)，，

所以々=a,=-l,b2=%=-27也=a“=-47,故A錯(cuò)誤，BC正確；

設(shè)數(shù)列｛4｝中的第機(jī)項(xiàng)是數(shù)列也“｝中的第左項(xiàng)，

則〃2=3+4（4一1）=4%—1,

所以當(dāng)％=2022時(shí)，加=4x2022—1=8087,故“22=%>87，所以D正確,

三、填空題

6.（2022?甘肅?永昌縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足4=1，且。向=苔丁,

則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為

【答案】"白

【分析】由題意可得1一=1一c+2,故可看出｛一1是公差為2的等差數(shù)列，然后求出對(duì)應(yīng)的

首項(xiàng)即可得到答案

【詳解】由。向=/—可得」一='+2,

1+2/a?+1a?

所以是公差為2的等差數(shù)列，

因?yàn)??的首項(xiàng)為'=1,所以上=1+2（〃-1）=2〃-1,

[a?\4a?

故數(shù)列｛6,｝的通項(xiàng)公式為an=丁二

2n-J

7.（2022.全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S.（〃eN*）,則下列能判斷數(shù)列｛q｝

是等差數(shù)列的是.①$“=〃；②S“=/+〃；③S“=2"；@5?=n2+?+l.

【答案】①②

【分析】根據(jù)邑-5.1=。,,（"22）可以求出％,再結(jié)合對(duì)可以判斷是否是等差數(shù)列.

【詳解】①當(dāng)“22時(shí)，a“=S“—Si=w—（，L1）=1；當(dāng)〃=1也符合4=1,所以?！?1,數(shù)列

｛4｝為等差數(shù)列；

②當(dāng)“22時(shí)，an=S“-S“_[=〃2+=；當(dāng)〃=]時(shí)，4=￥=2,符合a“=2n,

所以=2〃，數(shù)列｛a,,｝為等差數(shù)列；

③當(dāng)〃22時(shí)，a?=S?-S^=T-r-'=2"-'；當(dāng)相=1時(shí)，《=，=2,不符合為=2"，所以

a-=\7^n>2,數(shù)列｛4｝不是等差數(shù)列；

22

④當(dāng)〃N2時(shí)，an=Sn-Sn_｝=w+72+1-(H-1)-(/?-1)-1=2n：當(dāng)〃=]時(shí)，4=S]=3,不符

3tr-1

｛2；〃；2'數(shù)列M，｝不是等差數(shù)列.

8.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知數(shù)列｛q｝是首項(xiàng)為a,公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列也｝滿(mǎn)

足。=小”.若對(duì)任意的〃eN+，都有22仇成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

an

【答案】(-8,-7)

11,、[a.<0

【分析】根據(jù)條件推出丁士丁，結(jié)合數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列可得J；〉。，利用等差數(shù)列的通

項(xiàng)公式即可求得答案.

【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的〃eN,，都有成立，且a=上衛(wèi)=1+',所以

a“a?a?%

又?jǐn)?shù)列｛%｝的公差為1,所以數(shù)列｛為｝為遞增數(shù)列，

<0fa+7<0

所以n，即<。八，解得一8<。<一7，

[a9>0[a+8>0

即實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(-8,-7),

9.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知等差數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，若a：+端)=101,%+4=11，

則數(shù)列｛??｝的公差d的值為.

【答案】1

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合完全平方公式可得4%,=1。，由此可求得4=1,a,()=10,

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得答案.

[詳解]由+?io=1()1,得&+40)2_2%.0=(6+必)2-2440=121_2%%>=101,

所以4%=10.

又4+%>=%+%=11，4<4(>，

所以q=l,?|()=10,所以"=黑手=1,

1(J—1

10.(2022?廣東廣州?高二期末)已知數(shù)列｛4｝,｛〃｝滿(mǎn)足q=3，an+bn=\,

2「J("eN*),則b2O22=__________.

1一%

2023

【分析】根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化式子得出一L-'=i,進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式即得數(shù)列

明a”山

｛4｝的通項(xiàng)公式，再求出數(shù)列他,｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出答案即可.

【詳解】an+hn=\,:.bn=\-an,。“+|+%=1,向，

-、=工==-^=~,

h向?；(1+鳳)(-“)1+4向,

11

4一4向一凡為+1=°，即：—'7~=1,

an+]an

是以首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,

—=2+(n-l)xl=n+l,an=^―

an〃+1

i1n

.也w-

.h—2022

-2(>22-2023

四、解答題

11.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知等差數(shù)列｛q｝：3,1,11,15,....

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式.

(2)135,4m+19(加eN*)是數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)嗎？如果是，是第幾項(xiàng)？

(3)若金，卬(〃“€底)是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)，那么2冊(cè)+34,是數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)嗎？如果是，

是第幾項(xiàng)？

【答案】⑴an=4n-l(neN*):(2)135是數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)，是第34項(xiàng)，4m+19是數(shù)

列｛4｝中的項(xiàng)，是第m+5項(xiàng)；(3)2%+3《是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)，是第2m+3/-1項(xiàng).

【分析】(1)由已知求得等差數(shù)列｛《,｝的公差為"和首項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得

答案；

(2)令4〃-1=135,4/77+19=4(/77+5)-1,且機(jī)eN*,由此可結(jié)論；

(3)由已知得％,=4帆-1,a,=4r-l,又由2q“+3a,=4(2加+3f—1)—1可得結(jié)論.

【詳解】解：(1)設(shè)數(shù)列｛q｝的公差為小依題意，有4=3,d=7-3=4,

an=3+4(〃-l)=4〃-l(〃eN)

(2)令4催-1=135,得〃=34,二135是數(shù)列｛q｝中的項(xiàng)，是第34項(xiàng).

4?H+19=4（/T?+5）—1,Ji.meN,

...4加+19是數(shù)列｛。“｝中的項(xiàng)，是第加+5項(xiàng).

（3）Vam,q是數(shù)列｛q｝中的項(xiàng)，,4“=4,"-1,a,=4t-l,

：.2?,?+3a,=2（4w-l）+3（4/-l）=4（2w+3/-l）-l.

；2/M+3f-leN*,，2a,“+34是數(shù)歹ji｛4｝中的項(xiàng)，是第2加+3/-1項(xiàng).

12.（2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí)）如果數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足：存在正整數(shù)3對(duì)任意的〃eN*,n>k,

都有q=幺啰匕L,那么數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列嗎？

【答案】不一定.

【分析】分&=1與222討論，結(jié)合等差數(shù)列的定義即可判斷.

【詳解】當(dāng)k=l時(shí)，對(duì)任意的〃eN*,凡>1時(shí)，%=.僅：-1,

可得”“+「4,=a“-4i=a3-a2=a2-at,

所以數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列；

當(dāng)％22時(shí)，對(duì)任意的都有4=.外出.；馬也,不能推出數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列,

例如，&=2時(shí)，數(shù)列2,0,4,3,6,6,8滿(mǎn)足（=""+2'7,但數(shù)列顯然不是等差數(shù)歹人

綜上，數(shù)列卜"滿(mǎn)足：存在正整數(shù)3對(duì)任意的〃eN*,都有%=""",那么

數(shù)列｛“"｝不一定是等差數(shù)列.

13.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列｛q｝為3,7,11,15..........

（1）求｛g｝的通項(xiàng)公式；

（2）135,4m+19（〃?wN*）是數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)嗎？為什么？

⑶若凡,，4（，",小汗）是也｝中的項(xiàng)，那么2%+3q,是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴勺=4〃-1

（2）是，理由見(jiàn)解析

（3）是，理由見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得答案；

（2）令4=4〃-1=135,即可判斷135是不是數(shù)列｛??｝的項(xiàng)；將4〃?+19改寫(xiě)為4（，"+5）-1即

可判斷其為數(shù)列｛叫的項(xiàng)；

(3)根據(jù)冊(cè)，4(加1€^)是｛4,｝中的項(xiàng)可得到2%+34=4(2〃?+3-1)-1,可判斷結(jié)論.

(1)

設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,依題意有4=3,

d=7-3=4,/.a?=3+4(rt-l)=4?-l.

(2)

令q=4"-1=135,得〃=34,135是數(shù)列｛叫的第34項(xiàng)；

?.?4加+19=4(〃?+5)-1,且加€^,，4加+19是數(shù)列｛4,｝的第(加+5)項(xiàng).

(3)

,/,4是數(shù)列｛《,｝中的項(xiàng)，；.4“=4"-1,a,=4t-\,

2am+3at=2(4/??-l)+3(4f-l)=4(2w+3/-l)-l,

：2〃z+3f-leN*,；.24+3。,是數(shù)列｛叫的第(2m+3/-1)項(xiàng).

14.(2022.江蘇.蘇州中學(xué)高二階段練習(xí))已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足=用q=l.

(1)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

(2)若記“為滿(mǎn)足不等式出“<ak《J(〃eN*)的正整數(shù)k的個(gè)數(shù)，求數(shù)列圖的前n項(xiàng)

和為5“，求關(guān)于〃的不等式$.<4032的最大正整數(shù)解.

2

【答案】⑴----(2)8

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義，證明一匚-,為常數(shù)，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得,，從

a〃+i4%

而求得％;

(2)不等式(￡)“<4<(；］即為2"7<g<2",從而可確定人的個(gè)數(shù)，即打，然后由錯(cuò)

位相減法求得S“，結(jié)合｛S“｝是遞增數(shù)列，通過(guò)估值法得出不等式S“<4032的最大正數(shù)解.

(1)

an1a,+22

由—7Z=T??+1取倒數(shù)得-一=——

4+22anan+l

111111

二一=—+-BP-------=-,

區(qū)山鴛2“Ian2

所以為公差為g的等差數(shù)列,

(2)

當(dāng)小?時(shí),

2"-\<k<2n+l-],

所以這樣左有2"-1個(gè),即2=2"-1,

彳="1(2，一)=(〃+叱一等，

設(shè)7*為｛(〃+l)2"T｝的前〃項(xiàng)和，則

2,,_|

.\7；1=2-1+3-2+4-2+-+(?+1)-2,

2n,n

27；1=2-2+3-2+---+n-2-+(n+l)-2,

兩式相減得：-7；=2+2+22+—+2"7-(〃+1)-2"=_".2",

.2,S"/+3+i〃+L〃?"_也型,

24

因?yàn)榫?gt;。，故為〃｝為遞增數(shù)列,

冊(cè)

又S8=2026,S9=4608-27=4581,

/.S8<4032<S9,

所以關(guān)于n的不等式S?<4032的最大正整數(shù)解為8.

15.(2022?甘肅?敦煌中學(xué)高二階段練習(xí))已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足4=2,“用=2-?("€乂)

(1)設(shè)a=」7,求證數(shù)列也,｝為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)％==，數(shù)列匕q*｝的前〃項(xiàng)和I,，是否存在正整數(shù)m,使得T?<」一對(duì)任意的

meN,都成立？若存在，求出，”的最小值；若不存在，試說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析，見(jiàn)=四；(2)存在，〃，的最小值為3

n

【分析】(1)結(jié)合遞推關(guān)系可證得加+/一加=1,且歷=1,可證數(shù)列｛加｝為等差數(shù)列，據(jù)此

可得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)結(jié)合通項(xiàng)公式裂項(xiàng)有?！?+2=2(，-一二],求和有+-一[]<3,再結(jié)

V：n+2JI2〃+1〃+2J

合條件可得'""+”23,即求.

4

(1)

b-b=---------------=--------------=—?----：—

證明：:"""%+—1?！?12--1"〃一14一1/一1

又由田=2,得歷=1,所以數(shù)列｛8〃｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,

所以bn=l+(n—l)x]=〃，

n+1

得Zl=t4:——

n

(2)

C3f=2(T，

力(〃+2)\nn+2)

所以7；=2(1一;+；一；+

依題意，要使對(duì)于〃GN*恒成立,

只需?3,即+加—12=(m一3)(/??+4)>0

4

解得m>3或m<-4.

又機(jī)>0,所以楊23,

所以正整數(shù)〃?的最小值為3.

16.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))在①4，出,生成等差數(shù)列，②a.+。用+%T+a?_2=4an(n>3),

③?！?3-4,=6("21)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中.

問(wèn)題：已知在數(shù)列｛4｝中,滿(mǎn)足-—。1=4(”*2),且,若數(shù)列｛4｝等差數(shù)列,

請(qǐng)證明；若數(shù)列伍,」不是等差數(shù)列，請(qǐng)舉例說(shuō)明.

【答案】選擇見(jiàn)解析；數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列，證明見(jiàn)解析.

【解析】若補(bǔ)充條件①：數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，分別把奇數(shù)和

偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式求出，通過(guò)通項(xiàng)公式判斷整體是否為等差數(shù)列即可；

若補(bǔ)充條件②：將兩個(gè)已知等式變形，得到等式。e+。2=2?！?〃..3),

可知｛%｝從第二項(xiàng)開(kāi)始為等差數(shù)列，再驗(yàn)證出-6即可;

若補(bǔ)充條件③：根據(jù)兩個(gè)已知式子變形得到4+3-4,+2=2(〃.」)，

可知｛為｝從第三項(xiàng)開(kāi)始等差，再驗(yàn)證前面兩項(xiàng)即可.

【詳解】解：選擇條件①：由??+1=4(”..2)

得數(shù)歹U｛%-｝和｛%｝成公差為4的等差數(shù)列，

則有a2n-\=?|+4(--1)=4〃+4-4

a2n=。2+4(〃-1)=417+4一4

當(dāng)“=2時(shí)，/-4=4,又知見(jiàn),生成等差數(shù)列

所以其公差為2,則有%-4=2

所以生”=%+4(〃-1)=4〃+/-4=4〃+%-2

則當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，4=271+0,-2

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，/=2〃+q-2

所以a.=2〃+q-2,(〃eN*)

貝加,M=2(〃.])，所以數(shù)列｛%｝是公差為2的等差數(shù)列.

a

選擇條件②:因?yàn)?+2+n+i+4-1+4-2=4aM..3),所以

(4+2-q)+/+%+(--％)=%(〃.3

又一-%=4(〃..2)

a

所以凡一n-2=4(，鹿3),an+2-a?=4(n1)

所以《*1+%=2%(〃..3)

所以數(shù)列｛4｝從第二項(xiàng)開(kāi)始等差，設(shè)公差為d,

因4-4=4=21,所以%-4=，，=2

又q-4,所以g一4=2

綜上所述：數(shù)列｛??)是公差為2的等差數(shù)列.

選擇條件③：因?yàn)?-%=4(〃..2).

所以4+2-4.=4(”..1),又――an=6(n..1)

兩式相減得4+3-。“+2=2(〃.」)

所以數(shù)列｛為｝從第三項(xiàng)開(kāi)始等差.

將〃=3帶入%+i-a,-=4得=4

因?yàn)?-%=2,所以4-七=(a4-tt,)+(a,-a2)=2+(ai-4i2)=4

所以〃3-42=2,同理1-q=2

綜上所述：數(shù)列｛4｝是公差為2的等差數(shù)列.

17.(2022?全國(guó)?高二期末)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的各項(xiàng)均為整數(shù)，且滿(mǎn)足對(duì)任意正整數(shù)〃，總存

在正整數(shù)加，使得《+%++”“=《,,，則稱(chēng)這樣的數(shù)列｛q｝具有性質(zhì)P.

(1)若數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=2〃，數(shù)列｛%｝是否具有性質(zhì)P?并說(shuō)明理由；

(2)若《=3,求出具有性質(zhì)P的數(shù)列｛凡｝公差的所有可能值；

(3)對(duì)于給定的q，具有性質(zhì)戶(hù)的數(shù)列｛q｝是有限個(gè)，還是可以無(wú)窮多個(gè)？(直接寫(xiě)出結(jié)論)

【答案】(1)數(shù)列｛4｝具有性質(zhì)P,理由見(jiàn)解析；

(2)1,3；

(3)有限個(gè).

【分析】(1)由題意4+%++%=2x(l+2+3++〃)，由性質(zhì)尸的定義，即可知｛為｝是

否具有性質(zhì)尸.

(2)由題設(shè)，存在4+4=4(4結(jié)合已知得丘2且d=~則

K-2

/、/、〃(〃一1)

q+4++4,=4+(〃-1)("2)+一號(hào)」d,由性質(zhì)戶(hù)的定義只需保證d為整數(shù)即可確定

公差的所有可能值;

(3)根據(jù)(2)的思路，可得氏w2且d=eZ,由4+0,++〃“為整數(shù)，在q為定值只

k-2

需d為整數(shù)，即可判斷數(shù)列｛%｝的個(gè)數(shù)是否有限.

(1)

由〃“=2〃，對(duì)任意正整數(shù)"，4+%++a“=2x(1+2+3++/?),

說(shuō)明6+見(jiàn)+,+4,仍為數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)，

，數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)P.

(2)

設(shè)｛?！埃墓顬閐.由條件知：4+生=4(左wN*),則2q+d=q+(4-1”，即伏-2”=q,

a

必有k豐2S.d='=—^—,貝lj=a｝+(n-l]d=a]+—~=3+—~-x3,

k-2k-2v7k-2k-2

而此時(shí)對(duì)任意正整數(shù)〃，q+%+■+a“="q+M；°d=%+(w-l)(A-2)+]d,

又〃,"-1必一奇一偶，即(〃一1)仕—2)+]為非負(fù)整數(shù)

3

因此，只要"=丁不為正整數(shù)且&—2+120,

k-2

那么4+(〃—1)9一2)+當(dāng)力”為｛%｝中的一項(xiàng).

易知：4-2可取1,3,對(duì)應(yīng)得到3個(gè)滿(mǎn)足條件的等差數(shù)列.

(3)

>

同(2)知：al+a2=at(/ceN),則q=(A-2)d,

；?必有AH2且d=—^—eZ,則4+4++%=4+(〃-1)僅-2)+彳d,

k-2L2_

故任意給定為,公差d均為有限個(gè)，

???具有性質(zhì)P的數(shù)列也｝是有限個(gè).

18.(2022?北京西城?高二期末)已知｛%｝是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列.若對(duì)于｛%｝中任

意兩項(xiàng)金，?！?，在｛%｝中都存在一項(xiàng)令,使得則稱(chēng)數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)P.

⑴已知4=3”也=3〃+2(〃=1,2,),判斷數(shù)列｛2｝,｛“｝是否具有性質(zhì)P；

(2)若數(shù)列｛““｝具有性質(zhì)P,證明：｛4｝的各項(xiàng)均為整數(shù);

(3)若q=20,求具有性質(zhì)P的數(shù)列｛%｝的個(gè)數(shù).

【答案】(1)數(shù)列｛4｝具有性質(zhì)P,數(shù)列｛%｝不具有性質(zhì)P

(2)證明見(jiàn)解析

(3)12個(gè)

【分析】(1)根據(jù)數(shù)列｛q,｝具有性質(zhì)P的定義即可求解；

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,由題意,存在4使得4",4+一同理，存在%?使得％=4%+2,

兩式相減，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可得證；

(3)由題意結(jié)合(2)知｛。,,｝的各項(xiàng)均為整數(shù)，所以d為整數(shù)，首先證明d為正整數(shù)，其次

證明d為4a-1)的約數(shù)，從而即可求解.

(1)

解：因?yàn)?,=3",所以3(3〃M=3mx3〃，

所以對(duì)于｛4,｝中任意兩項(xiàng)4“，明,在｛%｝中都存在一項(xiàng)生=a31m,使得4=4,M“，

所以數(shù)列｛q,｝具有性質(zhì)P,

因?yàn)槲?3n+2,所以取"=1,5=2,則%4=5x8=40,

因?yàn)?0=3x13+1,

所以不存在一項(xiàng)q=40,

所以數(shù)列不具有性質(zhì)產(chǎn)；

(2)

證明：設(shè)數(shù)列｛?！埃墓顬閐,

因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)產(chǎn)，所以存在q使得q=44+1,同理，存在勺使得勺=%?！?2,

兩式相減，得勺-"：=a“(。“+2-4+i),即(4-i),"=，

因?yàn)?/0,所以,

所以｛”“)的各項(xiàng)均為整數(shù).

(3)

解：由題意結(jié)合(2)知｛。,,｝的各項(xiàng)均為整數(shù)，所以d為整數(shù)，

首先證明d為正整數(shù)，否則假設(shè)d為負(fù)整數(shù)，則｛““｝為遞減數(shù)列，所以｛〃,,｝中各項(xiàng)的最大值

為4,

由題設(shè)，｛〃,,｝中存在某項(xiàng)4<0,且1%1>卬，所以44+1>4，

從而對(duì)任意正整數(shù)i,a^akaM,這與｛《｝具有性質(zhì)尸矛盾；

其次證明d為q(a「l)的約數(shù)，

由a；=aman得，q+(i-V)d=[q+(m-\)d｝[ax+(n-l)d],

所以i-1="1~~—+(m+n-2)q+(m-1)("-\)d,

d

所以華心為整數(shù)，即d為q(a/l)的約數(shù)，

a

由d為正整數(shù)，所以d為20x19的正約數(shù)，

因?yàn)?0x19=2x2x5x19,所以20x19的正約數(shù)共有3x2x2=12個(gè)，

對(duì)于首項(xiàng)為20,20x19的正約