2024年陜西省西安市高新一中、交大附中、師大附中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2024年陜西省西安市高新一中、交大附中、師大附中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的大致圖像為（）A． B．C． D．2．已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足，若是奇函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．3．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則公比的值為（）A． B．或 C． D．5．已知函數(shù)，則（）A． B．1 C．-1 D．06．設(shè)全集集合，則（）A． B． C． D．7．函數(shù)f(x)=lnA． B． C． D．8．已知定義在上的函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，且對任意，，都有，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．若的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-12，則實(shí)數(shù)的值為（）A．-2 B．-3 C．2 D．310．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則（）A．0 B．55 C．66 D．7811．《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍.其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長與高，計(jì)算其體積的近似公式.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的圓周率近似取為（）A． B． C． D．12．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積與圓錐的體積的比值為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在三棱錐中，平面，，已知，，則當(dāng)最大時(shí)，三棱錐的體積為__________．14．函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.15．在二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為________.16．在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值為，則實(shí)數(shù)的值是_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）在和之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.18．（12分）已知數(shù)列滿足,，數(shù)列滿足.（Ⅰ）求證數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）一張邊長為的正方形薄鋁板（圖甲），點(diǎn)，分別在，上，且（單位：）.現(xiàn)將該薄鋁板沿裁開，再將沿折疊，沿折疊，使，重合，且重合于點(diǎn)，制作成一個(gè)無蓋的三棱錐形容器（圖乙），記該容器的容積為（單位：），（注：薄鋁板的厚度忽略不計(jì)）（1）若裁開的三角形薄鋁板恰好是該容器的蓋，求，的值；（2）試確定的值，使得無蓋三棱錐容器的容積最大.20．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）設(shè)其中為常數(shù).若方程在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）隨著時(shí)代的發(fā)展，A城市的競爭力、影響力日益卓著，這座創(chuàng)新引領(lǐng)型城市有望踏上向“全球城市”發(fā)起“沖擊”的新征程.A城市的活力與包容無不吸引著無數(shù)懷揣夢想的年輕人前來發(fā)展，目前A城市的常住人口大約為1300萬.近日，某報(bào)社記者作了有關(guān)“你來A城市發(fā)展的理由”的調(diào)查問卷，參與調(diào)查的對象年齡層次在25~44歲之間.收集到的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：來A城市發(fā)展的理由人數(shù)合計(jì)自然環(huán)境1.森林城市，空氣清新2003002.降水充足，氣候怡人100人文環(huán)境3.城市服務(wù)到位1507004.創(chuàng)業(yè)氛圍好3005.開放且包容250合計(jì)10001000（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，預(yù)測400萬25~44歲年齡的人中，選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有多少人；（2）從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中，利用分層抽樣的方法抽取6人，從這6人中再選取3人發(fā)放紀(jì)念品.求選出的3人中至少有2人選擇“森林城市，空氣清新”的概率；（3）在選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中有100名男性；在選擇“人文環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的700人中有400名男性；請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)？自然環(huán)境人文環(huán)境合計(jì)男女合計(jì)附：，.P（）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82822．（10分）在中，內(nèi)角的邊長分別為，且．（1）若，，求的值；（2）若，且的面積，求和的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

通過取特殊值逐項(xiàng)排除即可得到正確結(jié)果.【題目詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，排除B和C；當(dāng)時(shí)，，排除A.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查圖象的判斷，取特殊值排除選項(xiàng)是基本手段，屬中檔題.2、A【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)已知條件判斷出的單調(diào)性.根據(jù)是奇函數(shù)，求得的值，由此化簡不等式求得不等式的解集.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，依題意可知，所以在上遞增.由于是奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以.由得，所以，故不等式的解集為.故選：A【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.3、A【解題分析】

解一元二次不等式化簡集合的表示，求解函數(shù)的定義域化簡集合的表示，根據(jù)可以得到集合、之間的關(guān)系，結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行求解即可.【題目詳解】，.因?yàn)?，所以有，因此?故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了已知集合運(yùn)算的結(jié)果求參數(shù)取值范圍問題，考查了解一元二次不等式，考查了函數(shù)的定義域，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.4、C【解題分析】

由可得，故可求的值.【題目詳解】因?yàn)?，所以，故，因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列，故，所以，故選C.【題目點(diǎn)撥】一般地，如果為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）公比時(shí)，則有，其中為常數(shù)且；（3）為等比數(shù)列（）且公比為.5、A【解題分析】

由函數(shù)，求得，進(jìn)而求得的值，得到答案.【題目詳解】由題意函數(shù)，則，所以，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分段函數(shù)的求值問題，其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解題分析】

先求出，再與集合N求交集.【題目詳解】由已知，，又，所以.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的基本運(yùn)算，涉及到補(bǔ)集、交集運(yùn)算，是一道容易題.7、C【解題分析】因?yàn)閒x=lnx2-4x+4x-23=8、A【解題分析】

根據(jù)題意，分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱且在上為減函數(shù)，則不等式等價(jià)于，解得的取值范圍，即可得答案.【題目詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，因?yàn)閷θ我?，，都有，所以函?shù)在上為減函數(shù)，則，解得：.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的對稱性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及不等式的解法，屬于綜合題.9、C【解題分析】

先研究的展開式的通項(xiàng)，再分中，取和兩種情況求解.【題目詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：，解得，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】

先分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計(jì)算出的值，可進(jìn)一步得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后代入轉(zhuǎn)化計(jì)算，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算出結(jié)果.【題目詳解】解：由題意得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以故選：D【題目點(diǎn)撥】此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問題，以及數(shù)列求和，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔題.11、C【解題分析】

將圓錐的體積用兩種方式表達(dá)，即，解出即可.【題目詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則，又，故，所以，.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題利用古代數(shù)學(xué)問題考查圓錐體積計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新能力.12、B【解題分析】

計(jì)算求半徑為，再計(jì)算球體積和圓錐體積，計(jì)算得到答案.【題目詳解】如圖所示：設(shè)球半徑為，則，解得.故求體積為：，圓錐的體積：，故.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓錐，球體積，圓錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解題分析】設(shè)，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.,故答案為414、【解題分析】

設(shè)，，設(shè)，函數(shù)為奇函數(shù)，，函數(shù)單調(diào)遞增，，畫出簡圖，如圖所示，根據(jù)，解得答案.【題目詳解】，設(shè)，，則.原函數(shù)等價(jià)于函數(shù)，即有兩個(gè)解.設(shè)，則，函數(shù)為奇函數(shù).，函數(shù)單調(diào)遞增，，，.當(dāng)時(shí)，易知不成立；當(dāng)時(shí)，根據(jù)對稱性，考慮時(shí)的情況，，畫出簡圖，如圖所示，根據(jù)圖像知：故，即，根據(jù)對稱性知：.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.15、60【解題分析】

直接利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【題目詳解】二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為：，取，則的系數(shù)為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.16、1【解題分析】

把向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，用表示，利用基本不等式可求實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】，解得＝1．故答案為：1.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積應(yīng)用，綜合了基本不等式，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解題分析】

（Ⅰ），，兩式相減化簡整理利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（Ⅱ）由題設(shè)可得，可得，利用錯(cuò)位相減法即可得出．【題目詳解】解：（Ⅰ）因?yàn)椋剩瑑墒较鄿p可得，，故，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，∴，又，所以，故，所以；（Ⅱ）由題設(shè)可得，所以，所以，①則，②①－②得：，所以，得證.【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式、錯(cuò)位相減法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．18、（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）利用等比數(shù)列的定義結(jié)合得出數(shù)列是等比數(shù)列（Ⅱ）數(shù)列是“等比-等差”的類型，利用分組求和即可得出前項(xiàng)和.【題目詳解】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，故.當(dāng)時(shí)，，則，，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，.【題目點(diǎn)撥】（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列可利用定義法得出（Ⅱ）采用分組求和：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列．19、（1），；（2）當(dāng)值為時(shí)，無蓋三棱錐容器的容積最大.【解題分析】

（1）由已知求得，求得三角形的面積，再由已知得到平面，代入三棱錐體積公式求的值；（2）由題意知，在等腰三角形中，，則，，寫出三角形面積，求其平方導(dǎo)數(shù)的最值，則答案可求．【題目詳解】解：（1）由題意，為等腰直角三角形，又，，恰好是該零件的蓋，，則，由圖甲知，，，則在圖乙中，，，，又，平面，平面，；（2）由題意知，在等腰三角形中，，則，，．令，，，．可得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有最大值．由（1）知，平面，該三棱錐容積的最大值為，且．當(dāng)時(shí)，取得最大值，無蓋三棱錐容器的容積最大．答：當(dāng)值為時(shí)，無蓋三棱錐容器的容積最大．【題目點(diǎn)撥】本題考查棱錐體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于中檔題．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（I）零點(diǎn)分段法，分，，討論即可；（II），分，，三種情況討論.【題目詳解】原不等式即.當(dāng)時(shí)，化簡得.解得；當(dāng)時(shí)，化簡得.此時(shí)無解；當(dāng)時(shí)，化簡得.解得.綜上，原不等式的解集為由題意，設(shè)方程兩根為.當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于方程.易知當(dāng)，方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.此時(shí)方程在上無解.滿足條件.當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于方程，此時(shí)方程在上顯然沒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí)，易知當(dāng)，方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.此時(shí)方程在上也有一個(gè)實(shí)數(shù)根.滿足條件.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題考查解絕對值不等式以及方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道中檔題.21、（1）（萬）（2）（3）填表見解析；有的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)【解題分析】

(1)在1000個(gè)樣本中選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有300個(gè),根據(jù)頻率公式即可求得結(jié)果.(2)由分層抽樣的知識(shí)可得，抽取6人中,4人選擇“森林城市，空氣清新”,2人選擇“降水充足，氣候怡人”求出對應(yīng)的基本事件數(shù),即可求得結(jié)果.(3)計(jì)算的值,對照臨界值表可得答案.【題目詳解】（1）（萬）（2）從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展理由的300人中，利用分層抽樣的方法抽取6人，其中4人是選擇“森林城市，空氣清新”，2人是選擇“降水充足，氣候怡人”.記事件A為選出的3人中至少有2人選擇“森林城市，空氣清新”，則,.（3）列聯(lián)表如下自然環(huán)境人文環(huán)境合計(jì)男100400500女200300500合計(jì)3007001000，所以有的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查獨(dú)立性檢測的相關(guān)知識(shí)、分層抽樣與古典概念計(jì)算概率、考查學(xué)