達(dá)朗貝爾定理

達(dá)朗貝爾定理第一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六TheoreticalMechanics例題例球磨機(jī)的滾筒以勻角速度繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，內(nèi)裝鋼球和需要粉碎的物料。鋼球被筒壁帶到一定高度的A處脫離筒壁，然后沿拋物線軌跡自由落下，從而擊碎物料。設(shè)滾筒內(nèi)壁半徑為r，試求脫離處半徑OA與鉛直線的夾角1（脫離角）。

解：以隨著筒壁一起轉(zhuǎn)動(dòng)、尚未脫離筒壁的某個(gè)鋼球?yàn)檠芯繉?duì)象，它所受到的力有重力P、筒壁的法向約束力FN和切向摩擦力F及慣性力FI，如圖所示。返回首頁達(dá)朗貝爾原理第二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六TheoreticalMechanics鋼球隨著筒壁作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，只有法向慣性力ＦI，大小，方向背離中心O。列出沿法線方向的平衡方程：脫離角當(dāng)時(shí)，1＝0，鋼球始終不脫離筒壁，球磨機(jī)不工作。

鋼球不脫離筒壁的角速度

為了保證鋼球在適當(dāng)?shù)慕嵌让撾x筒壁，故要求返回首頁例題達(dá)朗貝爾原理第三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六TheoreticalMechanics例質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB用球鉸鏈A和繩子BC與鉛垂軸OD相連，繩子在C點(diǎn)與重量可略去的小環(huán)相連，小環(huán)可沿軸滑動(dòng)，如圖所示。設(shè)AC＝BC＝l，CD＝OA＝l/2，該系統(tǒng)以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，求繩子的張力、鉸鏈A的約束力及軸承O、D的附加動(dòng)約束力。

解：研究AB桿，畫受力圖其作用點(diǎn)在距A點(diǎn)AB處首先將AB桿上三角形分布的慣性力簡化返回首頁例題達(dá)朗貝爾原理第四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六TheoreticalMechanics由達(dá)朗貝爾原理

返回首頁例題達(dá)朗貝爾原理第五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六研究整體，畫受力圖，解得

FOy＝mg

附加動(dòng)約束力為TheoreticalMechanics返回首頁例題由達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理第六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六TheoreticalMechanics例圖中飛輪的質(zhì)量為m，平均半徑為R，以勻角速度

繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)輪緣較薄，質(zhì)量均勻分布，輪輻的質(zhì)量忽略不計(jì)。若不考慮重力的影響，求輪緣各橫截面的張力。

解截取半個(gè)飛輪研究，由對(duì)稱條件，兩截面處內(nèi)力相同，即F1T=F2T=FT。飛輪作勻角速度

轉(zhuǎn)動(dòng)，半圓環(huán)的慣性力分布如圖示，對(duì)應(yīng)于微小單元體積的慣性力dFI為

返回首頁例題達(dá)朗貝爾原理第七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六TheoreticalMechanics式中，為單位弧長的質(zhì)量。由動(dòng)靜法，這半圓環(huán)兩端的拉力F1T、F2T與分布的慣性力系dFI組成平衡力系。由平衡方程飛輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，輪緣各截面的張力相等，張力的大小與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的平方成正比，與其平均半徑成正比。

返回首頁例題達(dá)朗貝爾原理第八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六TheoreticalMechanics例題例長度為、質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB靜置于半徑為r的光滑圓槽內(nèi)。當(dāng)圓槽以勻加速度a在水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AB桿的平衡位置用角表示。如果要求AB桿在＝30時(shí)保持平衡，試求此時(shí)圓槽的加速度a應(yīng)該多大？作用在AB桿上的約束力FAR、FBR分別是多少？不計(jì)摩擦。

解：這是剛體的平行移動(dòng)問題，研究桿AB，畫受力圖，其中慣性力為返回首頁剛體慣性力系的簡化第九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六TheoreticalMechanics桿AB慣性力為由達(dá)朗貝爾原理

FAR＝FBR；解得：a＝2.625m/s2；0.732mg返回首頁例題剛體慣性力系的簡化第十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六TheoreticalMechanics例圖示圓輪的質(zhì)量m＝2kg，半徑r＝150mm，質(zhì)心離幾何中心O的距離e＝50mm，輪對(duì)質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑＝75mm。當(dāng)輪滾而不滑時(shí)，它的角速度是變化的。在圖示C、O位于同一高度之瞬時(shí)，＝12rad/s。求此時(shí)輪的角加速度。解：這是剛體的平面運(yùn)動(dòng)問題，研究圓輪。設(shè)角加速度和受力分析如圖所示，其中返回首頁例題剛體慣性力系的簡化第十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六TheoreticalMechanics由達(dá)朗貝爾原理由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系返回首頁例題剛體慣性力系的簡化第十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六TheoreticalMechanics得負(fù)號(hào)表示方向與圖示方向相反。

返回首頁例題剛體慣性力系的簡化第十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六TheoreticalMechanics例圖中均質(zhì)桿AB的長度為l，質(zhì)量為m，可繞O軸在鉛直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，OA=，用細(xì)線靜止懸掛在圖示水平位置。若將細(xì)線突然剪斷，求AB桿運(yùn)動(dòng)到與水平線成角時(shí)，轉(zhuǎn)軸O的約束力。

解：設(shè)AB桿轉(zhuǎn)至角位置時(shí)，角速度、角加速度為、。質(zhì)心C至轉(zhuǎn)軸O的距離OC=，因此質(zhì)心的加速度、桿對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為返回首頁例題剛體慣性力系的簡化第十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六TheoreticalMechanics虛加于轉(zhuǎn)軸O處的慣性力主矢、主矩，大小為它們與重力mg，軸承約束力FOx、FOy在形式上組成一平衡力系。返回首頁例題剛體慣性力系的簡化第十五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六TheoreticalMechanics分離變量、積分，即返回首頁例題由達(dá)朗貝爾原理剛體慣性力系的簡化第十六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六TheoreticalMechanics解得AB桿轉(zhuǎn)動(dòng)至角位置時(shí)的軸承約束力由此可以看出，運(yùn)用達(dá)朗貝爾原理，可用平衡方程的形式建立動(dòng)力學(xué)方程式，為了求解角速度，仍需進(jìn)行積分計(jì)算。也可先用動(dòng)能定理解出，再用達(dá)朗貝爾原理解出FOx、FOy。這種做法具有一定的普遍意義。

返回首頁例題剛體慣性力系的簡化第十七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六TheoreticalMechanics例題例一電動(dòng)機(jī)水平放置，轉(zhuǎn)子質(zhì)量m＝300kg，對(duì)其轉(zhuǎn)軸z的回轉(zhuǎn)半徑＝0.2m。質(zhì)心偏離轉(zhuǎn)軸e＝2mm。已知該電動(dòng)機(jī)在起動(dòng)過程中的起動(dòng)力矩M＝150kN·m，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)至圖示的瞬時(shí)位置，轉(zhuǎn)速n＝2400r/min。試求此瞬時(shí)轉(zhuǎn)子的角加速度和軸承的動(dòng)約束力。不計(jì)軸承的摩擦。解：首先，運(yùn)用方程組中的最后一個(gè)方程式，計(jì)算圖示瞬時(shí)的角加速度，即

返回首頁定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承動(dòng)約束力第十八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六TheoreticalMechanics而此瞬時(shí)的角速度為由此可得質(zhì)心C的加速度：慣性力系向O點(diǎn)簡化的主矢、主矩為方向如圖返回首頁例題定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承動(dòng)約束力第十九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六TheoreticalMechanics根據(jù)空間力系的平衡條件，列平衡方程并計(jì)算軸承約束力為返回首頁例題定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承動(dòng)約束力第二十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六TheoreticalMechanics在y向的靜約束力和附加動(dòng)約束力分別為返回首頁例題定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承動(dòng)約束力第二十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六TheoreticalMechanics附加動(dòng)約束力與靜約束力之比為由此可見，僅僅由于質(zhì)心偏離轉(zhuǎn)軸2mm，軸承的附加動(dòng)約束力竟高達(dá)靜約束力的12.89倍。這說明，在制造安裝轉(zhuǎn)速比較高的轉(zhuǎn)子時(shí)，必須盡量減小質(zhì)心偏離轉(zhuǎn)軸的距離e。返回首頁例題定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承動(dòng)約束力第二十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六TheoreticalMechanics例題例

圖示裝有圓盤的軸繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在過軸線兩相互垂直的平面內(nèi)裝有質(zhì)量m1＝0.5kg、m2＝1kg兩質(zhì)點(diǎn)。軸的兩端附有2cm厚的圓盤。為了均衡，在盤上離軸d＝8cm處各鉆一孔。已知鋼的密度為7.8×103kg/m3，c＝e＝9cm，b＝18cm。求孔的直徑d1、d2和方位角1、2。返回首頁靜平衡和動(dòng)平衡簡介第二十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六TheoreticalMechanics例題解：研究圓盤