2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)

2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖與直觀圖1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)（1）多面體幾何體結(jié)構(gòu)特征備注棱柱①底面互相平行.②側(cè)面都是平行四邊形.③每相鄰兩個平行四邊形的公共邊互相平行.按側(cè)棱與底面是否垂直分類，可分為斜棱柱和直棱柱.側(cè)棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特別地，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.棱錐①底面是多邊形.②側(cè)面都是三角形.③側(cè)面有一個公共頂點(diǎn).三棱錐的所有面都是三角形，所以四個面都可以看作底.三棱錐又稱為四面體.棱臺①上、下底面互相平行，且是相似圖形.②各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn).③各側(cè)面為梯形.可用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第1頁。（2）旋轉(zhuǎn)體2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第1頁。幾何體結(jié)構(gòu)特征備注圓柱①圓柱有兩個大小相同的底面，這兩個面互相平行，且底面是圓面而不是圓.②圓柱有無數(shù)條母線，且任意一條母線都與圓柱的軸平行，所以圓柱的任意兩條母線互相平行且相等..圓柱可以由矩形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到.圓錐①底面是圓面.②有無數(shù)條母線，長度相等且交于頂點(diǎn).③平行于底面的截面是與底面大小不同的圓面，過軸的截面（軸截面）是全等的等腰三角形.圓錐可以由直角三角形繞其直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到.圓臺①圓臺上、下底面是互相平行且不等的圓面.②有無數(shù)條母線，等長且延長線交于一點(diǎn).③平行于底面的截面是與兩底面大小都不等的圓面，過軸的截面（軸截面）是全等的等腰梯形.圓臺可以由直角梯形繞直角腰所在直線或等腰梯形繞上、下底中點(diǎn)連線所在直線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于底面的平面截圓錐得到.球①球心和截面圓心的連線垂直于截面.②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r之間滿足關(guān)系式：.球可以由半圓面或圓面繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)得到.2．空間幾何體的三視圖（1）三視圖的概念①光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的正視圖；②光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的側(cè)視圖；③光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的俯視圖.幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖.如圖.（2）三視圖的畫法規(guī)則2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第2頁。①排列規(guī)則：一般地，側(cè)視圖在正視圖的右邊，俯視圖在正視圖的下邊.如下圖：2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第2頁。正側(cè)俯②畫法規(guī)則ⅰ)正視圖與俯視圖的長度一致，即“長對正”；ⅱ)側(cè)視圖和正視圖的高度一致，即“高平齊”；ⅲ)俯視圖與側(cè)視圖的寬度一致，即“寬相等”.③線條的規(guī)則ⅰ)能看見的輪廓線用實(shí)線表示；ⅱ)不能看見的輪廓線用虛線表示.（3）常見幾何體的三視圖常見幾何體正視圖側(cè)視圖俯視圖長方體矩形矩形矩形正方體正方形正方形正方形圓柱矩形矩形圓圓錐等腰三角形等腰三角形圓圓臺等腰梯形等腰梯形兩個同心的圓球圓圓圓3．空間幾何體的直觀圖（1）斜二測畫法及其規(guī)則對于平面多邊形，我們常用斜二測畫法畫它們的直觀圖.斜二測畫法是一種特殊的畫直觀圖的方法，其畫法規(guī)則是：①在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x′軸和y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面.②2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第3頁。③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半.2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第3頁。（2）用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟①在已知圖形所在的空間中取水平平面，作互相垂直的軸Ox，Oy，再作Oz軸使∠xOz=90°，且∠yOz=90°.②畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的軸O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′=45°(或135°)，∠x′O′z′=90°，x′O′y′所確定的平面表示水平平面.③已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸或z′軸的線段，并使它們和所畫坐標(biāo)軸的位置關(guān)系與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同.④已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话?⑤畫圖完成以后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.注釋直觀圖的面積與原圖面積之間的關(guān)系①原圖形與直觀圖的面積比為，即原圖面積是直觀圖面積的倍，②直觀圖面積是原圖面積的倍.二、空間幾何體的表面積與體積2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第4頁。1．旋轉(zhuǎn)體的表面積2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第4頁。圓柱（底面半徑為r，母線長為l）圓錐（底面半徑為r，母線長為l）圓臺（上、下底面半徑分別為r′，r，母線長為l）側(cè)面展開圖底面面積側(cè)面面積表面積注釋多面體的表面積就是各個面的面積之和，也就是展開圖的面積.棱錐、棱臺、棱柱的側(cè)面積公式間的聯(lián)系：2．柱體、錐體、臺體的體積公式幾何體體積柱體(S為底面面積，h為高)(r為底面半徑，h為高)錐體(S為底面面積，h為高)(r為底面半徑，h為高)臺體(S′、S分別為上、下底面面積，h為高)，(r′、r分別為上、下底面半徑，h為高)注釋2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第5頁。（1）柱體、錐體、臺體體積公式間的關(guān)系2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第5頁。（2）一個組合體的體積等于它的各部分體積之和或差；（3）等底面面積且等高的兩個同類幾何體的體積相等.3．球的表面積和體積公式設(shè)球的半徑為R，它的體積與表面積都由半徑R唯一確定，是以R為自變量的函數(shù)，其表面積公式為，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍；其體積公式為.注釋球的切、接問題（常見結(jié)論）（1）若正方體的棱長為，則正方體的內(nèi)切球半徑是；正方體的外接球半徑是；與正方體所有棱相切的球的半徑是．（2）若長方體的長、寬、高分別為，，，則長方體的外接球半徑是．（3）若正四面體的棱長為，則正四面體的內(nèi)切球半徑是；正四面體的外接球半徑是；與正四面體所有棱相切的球的半徑是．（4）球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑．（5）球與圓臺的底面與側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓臺的高．三、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第6頁。1．平面的基本性質(zhì)2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第6頁。名稱圖形文字語言符號語言公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在同一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)Al，Bl，且Aα，Bα?l?α公理2過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面A，B，C三點(diǎn)不共線?有且只有一個平面α，使Aα，Bα，Cα公理2的推論推論1經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)，有且只有一個平面若點(diǎn)直線a，則A和a確定一個平面推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面?有且只有一個平面，使，推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面?有且只有一個平面，使，公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線Pα，且Pβ?α∩β=l，Pl，且l是唯一的公理4———l1———l2———l平行于同一直線的兩條直線平行l(wèi)1∥l，l2∥l?l1∥l22．等角定理（1）自然語言：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ).（2）符號語言：如圖（1）、（2）所示，在∠AOB與∠A′O′B′中，，則或.2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第7頁。2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第7頁。圖（1）圖（2）3．空間兩直線位置關(guān)系的分類空間中兩條直線的位置關(guān)系有以下兩種分類方式：（1）從有無公共點(diǎn)的角度分類：（2）從是否共面的角度分類：4．異面直線所成的角（1）異面直線所成角的定義如圖，已知兩異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O，分別作直線a′∥a，b′∥b，相交直線a′，b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.（2）異面直線所成角的范圍異面直線所成的角必須是銳角或直角，異面直線所成角的范圍是.（3）兩條異面直線垂直的定義如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條直線互相垂直.兩條互相垂直的異面直線a，b，記作a⊥b.5．直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的分類（1）直線和平面位置關(guān)系的分類①按公共點(diǎn)個數(shù)分類：2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第8頁。②按是否平行分類：2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第8頁。③按直線是否在平面內(nèi)分類：（2）平面和平面位置關(guān)系的分類兩個平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種：（1）兩個平面平行——沒有公共點(diǎn)；（2）兩個平面相交——有一條公共直線.注釋（1）唯一性定理①過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．②過直線外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直．③過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知平面平行．④過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．（2）異面直線的判定方法經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線互為異面直線．四、直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第9頁。1．直線與平面平行的判定定理2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第9頁。文字語言平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.簡記為：線線平行?線面平行圖形語言符號語言a?α，b?α，且a∥b?a∥α作用證明直線與平面平行2．直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.簡記為：線面平行?線線平行圖形語言符號語言作用①作為證明線線平行的依據(jù)．②作為畫一條直線與已知直線平行的依據(jù).3．平面與平面平行的判定定理文字語言一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.簡記為：線面平行?面面平行圖形語言符號語言a?β，b?β，，a∥α，b∥α?α∥β作用證明兩個平面平行2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第10頁。4．平面與平面平行的性質(zhì)定理2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第10頁。文字語言如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.簡記為：面面平行?線線平行圖形語言符號語言作用證明線線平行注釋1．平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系2．常用結(jié)論（1）如果兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面．（2）如果兩個平行平面中有一個平面垂直于一條直線，那么另一個平面也垂直于這條直線．（3）夾在兩個平行平面間的平行線段長度相等．（4）經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知平面平行．（5）兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例．（6）如果兩個平面分別和第三個平面平行，那么這兩個平面互相平行．（7）如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面平行．（8）如果兩個平面垂直于同一條直線，那么這兩個平面平行．五、直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)1．直線與平面垂直的定義2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第11頁。如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直.記作：l⊥α.圖形表示如下：2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第11頁。注釋定義中的“任意一條直線”這一詞語與“所有直線”是同義語，與“無數(shù)條直線”不是同義語．2．直線與平面垂直的判定定理文字語言一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.簡記為：線線垂直?線面垂直圖形語言符號語言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，?l⊥α作用判斷直線與平面垂直注釋在應(yīng)用該定理判斷一條直線和一個平面垂直時，一定要注意是這條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，而不是任意的兩條直線.2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第12頁。3．直線與平面垂直的性質(zhì)定理2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第12頁。文字語言垂直于同一個平面的兩條直線平行.簡記為：線面垂直?線線平行圖形語言符號語言?作用①證明兩直線平行；②構(gòu)造平行線.4．平面與平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．平面α與平面β垂直，記作.圖形表示如下：5．平面與平面垂直的判定定理文字語言一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.簡記為：線面垂直?面面垂直圖形語言符號語言l⊥α，?α⊥β作用判斷兩平面垂直2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第13頁。6．平面與平面垂直的性質(zhì)定理2019屆高中數(shù)學(xué)-立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)全文共15頁，當(dāng)前為第13頁。文字語言兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.簡記為：面面垂直?線線平行圖形語言符號語言作用證明直線與平面垂直7．直線與平面所成的角（1）定義：一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足．過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影．平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角．（2