演示文稿單純矩陣的譜分解

演示文稿單純矩陣的譜分解本文檔共24頁；當(dāng)前第1頁；編輯于星期一\16點(diǎn)59分（優(yōu)選）單純矩陣的譜分解本文檔共24頁；當(dāng)前第2頁；編輯于星期一\16點(diǎn)59分

矩陣的分解第四章本文檔共24頁；當(dāng)前第3頁；編輯于星期一\16點(diǎn)59分

§4.4單純矩陣的譜分解定理1:

設(shè)是一個(gè)階可對(duì)角化的矩陣，相異特征值為，則使得:此式稱為A的譜分解稱為A的譜族且滿足:本文檔共24頁；當(dāng)前第4頁；編輯于星期一\16點(diǎn)59分分析:設(shè)是的代數(shù)重復(fù)度則:本文檔共24頁；當(dāng)前第5頁；編輯于星期一\16點(diǎn)59分證明(1)

因?yàn)樗?證明(2)本文檔共24頁；當(dāng)前第6頁；編輯于星期一\16點(diǎn)59分(3)由得同理可得證明:而:,所以:證明:證明:(5)

假設(shè)A有譜分解和本文檔共24頁；當(dāng)前第7頁；編輯于星期一\16點(diǎn)59分則由(3)知:由于,所以:同理可得:因?yàn)橐驗(yàn)樗?唯一性得證本文檔共24頁；當(dāng)前第8頁；編輯于星期一\16點(diǎn)59分

可對(duì)角化矩陣的譜分解步驟：（1）首先求出矩陣的全部互異特征值及每個(gè)特征值所決定的線性無關(guān)特征向量（3）令:（2）寫出（4）最后寫出本文檔共24頁；當(dāng)前第9頁；編輯于星期一\16點(diǎn)59分例1：已知矩陣為一個(gè)可對(duì)角化矩陣，求其譜分解表達(dá)式。解:

首先求出矩陣的特征值與特征向量。容易計(jì)算從而的特征值為

可以求出分別屬于這三個(gè)特征值的三個(gè)線性無關(guān)的特征向量:本文檔共24頁；當(dāng)前第10頁；編輯于星期一\16點(diǎn)59分于是本文檔共24頁；當(dāng)前第11頁；編輯于星期一\16點(diǎn)59分取令那么其譜分解表達(dá)式為本文檔共24頁；當(dāng)前第12頁；編輯于星期一\16點(diǎn)59分正規(guī)陣的譜分解:設(shè)為正規(guī)矩陣，那么存在使得:

其中是矩陣的特征值所對(duì)應(yīng)的單位特征向量。我們稱上式為正規(guī)矩陣的譜分解表達(dá)式。本文檔共24頁；當(dāng)前第13頁；編輯于星期一\16點(diǎn)59分

設(shè)正規(guī)矩陣有個(gè)互異的特征值，特征值的代數(shù)重?cái)?shù)為，所對(duì)應(yīng)的個(gè)兩兩正交的單位特征向量為,則的譜分解表達(dá)式又可以寫成其中，并且顯然有:本文檔共24頁；當(dāng)前第14頁；編輯于星期一\16點(diǎn)59分（6）滿足上述性質(zhì)的矩陣是唯一的。我們稱為正交投影矩陣。即對(duì)于正規(guī)陣,滿足如下6條:推論1

設(shè)是一個(gè)階可對(duì)角化的矩陣，譜分解為:,若:則有本文檔共24頁；當(dāng)前第15頁；編輯于星期一\16點(diǎn)59分解：首先求出矩陣的特征值與特征向量。容易計(jì)算例2：求正規(guī)矩陣的譜分解表達(dá)式。從而的特征值為本文檔共24頁；當(dāng)前第16頁；編輯于星期一\16點(diǎn)59分當(dāng)時(shí)，求得三個(gè)線性無關(guān)的特征向量為

當(dāng)時(shí)，求得一個(gè)線性無關(guān)的特征向量為將正交化與單位化可得本文檔共24頁；當(dāng)前第17頁；編輯于星期一\16點(diǎn)59分將單位化可得：本文檔共24頁；當(dāng)前第18頁；編輯于星期一\16點(diǎn)59分于是有本文檔共24頁；當(dāng)前第19頁；編輯于星期一\16點(diǎn)59分這樣可得其譜分解表達(dá)式為本文檔共24頁；當(dāng)前第20頁；編輯于星期一\16點(diǎn)59分解：首先求出矩陣的特征值與特征向量。求正規(guī)矩陣的譜分解表達(dá)式。練習(xí)從而的特征值為

可以求出分別屬于這三個(gè)特征值的三個(gè)線性無關(guān)的特征向量:本文檔共24頁；當(dāng)前第21頁；編輯于星期一\16點(diǎn)59分再將其單位化可得三