專題03一元二次方程與二次函數(shù)的圖象性質(zhì)（原卷版）

專題03一元二次方程與二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)【知識點梳理】知識點1：根的判別式我們知道，對于一元二次方程（），用配方法可以將其變形為．①因為，所以，．于是（1）當(dāng)時，方程①的右端是一個正數(shù)，因此，原方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當(dāng)時，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數(shù)根；（3）當(dāng)時，方程①的右端是一個負(fù)數(shù)，而方程①的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒有實數(shù)根．由此可知，一元二次方程（）的根的情況可以由來判定，我們把叫做一元二次方程（）的根的判別式，通常用符號“Δ”來表示．綜上所述，對于一元二次方程（），有(1)當(dāng)Δ>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當(dāng)Δ=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）當(dāng)Δ<0時，方程沒有實數(shù)根．知識點2：根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）若一元二次方程（）有兩個實數(shù)根，，則有；．所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：如果（）的兩根分別是，，那么，．這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理．特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程，若，是其兩根，由韋達(dá)定理可知，，即，，所以，方程可化為，由于，是一元二次方程的兩根，所以，，也是一元二次方程．知識點3：二次函數(shù)圖像的伸縮變換問題函數(shù)與的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？為了研究這一問題，我們可以先畫出，，的圖象，通過這些函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)與的圖象之間所存在的關(guān)系．先畫出函數(shù)，的圖象．先列表：x…－3－2－10123…x2…9410149…2x2…188202818從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應(yīng)的x2的值擴(kuò)大兩倍就可以了．再描點、連線，就分別得到了函數(shù)，的圖象（如圖2－1所示），從圖2－1我們可以得到這兩個函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫剑瑢W(xué)們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)，的圖象，并研究這兩個函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象之間的關(guān)系．通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象可以由y=x2的圖象各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍得到．在二次函數(shù)y=ax2(a≠0)知識點4：二次函數(shù)圖像的平移變換函數(shù)y=a(x+h)2+k與y=ax2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來研究它們之間的關(guān)系．同學(xué)們可以作出函數(shù)y=2(x+1)2+1與y=2x2的圖象（如圖2－2所示），從函數(shù)的同學(xué)我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y=2x2的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位，就可以得到函數(shù)y=2(x+1)2+1的圖象．這兩個函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點．類似地，還可以通過畫函數(shù)y=－3x2，y=－3(x－1)2+1的圖象，研究它們圖象之間的相互關(guān)系．通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)y=a(x+h)2+k(a≠0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負(fù)右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移”．由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的方法：由于y=ax2+bx+c=a(x2+)+c=a(x2++)+c－，所以，y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象可以看作是將函數(shù)y=ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)a>0時，函數(shù)y=ax2+bx+c圖象開口向上；頂點坐標(biāo)為，對稱軸為直線x=－；當(dāng)x<時，y隨著x的增大而減?。划?dāng)x>時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x=時，函數(shù)取最小值y=．（2）當(dāng)a<0時，函數(shù)y=ax2+bx+c圖象開口向下；頂點坐標(biāo)為，對稱軸為直線x=－；當(dāng)x<時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x>時，y隨著x的增大而減?。划?dāng)x=時，函數(shù)取最大值y=．【題型歸納目錄】題型一：根的判別式題型二：根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）題型三：二次函數(shù)圖像的伸縮變換題型四：二次函數(shù)圖像的平移變換【典例例題】題型一：根的判別式例1．（2023·陜西榆林·九年級綏德中學(xué)?？计谀┮阎P(guān)于x的一元二次方程，若該方程有兩個相等實數(shù)根，求m的值．例2．（2023·天津和平·九年級天津市雙菱中學(xué)?？奸_學(xué)考試）解下列方程(1)；(2)．(3)求證：無論m取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．例3．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于的方程．(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；(2)若為正整數(shù)，且方程有一個根為負(fù)數(shù)，求的值．變式1．（2023·廣東河源·九年級龍川縣培英學(xué)校?？奸_學(xué)考試）當(dāng)為何值時，關(guān)于x的一元二次方程有實根？變式2．（2023·北京·統(tǒng)考二模）關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)若m為正整數(shù)，求此時方程的根．變式3．（2023·北京大興·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的方程．(1)求證：該方程總有兩個實數(shù)根；(2)若該方程有一個根小于1，求m的取值范圍．變式4．（2023·北京石景山·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若，且該方程的一個根是另一個根的2倍，求的值．題型二：根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）例4．（2023·廣東東莞·?？级＃┤?，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為________.例5．（2023·湖北咸寧·統(tǒng)考二模）已知方程的兩根分別為，則的值為_____．例6．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）關(guān)于的方程的兩個根為，．若，則______．變式5．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考三模）設(shè)m、n是方程的兩個實數(shù)根，則______．變式6．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考二模）若實數(shù)分別滿足，且，則代數(shù)式的值為______．變式7．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）設(shè)是關(guān)于的方程的兩個根，且，則_______________．變式8．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)校考三模）拋物線（p，q為常數(shù)）的頂點M關(guān)于y軸的對稱點為．該拋物線與x軸相交于不同的兩點，，且，則的值為______．變式9．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）已知一元二次方程的一個根是1，則另一個根是______．變式10．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是一元二次方程的兩根，則_________．題型三：二次函數(shù)圖像的伸縮變換例7．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點，連接．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)如圖1，若點為直線下方拋物線上一動點，過點作軸，垂足為，交于點，當(dāng)點是的三等分點時，求點坐標(biāo)；(3)如圖2，將拋物線向右平移得到新拋物線，直線與新拋物線交于，兩點，若點是線段的中點，求新拋物線的解析式．例8．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖，頂點為的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點，點P在該圖象上，交其對稱軸l于點M，點M、N關(guān)于點A對稱，連接，．

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點P的坐標(biāo)是，求的面積；(3)當(dāng)點P在對稱軸l左側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動時，請解答下面問題：①求證：；②若為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)．例9．（2023·江西南昌·統(tǒng)考二模）已知拋物線，直線將拋物線分成兩部分，首先去掉其不含頂點的部分，然后作出拋物線剩余部分關(guān)于直線的對稱圖形，得到的整個圖形稱為拋物線關(guān)于直線的“雙拋圖形”；(1)感知特例如圖所示、當(dāng)時，拋物線上的點，，，，分別關(guān)于直線對稱的點為，，，，如下表：………（_____，_____）（_____，_____）…①補(bǔ)全表格；②在圖中描出表中對稱點，再用平滑的曲線依次連接各點，得到圖象記為；

③若雙拋圖形與直線恰好有三個交點，則的值為_________；④若雙拋圖形的函數(shù)值隨著的增大而增大，則的取值范圍為____________；探究問題(2)①若雙拋圖形與直線恰好有三個交點，則的值為________；（用含的式子表達(dá)）②若雙拋圖形的函數(shù)值隨著的增大而增大，直接寫出的取值范圍；（用含的式子表達(dá)）③拋物線的頂點為點，點關(guān)于直線對稱點為，直線與雙拋圖形交點為點，若為等邊三角形時，求的值．變式11．（2023·吉林延邊·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線經(jīng)過點，點，與y軸交于點C．點P是拋物線上的動點，且橫坐標(biāo)為m．過點P作y軸的平行線，交直線于點Q，以為邊，在的右側(cè)作正方形．

(1)求此拋物線的解析式．(2)點P在直線上方的拋物線上運(yùn)動時，直接寫出的長．（用含m的代數(shù)式表示）(3)拋物線的頂點落在正方形的邊上（包括頂點）時，求m的值．(4)當(dāng)此拋物線在正方形內(nèi)部的圖象的最高點與最低點的縱坐標(biāo)之差為2時，直接寫出m的值．變式12．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）拋物線與直線相交于、兩點，與軸相交于點，點在軸的負(fù)半軸上．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點的坐標(biāo)；(2)如圖1，直線上方的拋物線上有一動點，過點作于點，求垂線段的最大值；(3)如圖2，當(dāng)點運(yùn)動到拋物線對稱軸右側(cè)時，連接，交拋物線的對稱軸于點，當(dāng)最小時，直接寫出此時的長度．變式13．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，拋物線與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，點A坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的解析式；(2)點P為第一象限拋物線上一點，連接PA交y軸交于D，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，CD的長為d，求d關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，將AP沿x軸翻折交拋物線于點Q，過點Q作y軸的平行線交PB的延長線于點E，過點E作交y軸于點F，連接PF，若，求直線PF的解析式．變式14．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖1，已知拋物線經(jīng)過點，兩點，且與y軸交于點C．

(1)填空：______，______；求得直線的解析式為______．(2)在第二象限的拋物線上，是否存在一點M，使得的面積最大？求出點M的坐標(biāo)及的面積最大值，若不存在，請說明理由．(3)點P是線段上的一點，過P作x軸的平行線交拋物線于Q，是否存在這樣的點P，使O，A，P，Q四點能組成一個平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)．變式15．（2023·山東德州·統(tǒng)考二模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線分別交x軸、y軸于A，B兩點，經(jīng)過A，B兩點的拋物線與x軸的正半軸相交于點，點P為線段上的點，且點P的橫坐標(biāo)為m．

(1)求拋物線的解析式和直線的解析式；(2)過P作y軸的平行線交拋物線于M，當(dāng)是為腰的等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)；(3)若頂點D在以、為鄰邊的平行四邊形的形內(nèi)(不含邊界)，求m的取值范圍．題型四：二次函數(shù)圖像的平移變換例10．（2023·廣東深圳·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像相交于點、．(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式，并在圖中畫出這個一次函數(shù)的圖像；(2)根據(jù)函數(shù)圖像，直接寫出不等式的解集；(3)方程在范圍內(nèi)只有一個解，求的取值范圍；(4)把二次函數(shù)的圖像左右平移得到拋物線，直接寫出當(dāng)拋物線與線段只有一個交點時的取值范圍．例11．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考二模）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于點和點，與y軸交于點C，P為拋物線上一動點．

(1)寫出拋物線的對稱軸為直線______，拋物線的解析式為______；(2)如圖2，連結(jié)，若P在上方，作軸交于Q，把上述拋物線沿射線的方向向下平移，平移的距離為h，在平移過程中，該拋物線與直線始終有交點，求h的最大值；(3)若P在上方，設(shè)直線，與拋物線的對稱軸分別相交于點F，E，請?zhí)剿饕訟，F(xiàn)，B，G（G是點E關(guān)于x軸的對稱點）為頂點的四邊形面積是否隨著P點的運(yùn)動而發(fā)生變化，若不變，求出這個四邊形的面積；若變化，說明理由．(4)設(shè)M為拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)P，M運(yùn)動時，在坐標(biāo)軸上是否存在點N，使四邊形為矩形？若存在，直接寫出點P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．例12．（2023·山西太原·太原市實驗中學(xué)校考一模）如圖所示，將拋物線沿軸向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到新的拋物線．

(1)直接寫出新拋物線的解析式為；(2)設(shè)新拋物線交軸于兩點，交軸于，頂點為，作交拋物線于，如圖所示，探究如下問題：①求點的坐標(biāo)；②若一次函數(shù)的圖象與拋物線存在唯一交點且交對稱軸交于點，連接，猜測直線與對稱軸的夾角和一次函數(shù)的圖象與對稱軸的夾角之間的大小關(guān)系．變式16．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）已知拋物線的對稱軸為直線，且經(jīng)過點．(1)求該二次函數(shù)圖象與軸的另一交點的坐標(biāo)及其函數(shù)表達(dá)式．(2)記圖象與軸交于點，過點作軸，交圖象于另一點．將拋物線向上平移個單位長度后，與軸交于點點為右側(cè)的交點）．若，求的值．變式17．（2023·廣西防城港·統(tǒng)考一模）如圖1，已知拋物線經(jīng)過點，，三點．

(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)拋物線的頂點為，直線與軸交于點，與直線交于點．現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線上．若平移的拋物線與射線（含端點）只有一個公共點，求它的頂點橫坐標(biāo)的值或取值范圍；(3)如圖，若點是拋物線上的動點，點是直線上的動點，判斷有幾個位置能使以點，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)．變式18．（2023·浙江杭州·杭州市公益中學(xué)?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，當(dāng)和時，二次函數(shù)（，是常數(shù)，）的函數(shù)值相等．(1)若該函數(shù)的最大值為，求函數(shù)的表達(dá)式，并寫出函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)；(2)若該函數(shù)的圖象與軸有且只有一個交點，求，的值．(3)記（2）中的拋物線為，將拋物線向上平移個單位得到拋物線，當(dāng)時，拋物線的最大值與最小值之差為，求的值．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）已知m，n，5分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長，且m，n分別是關(guān)于x的一元二次方程的兩個根，則k的值等于（

）A．3 B．5或9 C．5 D．92．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的方程的兩實根為，若，則m的值為（

）A． B． C．或3 D．或13．（2023·河南南陽·校聯(lián)考二模）某公司去年10月份的營業(yè)額為2500萬元，后來公司改變營銷策略，12月份的營業(yè)額達(dá)到3780萬元，已知12月份的增長率是11月份的倍，求11月份的增長率．設(shè)11月份的增長率為，根據(jù)題意，可列方程為（

）A． B．C． D．4．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）已知，是一元二次方程的兩根，則的值為（

）A．4 B． C．2 D．16．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A．2 B．3 C． D．7．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）二次函數(shù)（a，b、c為常數(shù)，且）的圖象如圖所示，其對稱軸為直線，則下列關(guān)系式錯誤的是（

）

A． B． C． D．8．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考二模）如圖，正三角形的邊長為，點從點開始沿著路線運(yùn)動，過點作直線，垂足為點，連接，記點的運(yùn)動路程為，的面積為，則關(guān)于的函數(shù)圖像大致為（

）

A．

B．

C．

D．

9．（2023春·北京海淀·九年級首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）用繩子圍成周長為10米的扇形．記扇形的半徑為米，弧長為米，面積為平方米．當(dāng)在一定范圍內(nèi)變化時，和都隨著的變化而變化，則與，與滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（

）A．反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系C．反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 D．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系10．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？既＃╆P(guān)于的二次函數(shù)圖像經(jīng)過點和，且對稱軸在軸的左側(cè)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題11．（2023·湖南常德·統(tǒng)考三模）一商店銷售某種商品，當(dāng)每件利潤為30元時，平均每天可售出20件，經(jīng)過一段時間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件，當(dāng)每件商品的單價降低______元時，該商店銷售這種商品每天的利潤為800元．12．（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）我們學(xué)習(xí)了一元二次方程和二次函數(shù)，綜合利用它們的性質(zhì)解決問題，閱讀下列材料，回答問題：例：已知關(guān)于x的方程有實數(shù)根，求t的最大值？由題意可知，當(dāng)t=0時，方程有實數(shù)解當(dāng)時，即∴設(shè)函數(shù)當(dāng)時，綜上(1)已知關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則m的最大值為______；(2)已知方程有實數(shù)根，則x-2y的最大值為______．13．（2023·湖北武漢·武漢一初慧泉中學(xué)?？既＃┮阎獟佄锞€開口向上，頂點坐標(biāo)為，下列結(jié)論：①；②；③若方程有兩個根和，且，則；④若方程有四個根，則這四個根的和為．其中正確結(jié)論的是___________．14．（2023·吉林長春·長春市解放大路學(xué)校?？既＃┮阎魏瘮?shù)，當(dāng)時，函數(shù)的最大值為，則m的值是______．15．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）函數(shù)（b，c為常數(shù)）有下列結(jié)論：①當(dāng)，該函數(shù)的圖像一定經(jīng)過點；②若，則當(dāng)時，y隨x增大而減小；③該函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱；④當(dāng)時，該函數(shù)的最小值為0，其中正確的結(jié)論是__________．（填寫序號）三、解答題16．（2023春·廣東·九年級統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知為實數(shù)，求證：在實數(shù)范圍內(nèi)，不論取何值，方程組恒有組不相等的實數(shù)解．17．（2023·廣東肇慶·?？级＃╇妱幼詣榆囈殉蔀槭忻袢粘３鲂械氖走x工具．據(jù)某市某品牌電動自行車經(jīng)銷商1至3月份統(tǒng)計，該品牌電動自行車1月份銷售輛，3月份銷售輛．(1)求該品牌電動自行車銷售量的月均增長率；(2)假設(shè)每月的增長率相同，預(yù)計4月份的銷量會達(dá)到輛嗎?18．（2