網(wǎng)絡(luò)學(xué)院數(shù)學(xué)建模作業(yè)題

數(shù)學(xué)建模作業(yè)題注意事項(xiàng)：作業(yè)共十題，每題十分，全部是比較簡單的建模計(jì)算題，題目既是課本上的習(xí)題，在課本304~315有參考解答，又是在線題庫的題目，在題庫里有更詳細(xì)的解答。學(xué)員應(yīng)該先自己動腦筋解決，然后才參考一下課本及題庫的解答。評分高低主要是看完成作業(yè)的態(tài)度、獨(dú)立程度和表達(dá)清晰程度。上傳的作業(yè)必須是包括全部作業(yè)的單獨(dú)一份word文檔，必須自己錄入，不允許掃描，不允許直接插入題庫答案中的圖片。嚴(yán)重違反者，不及格。請于有效期結(jié)束前兩周提交上傳作業(yè)，教師盡快批改，請學(xué)員有效期結(jié)束前一周查看成績，不及格的學(xué)員可以在課程答疑欄目提出或者課程論壇提出重交申請，教師刪除原作業(yè)后，這些學(xué)員可以在有效期結(jié)束前之前重交作業(yè)。每人只有一次重交機(jī)會。作業(yè)題與考試相關(guān)（當(dāng)然不會一模一樣），認(rèn)真完成作業(yè)的學(xué)員，必將在考試取得好成績。一、教材76頁第1章習(xí)題1第7題（來自高中數(shù)學(xué)課本的數(shù)學(xué)探究問題，滿分10分）表1.17是某地一年中10天的白晝時(shí)間（單位：小時(shí)），請選擇合適的函數(shù)模型，并進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合.表1.17某地一年中10天的白晝時(shí)間日期12345白晝時(shí)間5.5910.2312.3816.3917.26日期6891011白晝時(shí)間19.4016.3412.018.486.13解：根據(jù)地理常識，某地的白晝時(shí)間是以一年為周期而變化的，以日期在一年中序號為自變量x，以白晝時(shí)間為因變量y，則根據(jù)表1.17的數(shù)據(jù)可知在一年（一個(gè)周期）內(nèi)，隨著x的增加，y大約在6月21日（夏至）達(dá)到最大值，在12月21日（冬至）達(dá)到最小值，在3月21日（春分）或9月21日（秋分）達(dá)到中間值。選擇函數(shù)y=()作為函數(shù)值。根據(jù)表1.17的數(shù)據(jù)，推測A，b和的值，作非線性擬合得，預(yù)測該地12月21日的白晝時(shí)間為5.49小時(shí)。二、教材100頁第2章習(xí)題2第1題（滿分10分）繼續(xù)考慮第2.2節(jié)“汽車剎車距離”案例，請問“兩秒準(zhǔn)則”和“一車長度準(zhǔn)則”一樣嗎？“兩秒準(zhǔn)則”是否足夠安全？對于安全車距，你有沒有更好的建議？解：“兩秒準(zhǔn)則”表明前后車距D與車速v成正比例關(guān)系，其中，對于小型汽車，“一車長度準(zhǔn)則”與“兩秒準(zhǔn)則”不一致。由可以計(jì)算得到當(dāng)，“兩秒準(zhǔn)則”足夠安全，或者把剎車距離實(shí)測數(shù)據(jù)和“兩秒準(zhǔn)則”都畫在同一幅圖中，根據(jù)圖形指出“兩秒準(zhǔn)則”足夠安全的車速范圍。用最大剎車距離除以車速，得到最大剎車距離所需的尾隨時(shí)間，并以尾隨時(shí)間為依據(jù)，提出更安全的準(zhǔn)則，如“3秒準(zhǔn)則”、“4秒準(zhǔn)則”或“1秒準(zhǔn)則”等。1秒準(zhǔn)則，剎車距離的模型和數(shù)據(jù)三、教材100頁第2章習(xí)題2第3題（滿分10分）繼續(xù)考慮第2.3節(jié)“生豬出售時(shí)機(jī)”案例，做靈敏度分析，分別考慮農(nóng)場每天投入的資金對最佳出售時(shí)機(jī)和多賺的純利潤的影響.解：（1）考慮每天投入的資金c發(fā)生的相對為，則生豬飼養(yǎng)的天數(shù)t發(fā)生的相對變化是的多少倍，即定義t對c的靈敏度為因?yàn)?，所以重新定義t對c的靈敏度為①由課本上可知②所以，所以t是c的減函數(shù)為了使t>0，c應(yīng)滿足結(jié)合①②可得這個(gè)結(jié)果表示的意思是如果農(nóng)場每天投入的資金c增加1%，出售時(shí)間就應(yīng)該提前2%。（2）同理（1）總收益Q對每天投入資金c的靈敏度為③④結(jié)合③④得19715132069480216746-3226543-6236340-9246137-11255935-14由圖上可知，無論在什么環(huán)境下，如果每年捕獲山貓3只，單調(diào)減趨于0，那么最終山貓的數(shù)量都會滅絕，在較差的環(huán)境中第20年就會滅絕。同理，如果每年人工捕獲山貓1只，那么山貓?jiān)诓煌h(huán)境中的演變?yōu)槟贻^好中等較差01001001001101100952101998931029984410398795104987561049770710597668106966291079659101079555111089551121099448131109445141119342151119339161129236171139234181149231191159129201169126211179024221189022231198920241208818251218816如果每年人工捕獲山貓一只，在較好的環(huán)境下山貓的數(shù)量仍然會一直增加，在中等的環(huán)境下，山貓的數(shù)量趨于穩(wěn)定，但會慢慢減少，在較差的環(huán)境下，山貓的數(shù)量一直在減少少，很快就會滅絕。③若要使山貓的數(shù)量穩(wěn)定在60只左右，設(shè)每年需要人工繁殖b只，到第k年山貓的數(shù)量為，k=0，1，2…這時(shí)。五、教材143頁第3章習(xí)題3第4題（滿分10分）某成功人士向?qū)W院捐獻(xiàn)20萬元設(shè)立優(yōu)秀本科生獎(jiǎng)學(xué)金，學(xué)院領(lǐng)導(dǎo)打算將這筆捐款以整存整取一年定期的形式存入銀行，第二年一到期就支取，取出一部分作為當(dāng)年的獎(jiǎng)學(xué)金，剩下的繼續(xù)以整存整取一年定期的形式存入銀行……請你研究這個(gè)問題，并向?qū)W院領(lǐng)導(dǎo)寫一份報(bào)告.報(bào)告：摘要：本文主要研究的是基金的最佳使用方案，通過最佳的基金使用計(jì)劃來提高每年發(fā)給學(xué)生的獎(jiǎng)金。首先，計(jì)算在只有銀行存款的條件下，按照收益最大化原則，把基金存入銀行使每年發(fā)放的獎(jiǎng)金數(shù)目盡可能多，由于銀行存款的期限最長為五年，所以把獎(jiǎng)金發(fā)放制定成為期五年的發(fā)放計(jì)劃，第六年即可劃入下一個(gè)五年周期的獎(jiǎng)金發(fā)放計(jì)劃中。在滿足基金使用的情況下，每年存入銀行的各種存款的數(shù)目可以根據(jù)約束條件計(jì)算，然后分析銀行存款和投資并存情況下各種資金的分配情況。存款與投資同時(shí)存在的情況。在不考慮風(fēng)險(xiǎn)的情況下，將投資看作是特殊的存款，其利率用平均收益率近似代替，按照第一步的方法計(jì)算此時(shí)獎(jiǎng)學(xué)金發(fā)放所產(chǎn)生的資金分配，通過靈敏度分析得出：獎(jiǎng)學(xué)金發(fā)放時(shí)投資的靈敏度較高。根據(jù)投資越分散風(fēng)險(xiǎn)越低，可知應(yīng)將基金分散用于投資和存款，不應(yīng)將基金大量用投資。在考慮風(fēng)險(xiǎn)的情況下，應(yīng)保證基金收益能夠滿足獎(jiǎng)學(xué)金的發(fā)放要求，期末基金余額應(yīng)大體與基金初始金額相等。鑒于學(xué)校獎(jiǎng)學(xué)金基金承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)能力小，應(yīng)采取謹(jǐn)慎的投資態(tài)度，因此應(yīng)將學(xué)校獎(jiǎng)學(xué)基金分為兩部分：一部分用于保證獎(jiǎng)學(xué)金的發(fā)放；一部分用于投資。20萬可分為兩部分，分別作為存款和投資資本。一方面銀行存款以20萬遞減的趨勢進(jìn)行分析得出存款獎(jiǎng)學(xué)金發(fā)放曲線，另一方面投資0萬元開始以遞增趨勢進(jìn)行分析得出投資獎(jiǎng)學(xué)金發(fā)放曲線，兩者的步長值相等且均為0.1萬元，然后將存款獎(jiǎng)學(xué)金曲線和投資獎(jiǎng)學(xué)金曲線在同一圖中合并為一條曲線，即得出總的獎(jiǎng)學(xué)金發(fā)放曲線，存款獎(jiǎng)學(xué)金曲線和投資獎(jiǎng)學(xué)金曲線的交點(diǎn)即為獎(jiǎng)學(xué)金均衡點(diǎn)，此時(shí)，存款與投資的比例較為合適，接著分析投資風(fēng)險(xiǎn)。通過分析得出獎(jiǎng)學(xué)金發(fā)放最優(yōu)的基金使用方式。關(guān)鍵詞：動態(tài)優(yōu)化資金合理分配投資收益率一、問題分析在只有存款的條件下，可利用迭代法進(jìn)行計(jì)算，用上一年到期存款發(fā)放獎(jiǎng)學(xué)金，發(fā)放獎(jiǎng)學(xué)金后的余額作為剩余資金重新進(jìn)行下期存款，得出每年應(yīng)發(fā)放獎(jiǎng)學(xué)金最大數(shù)目及存入下期存款的種類。對于存款與投資同時(shí)存在的情況下，由于投資有收益率為負(fù)的情況，次種投資可看作為不存在投資期限作簡化處理，應(yīng)為投資收益率作為投資收益，這樣不僅可以降低風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)，簡化計(jì)算。經(jīng)過以上簡化，在銀行存款和投資并存的情況下，可以將投資看作是特殊的存款，這樣可以利用與第一種情況相同的方法進(jìn)行計(jì)算，這樣計(jì)算出的基金使用方式比較合理，風(fēng)險(xiǎn)比較低，可以保證獎(jiǎng)學(xué)金的發(fā)放?；谝陨系臈l件將銀行存款和投資并存的情況更詳細(xì)的分析，把基金分為兩部分，一部分用于投資，一部分用于存款，觀察存款變化時(shí)，獎(jiǎng)學(xué)金變化的情況。以次得到更穩(wěn)健的資金利用方法。二、模型建立為了盡可能的資金被充分利用，模型中總是把扣除獎(jiǎng)學(xué)金后的現(xiàn)有資金全部用來存款或投資。由于銀行存款和投資最大期限不大于五年，而本問題面對的是一個(gè)六年的基金投資計(jì)劃，所以針對目標(biāo)情況，做五年期的投資存款計(jì)劃，模型中相應(yīng)的參數(shù)做了相應(yīng)的處理。第一種情況下只有銀行存款，可以簡單的將各種條件轉(zhuǎn)化為約束條件，求出最優(yōu)解，并將最優(yōu)解作為只有存款條件下基金使用方案，在此把它看作是模型一。在兩種情況下，投資作為一種選擇出現(xiàn)使問題復(fù)雜化，問題顯得非常復(fù)雜，因此將問題簡化顯得非常有必要，把平均投資收益率看作投資的收益率不失為一種很好的方法，這樣不僅可以簡化模型的復(fù)雜性，還可以較好的反映問題的實(shí)質(zhì)。在這種情況下可以求出最優(yōu)的基金使用模型。三、符號說明m(n,j)：計(jì)劃中第n年投資于存款存期為j年的資金j=1,2,3,5g(n,t1)：計(jì)劃中第n年投資于投資1周期為t1的資金t1=1,3,5g(n,t2)：計(jì)劃中第n年投資于投資2周期為t2的資金t2=2,5rj：存款中存儲周期為j年的實(shí)際收益率。N：獎(jiǎng)學(xué)金發(fā)放數(shù)目。M：初始時(shí)某大學(xué)所獲基金的總額。St1：投資周期為t1的收益率。St2：投資周期為t2的收益率。四、模型求解第一種情況：只有銀行存款的條件下，銀行存款的存入方式及存入年限。①銀行稅后年利率如下表存期1年2年3年5年稅后年利率2.4%3%3.6%4.1%②終期銀行利率如下表存款種類一年兩年三年五年終期收益率1.0241.061.1081.205在只存款不投資的情況下，根據(jù)我們的模型設(shè)計(jì)和符號約定，最佳的基金使用計(jì)劃應(yīng)應(yīng)該滿足以下方程組：（1）則在只有存款的情況下，第二年存入銀行的錢數(shù)為：（2）第二種情況：在可存款也可投資的情況下，首先根據(jù)假設(shè)和最大收益的原則，資金在這種情況下是不允許閑置的，即在同一時(shí)間內(nèi)要么存入銀行要么投資。其實(shí)，因?yàn)橥顿Y是有風(fēng)險(xiǎn)的，投資收益率為正態(tài)分布函數(shù)，因此，投資收益率用平均投資收益率。據(jù)此，可以得到彝族方程來刻畫這種情況下的最佳基金使用計(jì)劃。（1）（為了充分利用基金，基金將被充分的用于存款和投資，因?yàn)橹挥羞@樣才能使利潤最大化。）（2）（第二年可用于投資與存款的基金和，與模型一相同，應(yīng)發(fā)獎(jiǎng)學(xué)金遵循獎(jiǎng)學(xué)金數(shù)目的既定關(guān)系。）（3）（第三年初可用于投資和存款的基金和）（4）（第四年關(guān)于投資與存款的基金和）（5）（第五年可用于投資和存款的基金和）（6）五、運(yùn)算數(shù)據(jù)模型的數(shù)據(jù)運(yùn)算主要采用matlab軟件進(jìn)行求解?，F(xiàn)在不再求解。六、建議對上述兩個(gè)模型的分析可知，只對捐款進(jìn)行定期的整存整取風(fēng)險(xiǎn)最低，但獎(jiǎng)學(xué)金發(fā)放的年限也是最少的。對于第二種情況對捐款進(jìn)行劃分，一部分用來投資，一部分用來存儲，具有一定的風(fēng)險(xiǎn)，但收益較為可觀。對于風(fēng)險(xiǎn)敏感的投資者，存款是最穩(wěn)健的模型；對于風(fēng)險(xiǎn)愛好者，將資金全部用于投資，模型二為首選。我認(rèn)為院領(lǐng)導(dǎo)在不考慮風(fēng)險(xiǎn)的情況下，將投資看作是特殊的存款，其稅率用平均收益率近似代替，按照第一步的方法計(jì)算此時(shí)獎(jiǎng)學(xué)金發(fā)放所產(chǎn)生的資金分配。通過靈敏度分析得出：獎(jiǎng)學(xué)金發(fā)放對投資的靈敏度較高。根據(jù)投資越分散風(fēng)險(xiǎn)越低，可知應(yīng)將基金分散用于投資和存款，不應(yīng)將基金大量用于投資。在考慮風(fēng)險(xiǎn)的情況下，應(yīng)保證基金收益能夠滿足獎(jiǎng)學(xué)金的發(fā)放要求，期末基金余額應(yīng)大體與基金初始金額相等。鑒于學(xué)校獎(jiǎng)學(xué)基金承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)能力小，應(yīng)采取謹(jǐn)慎的投資態(tài)度，因此應(yīng)將學(xué)校獎(jiǎng)學(xué)基金分為兩部分：一部分用于保證獎(jiǎng)學(xué)金的發(fā)放；一部分用于投資。20萬可分為兩部分，分別作為存款和投資資本。一方面銀行存款以20萬遞減的趨勢進(jìn)行分析得出存款獎(jiǎng)學(xué)金發(fā)放曲線，另一方面投資0萬元開始以遞增趨勢進(jìn)行分析得出投資獎(jiǎng)學(xué)金發(fā)放曲線，兩者的步長值相等且均為0.1萬元，然后將存款獎(jiǎng)學(xué)金曲線和投資獎(jiǎng)學(xué)金曲線在同一圖中合并為一條曲線，即得出總的獎(jiǎng)學(xué)金發(fā)放曲線，存款獎(jiǎng)學(xué)金曲線和投資獎(jiǎng)學(xué)金曲線的交點(diǎn)即為獎(jiǎng)學(xué)金均衡點(diǎn)，此時(shí)，存款與投資的比例較為合適。六、教材143頁第3章習(xí)題3第5題（滿分10分）有一位老人60歲時(shí)將養(yǎng)老金10萬元以整存零取方式（指本金一次存入，分次支取本金的一種儲蓄）存入，從第一個(gè)月開始每月支取1000元，銀行每月初按月利率0.3%把上月結(jié)余額孳生的利息自動存入養(yǎng)老金.請你計(jì)算老人多少歲時(shí)將把養(yǎng)老金用完？如果想用到80歲，問60歲時(shí)應(yīng)存入多少錢？解：記養(yǎng)老金第k月末銀行賬戶余額為Xk元，則列式得：因?yàn)閞≠0,所以由于月利率為y=0.3%，月支取b=1000元和本金總額x0=100000元，必然滿足且x>0。所以xk單調(diào)衰減，而且衰減的越來越快，直到xk=0為止。xk=0即所以，若養(yǎng)老金用到80歲，則由得所以，如果在60歲存入100000元，每月支取1000元，到120月即70歲恰好用完，如果每月支取1000元，用到80歲，則在60剛時(shí)存入170908元。七、教材302頁第7章習(xí)題7第1題（滿分10分）對于不允許缺貨的確定性靜態(tài)庫存模型，做靈敏度分析，討論參數(shù)、和r的微小變化對最優(yōu)訂貨策略的影響.解：（1）考慮每次訂貨的固定費(fèi)用p1發(fā)生的相對為△p1/p1，則最優(yōu)訂貨周期△T*發(fā)生的相對變化△T*/T*是△p1/p1的多少倍，即定義p1對T*的靈敏度為因?yàn)椤鱬1→0，所以重新定義p1對T*的靈敏度為①由課本上可知②③②中對p1求導(dǎo)式和②式代入①得同理得八、教材302頁第7章習(xí)題7第2題（滿分10分）習(xí)題7第2題.某配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種部件.每次輪換生產(chǎn)不同的部件時(shí)，因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)（與生產(chǎn)數(shù)量無關(guān)）.同一部件的產(chǎn)量大于需求時(shí)，因積壓資金、占用倉庫要付庫存費(fèi).今已知某一部件的日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，庫存費(fèi)每日每件1元.如果生產(chǎn)能力遠(yuǎn)大于需求，并且不允許出現(xiàn)缺貨，請制定最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃.解：由EOQ公式計(jì)算得：所以，最優(yōu)生產(chǎn)周期為10天，每次生產(chǎn)1000件。九、教材303頁第7章習(xí)題7第3題（滿分10分）某商場把銷售所剩的空紙皮箱壓縮并打成包準(zhǔn)備回收，每天能產(chǎn)生5包，在商場后