2023屆初升高數學銜接專題講義第一講 因式分解的拓展（精講）含答案1

2023年初高中銜接素養(yǎng)提升專題講義第一講因式分解的拓展（精講）（原卷版）【知識點透析】因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式?！痉椒ňv】一．提公因式法提取公因式法：把一個多項式各項都有的公因式提到括號外邊來．符號語言：【例1】因式分解．【變式】因式分解．【例2】計算．．【變式1】（2022·廣東汕頭·一模）已知，，則________．【變式2】（2022·湖南婁底·七年級期中）因式分解：；二．公式法公式法：利用乘法公式的逆變換對多項式進行因式分解．常見的公式如下：（1）a2－b2=__；（平方差公式）（2）a2±2ab+b2=__；（完全平方公式（兩個數））（3）a3±b3=__； （立方和差公式）（4）a3±3a2b+3ab2±b3=__；（完全立方公式）（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=__；（完全平方公式（三個數））【例3】因式分解．【變式】（2022·福建省泉州實驗中學八年級期中）因式分解：(1)4a2-16a+16；【例4】．（2022·上海外國語大學尚陽外國語學校七年級階段檢測）多項式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，還有立方和公式與立方差公式如下：立方和公式：立方差公式：如果把公式逆運用，則成為因式分解中的立方和與立方差公式.根據以上材料，請完成下列問題：（1）因式分解：（2）因式分解：（3）已知：的值【變式1】因式分解．【變式2】分解下列因式 (1) (2)【變式3】分解因式：(1) (2)三．十字相乘法十字相乘法：對于二次三項式或可看作二次三項式的多項式分解因式．【例5】（2022·上海閔行·七年級期中）在因式分解的學習中我們知道對二次三項式x2+a+b(1)x2(2)x2(3)x2(4)2018x2【例6】．（2023·山東濟寧·八年級期末）【知識背景】八年級上冊第121頁“閱讀與思考”中，我們利于因式分解是與整式乘法方向相反的變形這種關系得到：．【方法探究】對于多項式我們也可這樣分析：它的二次項系數1分解成1與1的積；它的常數項pq分解成p與q的積，按圖1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項系數．所以例如，分解因式：它的二次項系數1分解成1與1的積；它的常數項6分解成2與3的積，按圖2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項系數5．所以）．類比探究：當二次項系數不是1時，我們也可仿照上述方式進行因式分解．例如，分解因式：．分析：二次項系數2分解成2與1的積；常數項－6分解成－1與6（或－6與1，－2與3，－3與2）的積，但只有當－2與3時按如圖3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項系數－1．所以．【方法歸納】一般地，在分解形如關于x的二次三項式時，二次項系數a分解成與的積，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；常數項c分解成與的積，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，把，，，按如圖4所示方式排列，當且僅當（一次項系數）時，可分解因式．即．我們把這種分解因式的方法叫做十字相乘法．【方法應用】利用上面的方法將下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)【變式1】將下列各式分解因式；（2）．【變式2】（1）；（2）．【變式3】把下列各式因式分解： (1) (2) 【例7】（提高型）：分解因式.【變式】（1）；（2）.四、分組分解法根據多項式各項的特點，適當分組，分別變形，再對各組之間進行整體分解（先部分后整體的分解方法）【例8】．（2022·甘肅省蘭州市教育局八年級期中）【閱讀學習】課堂上，老師帶領同學們學習了“提公因式法、公式法”兩種因式分解的方法．分解因式的方法還有許多，如分組分解法．它的定義是：將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法叫分組分解法．使用這種方法的關鍵在于分組適當，而在分組時，必須有預見性．能預見到下一步能繼續(xù)分解．例如：（1）；（2）．【學以致用】請仿照上面的做法，將下列各式分解因式：（1）；（2）．【拓展應用】已知：，．求：的值．將下列各式分解因式（1）；（2）．【例9】分解因式：（1）；（2）．【變式】（1）；（2）．五．換元法換元法分解因式：是將多項式中的某一部分用新的變量替換，從而使較復雜的數學問題得到簡化【例10】．（2022·福建漳州·八年級期中）閱讀下列材料：在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項式的結構，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，這種方法就是換元法．對于．解法一：設，則原式；解法二：設，，則原式．請按照上面介紹的方法解決下列問題：(1)因式分解：；(2)因式分解：；(3)求證：多項式的值一定是非負數．【變式1】將下列各式分解因式（1）；（2）【變式2】（1）x6－7x3－8（2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1六．配方法【例題11】．（2022·上?！て吣昙壠谀╅喿x理解：對于形如這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成的形式．但對于二次三項式，就不能直接運用公式了．此時，我們可以在二次三項式中先加上一項，使它與的和成為一個完全平方式，再減去，整個式子的值不變，于是有：＝＝＝＝，像這樣，先添一適當項，使式中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配方法”．請利用“配方法”進行因式分解：(1)；(2)．七．因式分解的應用【例題12】．（2022·江蘇揚州·七年級期中）閱讀下列材料：若一個正整數能表示成（a，b是正整數，）的形式，則稱這個數為“明禮崇德數”，a與b是x的一個平方差分解，例如，所以是“明禮崇德數”與是的平方差分解；再如：(為正整數），所以也是“明禮崇德數”，（）與是的一個平方差分解．(1)判斷“明禮崇德數”（填“是”或“不是”）；(2)已知與是的一個平方差分解，求代數式P；(3)已知（是正整數，是常數，且），要使是“明禮崇德數”，試求出符合條件的值，并說明理由．【例題13】．已知，，求的值．【變式1】．（1）因式分解：．（2）先化簡，再求值：，其中．【變式2】．（2022·湖北十堰·八年級期末）閱讀理解題：已知二次三項式x2﹣4x＋m有一個因式是x＋3，求另一個因式及m的值．解：設另一個因式為x＋n，依題意得x2﹣4x＋m＝（x＋3）（x＋n）．即x2﹣4x＋m＝x2＋（n＋3）x＋3n，比較系數得：，解得．∴另一個因式為x﹣7，m的值為﹣21仿照上述方法解答下列問題：(1)已知二次三項式2x2＋3x﹣k有一個因式是2x﹣1，求另一個因式及k的值；(2)已知2x2﹣13x＋p有一個因式x﹣4，則p＝．

2023年初高中銜接素養(yǎng)提升專題講義第一講因式分解的拓展（精講）（解析版）【知識點透析】因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式?！痉椒ňv】一．提公因式法提取公因式法：把一個多項式各項都有的公因式提到括號外邊來．符號語言：【例1】因式分解．【解析】提取公因式，原式=．【變式】因式分解．【解析】提取公因式，原式=．【例2】計算．【解析】原式=．【變式1】（2022·廣東汕頭·一模）已知，，則________．【答案】【解析】∵m+n=4，mn=-5，∴m2n+mn2=mn（m+n）=-5×4=-20．故答案為：-20．【變式2】（2022·湖南婁底·七年級期中）因式分解：；【答案】【解析】：；二．公式法公式法：利用乘法公式的逆變換對多項式進行因式分解．常見的公式如下：（1）a2－b2=__；（平方差公式）（2）a2±2ab+b2=__；（完全平方公式（兩個數））（3）a3±b3=__； （立方和差公式）（4）a3±3a2b+3ab2±b3=__；（完全立方公式）（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=__；（完全平方公式（三個數））【例3】因式分解．【解析】法一：原式=法二：原式=．【變式】（2022·福建省泉州實驗中學八年級期中）因式分解：(1)4a2-16a+16；【答案】(1)4a-22【解析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；（2）先進行公式變形為a2（1）解：4=4a（2）解：a=a=x-y=x-y【例4】．（2022·上海外國語大學尚陽外國語學校七年級階段檢測）多項式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，還有立方和公式與立方差公式如下：立方和公式：立方差公式：如果把公式逆運用，則成為因式分解中的立方和與立方差公式.根據以上材料，請完成下列問題：（1）因式分解：（2）因式分解：（3）已知：的值【答案】（1）（a＋b）（a2?ab＋b2）（a6?a3b3＋b6）；（2）（a?b）（a＋b）（a4＋a2b2＋b4）．（3）322【詳解】（1）因式分解：a9＋b9＝（a3）3＋（b3）3＝（a3＋b3）（a6?a3b3＋b6）＝（a＋b）（a2?ab＋b2）（a6?a3b3＋b6）；（2）因式分解：a6?b6＝（a2）3?（b2）3＝（a2?b2）（a4＋a2b2＋b4）＝（a?b）（a＋b）（a4＋a2b2＋b4）；（3）∵a＋b＝3，ab＝1，∴a2＋b2＝（a＋b）2?2ab＝7，∴a6＋b6=（a2＋b2）（a4?a2b2＋b4）＝[（a＋b）2?2ab][（a2＋b2）2?2a2b2?a2b2]＝7×（49?3×1）＝322．【變式1】因式分解．【答案】原式=．【解析】原式=【變式2】分解下列因式 (1) (2)【解析】：(1)(1)【變式3】分解因式：(1) (2)【解析】：(1)中應先提取公因式再進一步分解；(2)中提取公因式后，括號內出現，可看著是或．(1) (2) 三．十字相乘法十字相乘法：對于二次三項式或可看作二次三項式的多項式分解因式．【例5】（2022·上海閔行·七年級期中）在因式分解的學習中我們知道對二次三項式x2+a+b(1)x2(2)x2(3)x2(4)2018x2【答案】(1)(x-y)(x+6y)(2)(x-3a)(x-a-2)(3)(x+a-3b)(x-a-2b)(4)(20182x2+1)(x-1)【分析】（1）將-6y2改寫成-y·6，然后根據例題分解即可；（2）將3a2+6a改寫成-3a-（3）先化簡，將ab+6b2-（4）將2017×2019改寫成(2018-1)(2018+1)，變形后根據例題分解即可；(1)解：原式=x=(x-y)(x+6y)；(2)解：原式=x=(x-3a)(x-a-2)；(3)解：原式=x=x=x=(x+a-3b)(x-a-2b)；(4)解：原式=2018x=2018=2018=(20182x+1)(x-1)．【例6】．（2023·山東濟寧·八年級期末）【知識背景】八年級上冊第121頁“閱讀與思考”中，我們利于因式分解是與整式乘法方向相反的變形這種關系得到：．【方法探究】對于多項式我們也可這樣分析：它的二次項系數1分解成1與1的積；它的常數項pq分解成p與q的積，按圖1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項系數．所以例如，分解因式：它的二次項系數1分解成1與1的積；它的常數項6分解成2與3的積，按圖2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項系數5．所以）．類比探究：當二次項系數不是1時，我們也可仿照上述方式進行因式分解．例如，分解因式：．分析：二次項系數2分解成2與1的積；常數項－6分解成－1與6（或－6與1，－2與3，－3與2）的積，但只有當－2與3時按如圖3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項系數－1．所以．【方法歸納】一般地，在分解形如關于x的二次三項式時，二次項系數a分解成與的積，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；常數項c分解成與的積，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，把，，，按如圖4所示方式排列，當且僅當（一次項系數）時，可分解因式．即．我們把這種分解因式的方法叫做十字相乘法．【方法應用】利用上面的方法將下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)【答案】(1)（x－2）（x－3）(2)（2x＋3）（5x－7）(3)（x－1）（x－3）【解析】(1)=（x－2）（x－3）．(2)=（2x＋3）（5x－7）．(3)==（x－1）（x－3）．【變式1】將下列各式分解因式；（2）．【解析】（1）原式=；（2）原式=．【變式2】（1）；（2）．【答案】（1）原式=；（2）原式=．【變式3】把下列各式因式分解： (1) (2) 【解析】：(1)． (2)【例7】（提高型）：分解因式.【解析】設=，∵=，∴=，對比左右兩邊相同項的系數可得，解得.∴原式=.【變式】（1）；（2）.解：原式=原式=分組分解法根據多項式各項的特點，適當分組，分別變形，再對各組之間進行整體分解（先部分后整體的分解方法）【例8】．（2022·甘肅省蘭州市教育局八年級期中）【閱讀學習】課堂上，老師帶領同學們學習了“提公因式法、公式法”兩種因式分解的方法．分解因式的方法還有許多，如分組分解法．它的定義是：將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法叫分組分解法．使用這種方法的關鍵在于分組適當，而在分組時，必須有預見性．能預見到下一步能繼續(xù)分解．例如：（1）；（2）．【學以致用】請仿照上面的做法，將下列各式分解因式：（1）；（2）．【拓展應用】已知：，．求：的值．【答案】（1）；（2）；【拓展應用】．【詳解】（1）（2）【拓展應用】∵，，代入得：原式=．將下列各式分解因式（1）；（2）．【答案】（1）原式=（2）原式=【解析】（1）原式=；（2）原式=．【例9】分解因式：（1）；（2）．解：（1）===．或＝＝＝＝＝．（2）===．或===．【變式】（1）；（2）．【答案】（1）原式=（2）原式=．【解析】（1）原式=（2）原式=．五．換元法換元法分解因式：是將多項式中的某一部分用新的變量替換，從而使較復雜的數學問題得到簡化【例10】．（2022·福建漳州·八年級期中）閱讀下列材料：在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項式的結構，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，這種方法就是換元法．對于．解法一：設，則原式；解法二：設，，則原式．請按照上面介紹的方法解決下列問題：(1)因式分解：；(2)因式分解：；(3)求證：多項式的值一定是非負數．【答案】(1)（1）(2)(3)見解析【解析】(1)解：解法一：設，則原式；方法二：設，則原式；(2)解：設，則原式；(3)解：，設，則原式，∵，∴，∴多項式的值一定是非負數．【變式1】將下列各式分解因式（1）；【答案】原式=（2）【解析】原式=．．【變式2】（1）x6－7x3－8（2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1【解析】（1）原式=；（2）原式=．六．配方法【例題11】．（2022·上?！て吣昙壠谀╅喿x理解：對于形如這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成的形式．但對于二次三項式，就不能直接運用公式了．此時，我們可以在二次三項式中先加上一項，使它與的和成為一個完全平方式，再減去，整個式子的值不變，于是有：＝＝＝＝，像這樣，先添一適當項，使式中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配方法”．請利用“配方法”進行因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】(1)原式＝＝＝＝；＝＝．七．因式分解的應用【例題12】．（2022·江蘇揚州·七年級期中）閱讀下列材料：若一個正整數能表示成（a，b是正整數，）的形式，則稱這個數為“明禮崇德數”，a與b是x的一個平方差分解，例如，所以是“明禮崇德數”與是的平方差分解；再如：(為正整數），所以也是“明禮崇德數”，（）與是的一個平方差分解．(1)判斷“明禮崇德數”（填“是”或“不是”）；(2)已知與是的一個平方差分解，求代數式P；(3)已知（是正整數，是常數，且）