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湘教版七年級(jí)下冊(cè)6.2方差有兩個(gè)女聲合唱隊(duì),各由5名隊(duì)員組成,她們的身高為(單位:厘米):甲隊(duì):160,162,159,160,159乙隊(duì):180,160,150,150,160.動(dòng)腦筋如果單從隊(duì)員的身高考慮,哪隊(duì)的演出效果好?不難算出每個(gè)隊(duì)的平均身高都是160厘米,但甲隊(duì)身高波動(dòng)小,乙隊(duì)身高波動(dòng)大,單從身高考慮,甲隊(duì)比較整齊,演出的效果會(huì)好一些.
一組數(shù)據(jù)中的數(shù)與這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的偏離程度是數(shù)據(jù)的一個(gè)重要特征,它反映了一組數(shù)據(jù)的分散程度.如何反映一組數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的偏離程度?給定一組數(shù)據(jù):3,3,4,6,8,9,9,其平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)與平均數(shù)6的偏差是:將各個(gè)數(shù)與平均數(shù)的偏差相加,能否得到總偏差?相加的結(jié)果為0,不能反映總偏差,這是因?yàn)槠钣姓胸?fù),相加時(shí)正負(fù)相消,因而不能反映總偏差.你用什么方法可以反映總偏差的大???但在今后的計(jì)算中,絕對(duì)值用起來不方便.其實(shí),一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)的,一個(gè)數(shù)的平方也是非負(fù)的;并且絕對(duì)值較大的數(shù),它的平方也較大,因此這組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)與平均數(shù)的差的平方也能反映這個(gè)數(shù)與平均數(shù)的偏離程度.不如先將各數(shù)與平均數(shù)之差平方,然后再相加,就不會(huì)出現(xiàn)正負(fù)相消的情況:可以考慮先取絕對(duì)值再相加.
一組數(shù)據(jù)中的各數(shù)與其平均數(shù)的偏差的平方的平均值,稱為這組數(shù)據(jù)的方差.例如,上面所給的一組數(shù)據(jù)的方差是我們將上面計(jì)算方差的過程用下面的表格來表示:數(shù)據(jù)編號(hào)1234567數(shù)據(jù)3346899平均數(shù)(3+3+4+6+8+9+9)÷7=6偏差-3-3-20233偏差的平方9940499偏差平方和9+9+4+0+4+9+9=44方差
計(jì)算前面的實(shí)例中甲、乙兩個(gè)女聲合唱隊(duì)各隊(duì)隊(duì)員身高的方差,并說明計(jì)算結(jié)果的實(shí)際意義.乙隊(duì)隊(duì)員身高的方差是:
計(jì)算的結(jié)果表明:乙隊(duì)隊(duì)員身高的方差比甲隊(duì)隊(duì)員身高的方差大得多,即乙隊(duì)中各隊(duì)員的身高與她們的平均身高的偏差大,而甲隊(duì)中各隊(duì)員的身高與她們的平均身高的偏差小,這說明乙隊(duì)的隊(duì)員高的高,矮的矮而甲隊(duì)隊(duì)員的身高比較整齊.例1解甲、乙兩隊(duì)中,每隊(duì)隊(duì)員的平均身高都是160厘米,甲隊(duì)隊(duì)員身高的方差是:1.方差的概念:設(shè)有n個(gè)數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,它們的平均數(shù)是,方差知識(shí)要點(diǎn)2.方差的意義方差用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小(即這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小).方差越大,數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大,數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定;方差越小,數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小,數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.知識(shí)要點(diǎn).求數(shù)據(jù)方差的一般步驟是什么?(1)、求數(shù)據(jù)的平均數(shù);(2)、利用方差公式求方差.S2=[(x1-x)2+(x2-x)2
+…+(xn-x)2
]1n5名女籃球隊(duì)員的身高為(單位:厘米)193182187174189試求出這組數(shù)據(jù)的方差,并說明其具體含義.方差是每個(gè)隊(duì)員的身高與她們的平均身高的偏差的平方的平均值,它涉及數(shù)據(jù)組中的每個(gè)數(shù)據(jù),反映了數(shù)據(jù)組與其平均數(shù)的偏離程度.平均身高:方差:解練習(xí)2.一組數(shù)據(jù)的方差為0,這組數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)?方差可以是負(fù)數(shù)嗎?為什么?每個(gè)數(shù)據(jù)都等于這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不可以因?yàn)閿?shù)據(jù)x1-3,x2-3,x3-3,…,xn-3
平均數(shù)為
,方差為
.數(shù)據(jù)x1+3,x2+3,x3+3,…,xn+3
平均數(shù)為
,方差為
.若數(shù)據(jù)x1、x2、…、xn平均數(shù)為,方差為s2,則x+3x-3xs2s2知識(shí)拓展結(jié)論一:數(shù)據(jù)x1±b、x2±b、…、xn±b平均數(shù)為,方差為s2+bx數(shù)據(jù)3x1,3x2,3x3
,…,3xn
平均數(shù)為
,方差為
.數(shù)據(jù)2x1-3,2x2-3,2x3-3
,…,2xn-3
平均數(shù)為
,方差為
.-32x9s24s23x結(jié)論二:數(shù)據(jù)ax1、ax2、…、axn平均數(shù)為,方差為a2s2ax結(jié)論三、數(shù)據(jù)ax1±b、ax2±b、…、axn±b平均數(shù)為±b
,方差為a2s2ax1.樣本方差的作用是()
A.表示總體的平均水平
B.表示樣本的平均水平
C.準(zhǔn)確表示總體的波動(dòng)大小
D.表示樣本的波動(dòng)大小,從而估計(jì)總體的波動(dòng)大小
D當(dāng)堂練習(xí)2.人數(shù)相同的八年級(jí)(1)、(2)兩班學(xué)生在同一次數(shù)學(xué)單元測(cè)試中,班級(jí)平均分和方差下:,,,則成績(jī)較為穩(wěn)定的班級(jí)是()A.甲班B.乙班C.兩班成績(jī)一樣穩(wěn)定D.無法確定B3.小凱同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練,近期的五次測(cè)試成績(jī)得分情況如圖所示,則他這五次成績(jī)的方差為
.1004.在樣本方差的計(jì)算公式中,數(shù)字10表示___________
,數(shù)字20表示_______.
樣本容量平均數(shù)5.五個(gè)數(shù)1,3,a,5,8的平均數(shù)是4,則a=_____,這五個(gè)數(shù)的方差_____.35.66.為了從甲、乙兩名學(xué)生中選擇一人去參加電腦知識(shí)競(jìng)賽,在相同條件下對(duì)他們的電腦知識(shí)進(jìn)行10次測(cè)驗(yàn),成績(jī)(單位:分)如下:甲的成績(jī)76849084818788818584乙的成績(jī)82868790798193907478(1)填寫下表:同學(xué)平均成績(jī)中位數(shù)眾數(shù)方差85分以上的頻率甲84840.3乙84843484900.514.4(2)利用以上信息,請(qǐng)從不同的角度對(duì)甲、乙兩名同學(xué)的成績(jī)進(jìn)行評(píng)價(jià).解:從眾數(shù)看,甲成績(jī)的眾數(shù)為84分,乙成績(jī)的眾數(shù)是90分,乙的成績(jī)比甲好;從方差看,s2甲=14.4,s2乙=34,甲的成績(jī)比乙相對(duì)穩(wěn)定;從甲、乙的中位數(shù)、平均數(shù)看,中位數(shù)、平均數(shù)都是84分,兩人成績(jī)一樣好;從頻率看,甲85分以上的次數(shù)比乙少,乙的成績(jī)比甲好.1.某企業(yè)對(duì)員工的工資情況進(jìn)行調(diào)查,他們將月工資分為800元、1000元、1500元三個(gè)等級(jí),每個(gè)等級(jí)職工人數(shù)占職工總數(shù)的比例分別為,試求這個(gè)單位職工月工資的平均數(shù)及方差,并說明其涵義.練習(xí)2.
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