2021年山西省朔州市后東中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

2021年山西省朔州市后東中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，把數(shù)列的各項(xiàng)排列成如右圖所示的三角形狀，記表示第行的第個(gè)數(shù)，則=(

)A.

B.

ks5u

C.

D.參考答案：B略2.函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是A.

B.

C.

D.參考答案：B3.已知集合，，則A.[0,7)

B.[0,1)

C.[0,1]

D.[－1,1]參考答案：D4.如果命題“p且q”是假命題，“非p”是真命題，那么（）A．命題p一定是真命題B．命題q一定是真命題C．命題q可以是真命題也可以是假命題D．命題q一定是假命題參考答案：C“非p”是真命題，則p為假命題，命題q可以是真命題也可以是假命題．5.給出下列函數(shù)：①；②；③.，使得的函數(shù)是（

）A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③參考答案：B6.以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心且與雙曲線的線相切的圓的方程是A. B.C. D.參考答案：7.在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，如果函數(shù)的圖象恰好通過個(gè)整點(diǎn)，則稱函數(shù)為階整點(diǎn)函數(shù).有下列函數(shù)①

②

③

④，其中是一階整點(diǎn)函數(shù)的是(

）A．①②③④

B．①③④

C．④

D．①④參考答案：D8.已知雙曲線與橢圓共頂點(diǎn)，且焦距是6，此雙曲線的漸近線是

A．

B．C．D．參考答案：B略9.已知，，，則(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D略10.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若f(x)滿足在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)且存在[m，n]D使f(x)在[m，n]上的值域?yàn)?，那么就稱y=f(x)為“半保值函數(shù)”，若函數(shù)，（且）是“半保值函數(shù)”，則正實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A.(0,] B.(0,) C.(0,+∞) D.(,+∞)參考答案：B【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的值域，可得t的范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，均為增函數(shù)，所以為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，均為減函數(shù)，所以為增函數(shù)；所以當(dāng)時(shí)，，根據(jù)題意可得，所以是方程的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，所以有，結(jié)合為正實(shí)數(shù)，即有，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，信息提供型題目，注意對(duì)題意的準(zhǔn)確理解上.側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知b=a，A=2B，則cosA=

．參考答案：

【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式化簡可得cosB=，進(jìn)而利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解．【解答】解：∵A=2B，∴sinA=sin2B=2sinBcosB，∵b=a，∴由正弦定理可得：===2cosB，∴cosB=，∴cosA=cos2B=2cos2B﹣1=．故答案為：．12.下列說法中，正確的有

（把所有正確的序號(hào)都填上）．①“?x∈R，使2x＞3“的否定是“?x∈R，使2x≤3”；②函數(shù)y=sin（2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π；③命題“函數(shù)f（x）在x=x0處有極值，則f'（x0）=0”的否命題是真命題；④函數(shù)f（x）=2x﹣x2的零點(diǎn)有2個(gè)；⑤dx等于．參考答案：①⑤【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】簡易邏輯．【分析】通過命題的否定判斷①的正誤；函數(shù)的周期判斷②的正誤；命題的否命題的真假判斷③的正誤；函數(shù)的零點(diǎn)的公式判斷④的正誤；定積分求出值判斷⑤的正誤．【解答】解：對(duì)于①“?x∈R，使2x＞3“的否定是“?x∈R，使2x≤3”，滿足特稱命題的否定是全稱命題的形式，所以①正確；對(duì)于②，函數(shù)y=sin（2x+）sin（﹣2x）=sin（4x+），函數(shù)的最小正周期，所以②不正確；對(duì)于③，命題“函數(shù)f（x）在x=x0處有極值，則f'（x0）=0”的否命題是：若f'（x0）=0，則函數(shù)f（x）在x=x0處有極值，顯然不正確．利用y=x3，x=0時(shí)，導(dǎo)數(shù)為0，但是x=0不是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以是真命題；所以③不正確；對(duì)于④，由題意可知：要研究函數(shù)f（x）=x2﹣2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，只需研究函數(shù)y=2x，y=x2的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．畫出函數(shù)y=2x，y=x2的圖象，由圖象可得有3個(gè)交點(diǎn)．所以④不正確；對(duì)于⑤，dx的幾何意義是半圓的面積，圓的面積為π，dx=．所以⑤正確；故答案為：①⑤．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，考查命題的否定，零點(diǎn)判定定理，定積分的求法，函數(shù)的周期等知識(shí)，考查基本知識(shí)的應(yīng)用．13.

．參考答案：

14.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線與的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)．若|AB|:

|BF2|:

|AF2|＝3:4:5，則雙曲線的離心率為___________參考答案：15.若，則的值為__________。參考答案：16.某幾何體的三視圖如圖所示，當(dāng)a+b取最大值時(shí)，該幾何體的表面積是

；參考答案：略17.一個(gè)正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點(diǎn)P，如果：將容器倒置，水面也恰好過點(diǎn)P有下列四個(gè)命題：

①正四棱錐的高等于正四棱柱的高的一半；

②若往容器內(nèi)再注a升水，則容器恰好能裝滿；

③將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面恰好經(jīng)過點(diǎn)P；

④任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時(shí)，水面都恰好經(jīng)過點(diǎn)P．

其中正確命題的序號(hào)為

（寫出所有正確命題的序號(hào)）參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】棱錐棱柱G7②③解析：設(shè)圖（1）水的高度h2幾何體的高為h1，底面邊長為b，

圖（1）中水的體積為，圖（2）中水的體積為b2h1-b2h2=b2（h1-h2），

所以b2h2=b2（h1-h2），所以h1=h2，故①錯(cuò)誤；又水占容器內(nèi)空間的一半，所以②正確；當(dāng)容器側(cè)面水平放置時(shí)，P點(diǎn)在長方體中截面上，所以③正確；假設(shè)④正確，當(dāng)水面與正四棱錐的一個(gè)側(cè)面重合時(shí)，經(jīng)計(jì)算得水的體積為b2h2＞b2h2，矛盾，故④不正確．故答案為：②③．【思路點(diǎn)撥】可結(jié)合已知條件先判斷出水的體積占整個(gè)容積的一半，再通過計(jì)算判斷①④是否正確即可.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的正方形．（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)Q（1，0）的直線l與橢圓C相較于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P（4，3），記直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，當(dāng)k1?k2取最大值時(shí)，求直線l的方程．參考答案：考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（1）由題意可得：b=c=，a=2，即可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1．（2）當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，利用向量計(jì)算公式可得k1k2=；當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），與橢圓方程聯(lián)立可得（m2+2）y2+2my﹣3=0，利用斜率計(jì)算公式與根與系數(shù)的關(guān)系可得k1?k2==，令t=4m+1，只考慮t＞0時(shí)，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．解答： 解：（1）由題意可得：b=c=，a=2，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1．（2）當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，k1k2==；當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，化為（m2+2）y2+2my﹣3=0，，y1y2=，又x1=my1+1，x2=my2+1，∴k1?k2=====，令t=4m+1，只考慮t＞0時(shí)，∴k1?k2=+=≤1，當(dāng)且僅當(dāng)t=5時(shí)取等號(hào)．綜上可得：直線l的方程為：x﹣y﹣1=0．點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、直線斜率計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了換元法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，，，D為AC的中點(diǎn)，N為AB1與A1B的交點(diǎn).（1）證明：B1C∥平面BA1D；（2）設(shè)，求直線BC1與平面BA1D所成角的正弦值.參考答案：（1）證明見解析；（2）.【分析】(1)根據(jù)三角形的中位線定理得出兩直線平行,再由線面平行的判斷定理可得證；(2)如下圖,以A為原點(diǎn)，AB，AC，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量,和向量的坐標(biāo),根據(jù)線面角的向量坐標(biāo)公式,可求得值.【詳解】（1）證明：由題知，N為的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)，，平面，平面，平面.（2）如圖，以A為原點(diǎn)，AB，AC，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，，故直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理,利用空間直角坐標(biāo)系求得線面角的問題,在求線面角時(shí),注意求得面的法向量與所求的線向量的余弦值的絕對(duì)值等于線面角的正弦值,這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn),屬于中檔題.20.（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，．（Ⅰ）證明：為異面直線與的公垂線；（Ⅱ）設(shè)異面直線與的夾角為45°，求二面角的余弦值．參考答案：（本小題滿分12分）解：（I）連接A1B，記A1B與AB1的交點(diǎn)為F.因?yàn)槊鍭A1BB1為正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D為BB1的中點(diǎn)，故DE∥BF，DE⊥AB1.

………………3分作CG⊥AB，G為垂足，由AC=BC知，G為AB中點(diǎn).又由底面ABC⊥面AA1B1B.連接DG，則DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂線定理，得DE⊥CD.所以DE為異面直線AB1與CD的公垂線.（II）因?yàn)镈G∥AB-1，故∠CDG為異面直線AB-1與CD的夾角，∠CDG=45°設(shè)AB=2，則AB1=，DG=，CG=，AC=.作B1H⊥A1C1，H為垂足，因?yàn)榈酌鍭1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1，K為垂足，連接B1K，由三垂線定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH為二面角A1-AC1-B1的平面角.略21.小明打算從組和組兩組花樣滑冰動(dòng)作中選擇一組參加比賽．已知小明選擇組動(dòng)作的概率是選擇組動(dòng)作的概率的3倍，若小明選擇組動(dòng)作并正常發(fā)揮可獲得10分，沒有正常發(fā)揮只能獲得6分；若小明選擇組動(dòng)作則一定能正常發(fā)揮并獲得8分．據(jù)平時(shí)訓(xùn)練成績統(tǒng)計(jì)，小明能正常發(fā)揮組動(dòng)作的概率是．（Ⅰ）求小明選擇組動(dòng)作的概率；（Ⅱ）設(shè)表示小明比賽時(shí)獲得的分?jǐn)?shù)，求的分布列與期望．

參考答案：解（Ⅰ）設(shè)小明選擇組動(dòng)作的概率為，則小明選擇組動(dòng)作的概率為，依題意得即。所以小明選擇組動(dòng)作的概率為0.75………………4分（Ⅱ）依題意得=10、6、8………………10分∴的分布列為1068

………13分

略22.．（1）求圓O與直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)θ∈（0，π）時(shí)，求圓O和直線l的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】Q4：簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（1）圓O的極坐標(biāo)方程化為ρ2=ρcosθ+ρsinθ，由此能求出圓O的直角坐標(biāo)方程；直線l的極坐標(biāo)方程化為ρsi