倒立擺MATLAB的建模

/Matlab程序設(shè)計上交作業(yè)要求：1紙質(zhì)文檔：設(shè)計分析報告一份〔包括系統(tǒng)建模、系統(tǒng)分析、系統(tǒng)設(shè)計思路、程序及其執(zhí)行結(jié)果。2Matlab程序：按班級統(tǒng)一上交后備查。題目一：考慮如圖所示的倒立擺系統(tǒng)。圖中.倒立擺安裝在一個小車上。這里僅考慮倒立擺在圖面內(nèi)運動的二維問題。圖倒立擺系統(tǒng)假定倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)如下。擺桿的質(zhì)量：m=0.1g擺桿的長度：2l=1m小車的質(zhì)量：M=1kg重力加速度：g=10/s2擺桿慣量：I=0.003kgm2擺桿的質(zhì)量在擺桿的中心。設(shè)計一個控制系統(tǒng).使得當(dāng)給定任意初始條件<由干擾引起>時.最大超調(diào)量%≤10%.調(diào)節(jié)時間ts≤4s.使擺返回至垂直位置.并使小車返回至參考位置<x=0>。要求：1、建立倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2、分析系統(tǒng)的性能指標(biāo)——能控性、能觀性、穩(wěn)定性3、設(shè)計狀態(tài)反饋陣.使閉環(huán)極點能夠達(dá)到期望的極點.這里所說的期望的極點確定是把系統(tǒng)設(shè)計成具有兩個主導(dǎo)極點.兩個非主導(dǎo)極點.這樣就可以用二階系統(tǒng)的分析方法進(jìn)行參數(shù)的確定4、用MATLAB進(jìn)行程序設(shè)計.得到設(shè)計后系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)、階躍響應(yīng).繪出相應(yīng)狀態(tài)變量的時間響應(yīng)圖。題目二：根據(jù)自身的課題情況.任意選擇一個被控對象.按照上題所示步驟進(jìn)行分析和設(shè)計.并給出仿真程序及其執(zhí)行結(jié)果。題目一：考慮如圖所示的倒立擺系統(tǒng)。圖中.倒立擺安裝在一個小車上。這里僅考慮倒立擺在圖面內(nèi)運動的二維問題。圖倒立擺系統(tǒng)假定倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)如下。擺桿的質(zhì)量：m=0.1g擺桿的長度：2l=1m小車的質(zhì)量：M=1kg重力加速度：g=10/s2擺桿慣量：I=0.003kgm2擺桿的質(zhì)量在擺桿的中心。設(shè)計一個控制系統(tǒng).使得當(dāng)給定任意初始條件<由干擾引起>時.最大超調(diào)量%≤10%.調(diào)節(jié)時間ts≤4s.使擺返回至垂直位置.并使小車返回至參考位置<x=0>。要求：1、建立倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2、分析系統(tǒng)的性能指標(biāo)——能控性、能觀性、穩(wěn)定性3、設(shè)計狀態(tài)反饋陣.使閉環(huán)極點能夠達(dá)到期望的極點.這里所說的期望的極點確定是把系統(tǒng)設(shè)計成具有兩個主導(dǎo)極點.兩個非主導(dǎo)極點.這樣就可以用二階系統(tǒng)的分析方法進(jìn)行參數(shù)的確定4、用MATLAB進(jìn)行程序設(shè)計.得到設(shè)計后系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)、階躍響應(yīng).繪出相應(yīng)狀態(tài)變量的時間響應(yīng)圖。設(shè)計分析報告1系統(tǒng)建模在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后.可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)。如下如所示。圖一級倒立擺模型其中：φ擺桿與垂直向上方向的夾角θ擺桿與垂直向下方向的夾角〔考慮到擺桿初始位置為豎直向下圖是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中.N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定.因而矢量方向定義如圖所示.圖示方向為矢量正方向。分析小車水平方向所受的合力.可以得到以下方程：由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式：即：把這個等式代入式<3-1>中.就得到系統(tǒng)的第一個運動方程：為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程.我們對擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析.可以得到下面方程：力矩平衡方程如下：注意：此方程中力矩的方向.由于.故等式前面有負(fù)號。合并這兩個方程.約去和.得到第二個運動方程：設(shè)〔是擺桿與垂直向上方向之間的夾角.假設(shè)與1〔單位是弧度相比很小.即.則可以進(jìn)行近似處理：。用來代表被控對象的輸入力.線性化后兩個運動方程如下：對式<3-9>進(jìn)行拉普拉斯變換.得到注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時假設(shè)初始條件為0。由于輸出為角度.求解方程組的第一個方程.可以得到：或如果令.則有：把上式代入方程組的第二個方程.得到：整理后得到傳遞函數(shù)：其中設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為：方程組對解代數(shù)方程.得到解如下：整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：代入倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)。擺桿的質(zhì)量：m=0.1g擺桿的長度：2l=1m小車的質(zhì)量：M=1kg重力加速度：g=10/s2擺桿慣量：I=0.003kgm2另外.也可以利用MATLAB中tf2ss命令對<3-13>式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.求得上述狀態(tài)方程。2系統(tǒng)分析2.1判斷系統(tǒng)能控性和能觀性在MATLAB中.可以利用ctrb<>和obsv<>函數(shù)直接求出能控性和能觀性矩陣A=[0100;0010;0001;00110];B=[0;1;0;1];C=[1000;0010];D=[0;0];Uc=ctrb<A,B>;rc=rank<Uc>;n=size<A>;ifrc==ndisp<'systemiscontrolled.'>elseifrc<ndisp<'systemisuncontrolled.'>endVo=obsv<A,C>;ro=rank<Vo>;ifro==ndisp<'systemisobservable.'>elseifro~=ndisp<'systemisnoobservable.'>End運行情況如下：2.2系統(tǒng)穩(wěn)定性A=[0100;0010;0001;00110];B=[0;1;0;1];C=[1000;0010];D=[0;0];P=poly<A>,v=roots<P>運行結(jié)果如下：特征值為0〔二重.3.3166,-3.3166.顯然.其中一個極點在右半平面.該系統(tǒng)不穩(wěn)定。3系統(tǒng)設(shè)計極點配置與控制器設(shè)計極點配置的方法就是通過一個適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋增益矩陣的狀態(tài)反饋方法,將閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置到任意期望的位置。.其中x是狀態(tài)變量〔n維.u是控制信號.這里選取控制信號為..該方程的解為.系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)特性由矩陣A-BK的特征決定。.閉環(huán)系統(tǒng)的方程為.選取所希望的極點值為.設(shè)計狀態(tài)反饋陣時.要使系統(tǒng)的極點設(shè)計成具有兩個主導(dǎo)極點.兩個非主導(dǎo)極點.這樣就可以用二階系統(tǒng)的分析方法進(jìn)行參數(shù)的確定。最大超調(diào)量小于等于10%.調(diào)節(jié)時間為4S.運用超調(diào)量的計算公式..其中為阻尼系數(shù).有該公式可求得.阻尼系數(shù)=0.59.小于1.是欠阻尼。.可以求得=1.27則極點公式為.得到兩個共軛極點為.配置非主導(dǎo)極點.在MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中提供了單變量系統(tǒng)極點配置acker<>,其格式為K=acker<A,B,p>程序如下：A=[0100;00-20;0001;00220];B=[0;1;0;-1];C=[10