畢業(yè)設(shè)計（論文）文獻(xiàn)綜述：基于三角Bézier曲線的過渡曲線曲面的構(gòu)造

畢業(yè)設(shè)計（論文）--文獻(xiàn)綜述綜述題目基于三角Bézier曲線的過渡曲線曲面的構(gòu)造專業(yè)信息與計算科學(xué)姓名學(xué)號指導(dǎo)教師基于三角Bézier曲線的過渡曲線構(gòu)曲面的構(gòu)造摘要在形狀調(diào)配過程中，過渡曲線的連續(xù)性往往是很難保證的。首先給出三角Bézierr曲線的定義，然后從過渡曲線滿足一定擬連續(xù)性的角度出發(fā)，利用三角Bézier曲線的端點性質(zhì)，研究形狀參數(shù)曲線的參數(shù)擬連續(xù)特征保持問題給出了線性混合過程中一階和二階參數(shù)擬連續(xù)保持條件，從而得出一般的三角成Bézier曲線在形狀調(diào)配中參數(shù)擬連續(xù)的保持方法。形狀調(diào)配(shapeblending)，又稱作形狀混合，是計算機(jī)關(guān)鍵幀動畫的核心技術(shù)一般指在兩關(guān)鍵幀中插入若干中間幀，產(chǎn)生連續(xù)平滑的過渡，它是計算機(jī)圖形表示領(lǐng)域中非?；钴S的研究課題。關(guān)鍵詞Bézier曲線曲面的構(gòu)造；過渡曲線；形狀調(diào)配；幾何設(shè)計ConstructionofTransitionCurveCoordinatedSurfaceBasedonTriangularBézierCurveDingFu-Jie(SchoolofMathematicsandPhysics,AnhuiJianzhuUniversity,Hefei230601)AbstractIntheprocessofshapedeployment,thecontinuityofthetransitioncurveisoftendifficulttoguarantee.Firstly,thedefinitionofthetriangularBéziercurveisgiven.Then,fromthepointofviewofthequasi-continuityofthetransitioncurve,theproblemofthequasi-continuousfeaturepreservingproblemoftheshapeparametercurveisgivenbyusingtheendpropertyofthetriangularBéziercurve.Andthesecond-orderparametricquasi-continuouscondition,soastoobtainthegeneralmethodofpreservingtheparametersofthegeneraltriangularBéziercurveinshapeassignment.Shapeblending,alsoknownasshapeblending,isthecoretechnologyofcomputerkeyframeanimationgenerallyreferstotheinsertionofseveralintermediateframesintwokeyframes,resultinginasmoothtransition,whichisaveryactiveresearchinthefieldofcomputergraphicsrepresentationTopic.KeywordsBéziercurvesurfacestructure;transitioncurve;shapedeployment;geometricdesign1引言計算機(jī)輔助幾何設(shè)計（ComputerAidedGeometricDesign)，簡稱CAGD,主要研究在計算機(jī)圖像系統(tǒng)的環(huán)境下對曲面的表示、逼近、分析和綜合，它源于飛機(jī)船舶的外形放樣（Lofting)工藝，由Coons，Bézier等大師于20世紀(jì)60年代奠定理論基礎(chǔ)。CAGD是隨著工業(yè)的蓬勃發(fā)展而逐步發(fā)展起來的應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個重要分支，是當(dāng)代高技術(shù)學(xué)科之一，隨著計算機(jī)圖形顯于對于真實性，實時性和交互性要求的日益增強(qiáng)，隨著計算機(jī)幾何設(shè)計對象向著多樣性，特殊性和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)復(fù)雜性靠攏這種趨勢的日益明顯，隨著圖形工業(yè)和制造工業(yè)邁向一體化、信息化、網(wǎng)絡(luò)化步伐的日益加快，隨著激光測距掃描等三維數(shù)據(jù)采樣技術(shù)和硬件設(shè)備的日益完善，CAGD在近幾年來得到了長足的發(fā)展，這主要表現(xiàn)在研究領(lǐng)域的急劇擴(kuò)展和表示方法的開拓創(chuàng)新。它與應(yīng)用逼近論、微分幾何、代數(shù)幾何、線性代數(shù)、數(shù)值分析、拓?fù)鋵W(xué)、微分方程、分形小波等近代數(shù)學(xué)各個分支以及計算機(jī)圖形學(xué)、幾何造型、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、程序語言、機(jī)械加工、外形檢測、三維醫(yī)學(xué)圖像、人體解剖學(xué)等學(xué)科的交叉和滲透，曲線和曲面是計算機(jī)輔助幾何設(shè)計研究的重要內(nèi)容，它們在實際工作中有廣泛的應(yīng)用。例如，實驗，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如何用曲線，表示工業(yè)設(shè)計、分析優(yōu)化的結(jié)果如何用曲線，曲面表出汽車飛機(jī)等具有風(fēng)趣外形的產(chǎn)品怎樣進(jìn)行設(shè)計，才能使之完美且物理性能最佳。自由曲線曲而造型作為計算機(jī)輔助幾何設(shè)計（CAGD）中最為活躍、同時也是最為關(guān)鍵的學(xué)科分支之一，長期以來都是重要的研究課題，其一般多以多項式為基函數(shù)構(gòu)造參數(shù)曲線曲而其中較早的有Ferguson曲線和Bézier曲線，后來發(fā)展的有B樣條曲線和有理B樣條曲線，現(xiàn)在比較成熟的是非均勻有理B樣條(NURBS)曲線。Bézier方法與B樣條方法雖然在表示與設(shè)訓(xùn)一曲線曲而時顯示了強(qiáng)大的表現(xiàn)形式，然而在表示二次曲線曲而時卻無能為力;現(xiàn)在比較流行的NURBS方法雖然能精確地表示圓錐曲線和規(guī)則曲而，但其權(quán)因子與參數(shù)化問題至今仍未完全解決，而且NURBS方法在求積、求導(dǎo)計算時也比較復(fù)雜。在計算機(jī)輔助幾何設(shè)計（CAGD）中，Bernstin多項式和Bézier曲線曲面設(shè)計發(fā)揮了極其重要的作用。Bézier曲線曲面結(jié)構(gòu)簡單、計算相對方便、設(shè)計相對有效，但在實際應(yīng)用中存在缺陷，即在控制多邊形不變的情況下，無法調(diào)整曲線曲面的外形。有理的B-spline曲線曲面雖然在一定程度上克服了上述困難，但畢竟是有理形式，曲線曲面拼接的條件較有雜。在形狀調(diào)配過程中，過渡曲線的連續(xù)性往往是很難保證的首先給出三角Bézier曲線的定義，然后從過渡曲線滿足一定擬連續(xù)性的角度出發(fā)，利用三角曲線的端點性質(zhì)，研究形狀參數(shù)曲線的參數(shù)擬連續(xù)特征保持問題給出了線性混合過程中一階和二階參數(shù)擬連續(xù)保持條件，從而得出一般的三角成Bézier曲線在形狀調(diào)配中參數(shù)擬連續(xù)的保持方法，形狀調(diào)配(shapeblending)，又稱作形狀混合，是計算機(jī)關(guān)鍵幀動畫的核心技術(shù)一般指在兩關(guān)鍵幀中插入若干中間幀，產(chǎn)生連續(xù)平滑的過渡。在工業(yè)造型設(shè)計中，采用對形狀的調(diào)配，以得到更符合實際需求和審美潮流的綜合設(shè)計.在模式識別中，通過體素之間的調(diào)配混合，加入中間的過渡形狀，在提供較少參數(shù)的情況下獲得較大的表示域?？傊?，形狀調(diào)配是計算機(jī)圖形表示領(lǐng)域中非?；钴S的研究課題2基本研究內(nèi)容隨著幾何造型在工業(yè)中的發(fā)展，人們往往需要改變曲線與曲面的形狀以滿足實際工程的需要。由此，帶參數(shù)的曲線曲面造型方法成為CAGD中一個非?；钴S的研究課題。這些方法的主要目的是在曲線曲面中引入?yún)?shù)后，通過修改參數(shù)的取值來實現(xiàn)對曲線曲面形狀的調(diào)整。另一方面，在計算機(jī)圖形表示與計算機(jī)關(guān)鍵幀動畫中，形狀調(diào)配一直都是一個比較活躍的研究領(lǐng)域。形狀調(diào)配又稱形狀HYPERLINK[1]混合，指在兩關(guān)鍵幀中插入若干中間幀來獲得連續(xù)平滑的過渡。在形狀調(diào)配過程中，為了研究中間幀畫面在何種條件能保持原有始終幀內(nèi)部的幾何連續(xù)性，嚴(yán)蘭蘭等HYPERLINK[3]提出保持幾何連續(xù)性的形狀調(diào)配問題。雖然關(guān)鍵幀動畫方法只需選取幾個關(guān)鍵幀即可生成復(fù)雜的運(yùn)動過程，但選取方案的的不同會造成原有數(shù)據(jù)的丟失，自交和萎縮現(xiàn)象HYPERLINK[2]。為此，劉華勇等HYPERLINK[6]從形狀調(diào)配的應(yīng)用出發(fā)，研究基于調(diào)配函數(shù)的過渡曲線構(gòu)造與連續(xù)性問題，并給出了可使得過渡曲線在兩端點處滿足C連續(xù)的調(diào)配函數(shù)。由于過渡曲線的構(gòu)造，自然而然的將問題上升到曲面的高度，即過渡曲面的構(gòu)造和過渡曲線的構(gòu)造方法的相似性。通過過渡曲線將滿足C連續(xù)的過渡曲面構(gòu)造出來HYPERLINK[4]。隨著圖形工業(yè)對實時交互要求的日益增強(qiáng)，曲面求值已成為整個系統(tǒng)高速運(yùn)行的一個“瓶頸”，研究表明曲線曲面形式的互化在CAGD中起著重要的作用，它指的是同一條(張)參數(shù)曲線(曲面)用不同的多項式基來表示不同特征網(wǎng)格之間的相互轉(zhuǎn)化，或者指拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同的矩形曲面片與三角曲面片的相互轉(zhuǎn)化，或者指參數(shù)曲線曲面隱式化和隱式曲線曲面參數(shù)化。1984年幾何設(shè)計專家Barnhill在SurfaceinCAGD的國際會議上指出矩形片和三角片的混合使用是CAGD的八個主要課題之一，因此矩形片和三角片的互化和拼接是CAGD的一個熱點，Brueckner葉林、王俊都給出了一些互化公式，把Bézier三角片表為矩形片的trimmde(裁剪)曲面;胡事民則用升階法得出曲面B樣條從三角域到矩形域上控制點的轉(zhuǎn)化公式，Lino和Wilde把一張Bézier三角片分解為三張同次的非退化矩形片;Goldman和Filip把一張mn次的矩形片精確的分割為兩張m+n次三角片，此外，Sheng,pieg都對trimmde曲面的三角化有所研究.由于Bézier曲面不能表示圓錐曲曲面或其他超越曲面，所以討論了有理三角片Bézier到有理Bézier退化矩形片轉(zhuǎn)化，使其對曲面的形狀控制具有更好的靈活性HYPERLINK[11]。曲面造型也越來越被其它工業(yè)領(lǐng)域的產(chǎn)品設(shè)計商注意，制造技術(shù)的發(fā)展也促進(jìn)了對曲面造型的需求，要求曲面造型構(gòu)造出復(fù)雜的新穎產(chǎn)品，矩形域形式的參數(shù)曲面在應(yīng)用中受到了極大的限制，而三角Bézier曲面則表現(xiàn)出了良好的優(yōu)越性，能夠有效地解決復(fù)雜區(qū)域上散亂點的曲面擬合問題，具有構(gòu)造靈活，適應(yīng)性強(qiáng)的特點，因而在反求工程中受到極大關(guān)注。三角域上的Bézier曲面最初是由DeCasteljau于20世紀(jì)50年代末提出的，但其成果直至1975年才被Boehm發(fā)現(xiàn);20世紀(jì)7080年代，國外對三角域上曲面造型進(jìn)行了深入的研究，代表性的學(xué)者有Barnhill,Gordon,Gregory,Sabin及Farin等人。Farin等提出了各種構(gòu)造參數(shù)三角Bézier曲面的方法HYPERLINK[12]，成功的解決了基于散亂點的三角Bézier曲面的插值問題，為三角Bézier曲面的應(yīng)用打下了良好的基礎(chǔ)。3發(fā)展前景計算機(jī)輔助設(shè)計是應(yīng)用數(shù)學(xué)中一個發(fā)展前景極為良好的分支，是為了滿足工業(yè)需求而出現(xiàn)的學(xué)科。隨著日益增多的設(shè)計要求，計算機(jī)幾何隨著多方向性，獨特性和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的多重性正變得越來越顯著，和圖形產(chǎn)業(yè)和制造產(chǎn)業(yè)逐漸的走向信息，一體和網(wǎng)絡(luò)化。而網(wǎng)絡(luò)化的步伐正在加快，三維數(shù)據(jù)的采集技術(shù)和計算機(jī)硬件越來越完美化，輔助設(shè)計也在最近幾年中有著發(fā)展和創(chuàng)新，其研究領(lǐng)域正在不斷擴(kuò)張。它涉及到很多現(xiàn)代數(shù)學(xué)，比如微分幾何，數(shù)值分析等，還有著幾何建模，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，程序設(shè)計語言，形狀檢測，醫(yī)學(xué)檢測等學(xué)科。在實際生產(chǎn)生活中，在計算機(jī)輔助設(shè)計中曲線和曲面有著極其廣泛的應(yīng)用。例如，如何利用曲線曲面的形式去將實驗統(tǒng)計的結(jié)果分析和優(yōu)化，使人們更容易去理解和接受。和中自由曲線和曲面的變化是非常熱門的研究課題。上世紀(jì)中期首次應(yīng)用于發(fā)達(dá)國家的航空工業(yè)中。由弗格森首次提出利用曲線和曲面的特性，可以給它們向量化，最終弗格森雙三曲面由四個角點的位置和兩個方向的切向量定義線面的參數(shù)形式成為了數(shù)學(xué)中的定義形式。Coons提出了一種能夠運(yùn)用四個閉合邊界線交互設(shè)計的自由曲面的設(shè)計方法曲線定義一塊表面，也就是說，Coons表面不限于邊界上的數(shù)據(jù)代替在許多點上插入兩組邊界曲線。上世紀(jì)70年代Bézier發(fā)表了一種利用控制多邊形來定義曲線全新的方法，即利用改變控制頂點的方法來改變曲線形狀。Bézier提出的方法簡明好用，也解決了形狀控制的問題。隨著圖形工業(yè)對實時交互要求的日益增強(qiáng)，曲面求值已成為整個系統(tǒng)高速運(yùn)行的一個“瓶頸”，研究表明曲線曲面形式的互化在CAGD中起著重要的作用，它指的是同一條(張)參數(shù)曲線(曲面)用不同的多項式基來表示不同特征網(wǎng)格之間的相互轉(zhuǎn)化，或者指拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同的矩形曲面片與三角曲面片的相互轉(zhuǎn)化，或者指參數(shù)曲線曲面隱式化和隱式曲線曲面參數(shù)化。1984年幾何設(shè)計專家Barnhill在SurfaceinCAGD的國際會議上指出矩形片和三角片的混合使用是CAGD的八個主要課題之一，因此矩形片和三角片的互化和拼接是CAGD的一個熱點，Brueckner葉林、王俊都給出了一些互化公式，把Bézier三角片表為矩形片的trimmde(裁剪)曲面;胡事民則用升階法得出曲面B樣條從三角域到矩形域上控制點的轉(zhuǎn)化公式，Lino和Wilde把一張Bézier三角片HYPERLINK[5]分解為三張同次的非退化矩形片;Goldman和Filip把一張mn次的矩形片精確的分割為兩張m+n次三角片，此外，Sheng,pieg都對trimmde曲面的三角化有所研究.由于Bézier曲面不能表示圓錐曲曲面或其他超越曲面，所以討論了有理三角片Bézier到有理Bézier退化矩形片轉(zhuǎn)化，使其對曲面的形狀控制具有更好的靈活性。曲面造型也越來越被其它工業(yè)領(lǐng)域的產(chǎn)品設(shè)計商注意，制造技術(shù)的發(fā)展也促進(jìn)了對曲面造型的需求，要求曲面造型構(gòu)造出復(fù)雜的新穎產(chǎn)品，矩形域形式的參數(shù)曲面在應(yīng)用中受到了極大的限制，而三角Bézier曲面則表現(xiàn)出了良好的優(yōu)越性，能夠有效地解決復(fù)雜區(qū)域上散亂點的曲面擬合問題HYPERLINK[7]，具有構(gòu)造靈活，適應(yīng)性強(qiáng)的特點，因而在反求工程中受到極大關(guān)注。三角域上的Bézier曲面最初是由DeCasteljau于20世紀(jì)50年代末提出的，但其成果直至1975年才被Boehm發(fā)現(xiàn);20世紀(jì)7080年代，國外對三角域上曲面造型進(jìn)行了深入的研究，代表性的學(xué)者有Barnhill,Gordon,Gregory,Sabin及Farin等人。Farin等提出了各種構(gòu)造參數(shù)三角Bézier曲面的方法，成功的解決了基于散亂點的三角Bézier曲面的插值問題，為三角Bézier曲面的應(yīng)用打下了良好的基礎(chǔ)。給定控制網(wǎng)格點及相應(yīng)的二元Bernstin基，即可確定三角曲面片；若要修改曲面的形狀，必須調(diào)整控制頂點，有理Bézier三角曲面片通過引入權(quán)因子，不改變控制頂點，由權(quán)因子可調(diào)整曲面的形狀;但有理Bézier三角曲面片還有一定的缺陷:如何選取權(quán)因子以及權(quán)因子對曲線的形狀影響還不是十分清楚，求導(dǎo)次數(shù)增加，求積分不方便等。吳曉勤，韓旭里，鄔弘毅，提出了帶有形狀參數(shù)的Bézier三角曲面片，有效的解決了上述問題，顯然在多項式空間中，即使增加參數(shù)仍無法精確表示圓錐曲曲面或其他超越曲面，為三角域上的曲面造型提供了一種新的思路方法HYPERLINK[8]。在計算機(jī)模擬的圖形場景中，為了細(xì)致地描繪出景物、物體的真實感，需要采用能精確地建立物體特征的表示，從而采用了多邊形、二次曲而、分形結(jié)構(gòu)、樣條曲而和構(gòu)造技術(shù)等實體表示方法。其中為了構(gòu)造齒輪、機(jī)冀、汽車等有曲而的結(jié)構(gòu)而采用了樣條曲而并且使用了可以逼近很多插值節(jié)點的Bézier曲線。Bézier曲線作為很好的曲線擬合工具，因其具有保性，可調(diào)控性等特點而被廣泛應(yīng)用于計算機(jī)輔助設(shè)計((CAD)及圖像的繪制(Windows操作系統(tǒng)的曲線就是Bézier曲線實現(xiàn)的)。但在實際設(shè)計中存在兩個問題HYPERLINK[9]，首先由于Bézier曲線控制點的性質(zhì)，根據(jù)已有數(shù)據(jù)所繪制的Bézier曲線不一定能通過這些點，這樣雖然可以做出完美的曲線設(shè)計、但卻會對材料造成大量的損耗。其二，初始點不一定能完全體現(xiàn)曲線的設(shè)計要求，其中可能存在大量的無效點，而對這些無效點的計算會導(dǎo)致計算維數(shù)的增加加大計算量。4總結(jié)首先介紹了Bézier曲線及其過渡曲線曲面的研究背景和發(fā)展現(xiàn)狀。然后給出了兩類基于不同基函數(shù)Bézier曲線的構(gòu)造方法，通過研究Bézier曲線之間的連續(xù)性我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)任意兩條Bézier曲線之間具有一個或者多個控制頂點時，此時這兩條Bézier曲線之間都存在著一定的擬連續(xù)性，但是當(dāng)任意兩條Bézier曲線的控制頂點不相同的時候，我們發(fā)現(xiàn)，這兩條曲線之間沒有任何的關(guān)系，所以就更不會有連續(xù)性了，此時，我們給出一種過渡曲線的構(gòu)造方法，得出一條過渡曲線，通過這條過渡曲線，使得此前沒有連續(xù)性的兩條Bézier曲線之間產(chǎn)生了一定的連續(xù)性，本論文著重討論的是C連續(xù)HYPERLINK[10]。最后，通過對過渡曲線的研究，我們發(fā)現(xiàn)，Bézier曲面之間也存在著相同的問題，所以，通過對過渡曲線的研究，我們得出過渡曲面的構(gòu)造方法，給出過渡曲面相關(guān)研究。在計算機(jī)模擬的圖形場景中，為了細(xì)致地描繪出景物、物體的真實感，需要采用能精確地建立物體特征的表示，從而采用了多邊形、二次曲而、分形結(jié)構(gòu)、樣條曲而和構(gòu)造技術(shù)等實體表示方法。其中為了構(gòu)造齒輪、機(jī)冀、汽車等有曲而的結(jié)構(gòu)而采用了樣條曲而并且使用了可以逼近很多插值節(jié)點的曲線。Bézier曲線作為很好的曲線擬合工具，因其具有保性，可調(diào)控性等特點而被廣泛應(yīng)用于計算機(jī)輔助設(shè)計((CAD)及圖像的繪制(Windows操作系統(tǒng)的曲線就是Bézier曲線實現(xiàn)的)。但在實際設(shè)計中存在兩個問題，首先由于Bézier曲線控制點的性質(zhì)，根據(jù)已有數(shù)據(jù)所繪制的Bézier曲線不一定能通過這些點，這樣雖然可以做出完美的曲線設(shè)計、但卻會對材料造成大量的損耗。其二，初始點不一定能完全體現(xiàn)曲線的設(shè)計要求，其中可能存在大量的無效點，而對這些無效點的計算會導(dǎo)致計算維數(shù)的增加加大計算量。計算機(jī)輔助幾何設(shè)計（CGAD）是以數(shù)學(xué)和計算機(jī)科學(xué)為基礎(chǔ)的新的跨學(xué)科課程。隨著工業(yè)發(fā)展的需求而出現(xiàn)和發(fā)展起來的，所以成為了熱門學(xué)科。在幾何的發(fā)展過程中，從數(shù)字定義出發(fā)，將傳統(tǒng)時代幾何轉(zhuǎn)化為信息時代幾何，充滿活力，有著超強(qiáng)的生命力。其研究的內(nèi)容主要就是如何改變工業(yè)產(chǎn)品的形狀，即我們可以利用數(shù)學(xué)幾何模型為計算機(jī)輔助設(shè)計和制造提供數(shù)學(xué)外形，制造出符合工業(yè)需求的產(chǎn)品。機(jī)器人行走路線，設(shè)計道路和軟件造型的設(shè)計都和本課題所研究的內(nèi)容息息相關(guān)，所以，我們通過本課題的研究，可以將其應(yīng)用到實際生活中，具有很強(qiáng)的實用性，研究意義重大。參考文獻(xiàn)劉華勇,李璐,張大明,謝新平,王煥寶.帶形狀參數(shù)的代數(shù)三角樣條曲線曲面的構(gòu)造（英文）[J].高等學(xué)校計算數(shù)學(xué)學(xué)報,2016,(03):234-246.樊文,洪玲,邢燕.帶一個形狀參數(shù)的有理三次三角Bézier曲線[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2016,(04):30-34.嚴(yán)蘭蘭,韓旭里,黃濤.帶一個形狀參數(shù)的3