高二理科數(shù)學(xué)暑期講義第7講空間幾何體的概念與結(jié)構(gòu)教師版

第7講空間幾何體的

概念與結(jié)構(gòu)

R二滿分晉級

新課標(biāo)剖析

當(dāng)前

空間幾何體在近五年北京卷（理）考查5?10分

形勢

要求層次

內(nèi)容具體要求

ABC

晨）考柱、錐、臺、球及其簡4認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并

要求單組合體能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).

靈活運(yùn)用柱、錐、臺、球及其簡單組合體的表面積和

柱、錐、臺、球的表面

體積公式，并能運(yùn)用這些公式計算現(xiàn)實生活中簡單物

積和體積

體的結(jié)構(gòu).

北京2008年2008年2010年（新課標(biāo)）2011年（新課標(biāo)）2012年（新課標(biāo)）

高考

第8題5分

解讀第8題5分第4題5分第7題5分第7題5分

第8題5分

76

7.1空間幾何體的基本元素

知識點(diǎn)睛

1.幾何體：只考慮形狀與大小，不考慮其它因素的空間部分叫做一個幾何體，比如長方體，球體等.

2.構(gòu)成幾何體的基本元素：點(diǎn)、線、面.

4B、C......

/----------------1點(diǎn)一,不號/大小

的基本元素一線無限延伸，不號慮粗細(xì)

平面.480?,p,y......

而不考慮以薄，無限延展

〈教師備案〉用運(yùn)動的觀點(diǎn)理解空間基本圖形間的關(guān)系：

在幾何中，可以把線看成點(diǎn)運(yùn)動的軌跡，點(diǎn)動成線；

把面看成線運(yùn)動的軌跡，線動成面；

把幾何體看成面運(yùn)動的軌跡（經(jīng)過的空間部分），面動成體.

〈教師備案〉（1）立體幾何中的平面與我們平時看見的平面是有區(qū)別的，立體幾何里的平面是理想化的，

絕對平且無限延展的，它是點(diǎn)的集合.

⑵立體幾何中的平面與平面幾何中的平面圖形是有區(qū)別的，它無大小之分，無形狀，無邊

沿，無厚度，不可度量.

⑶我們通常畫平行四邊形表示平面，它表示的是整個平面，沒有邊沿，一般把這個平行四

邊形的銳角畫成45。，并將橫邊的長度畫成鄰邊的兩倍.畫兩個相交平面時，當(dāng)一個平

面的一部分被另一部分遮住時，應(yīng)把被遮住的部分畫成虛線或不畫，以增加立體感.

⑷有時根據(jù)需要我們也可以用其它平面圖形來表示一個平面，如用三角形，圓等.

3.多面體：由若干個平面多邊形所圍成的封閉的幾何體.

凸多面體：把一個多面體的任意一個面延展成平面，如果其余的各面都在這個平面的同一側(cè)，

則這樣的多面體就叫做凸多面體.

截面：一個幾何體和一個平面相交所得的平面圖形（包括它的內(nèi)部），叫做這個幾何體的截面.

頂點(diǎn)體對角線

面對角線

非凸多面體

〈教師備案〉在立體幾何中，輔助線并不總是虛線，而是根據(jù)實際情況，能看到的用實線，被遮住的用

虛線，以增強(qiáng)立體感，更好地配合空間想象.

例：按照要求完成下面兩個相交平面的作圖，圖中表示兩個平面的交線:

BB

考點(diǎn)1：空間幾何體基本元素的認(rèn)識

〈教師備案〉例1的目的是希望學(xué)生通過平面圖形到空間圖形，通過空間圖形到平面圖形來對空間幾何

體有一個初步的認(rèn)識.

【例1】⑴*下面四個平面圖形中，每個小四邊形皆為正方形，其中不能沿兩個正方形相鄰邊折疊成

一個正方體的圖形是（）

⑵★如圖，一個封閉的立方體，它的六個表面各標(biāo)有A,B,C,D,E,F這六個字母之

現(xiàn)放置成如圖的三種不同的位置，則字母A,B,C對面的字母分別是.

⑶★★如圖，模塊①?⑤均由4個棱長為1的小正方體構(gòu)成，模塊⑥由15個棱長為1的小正方

體構(gòu)成，現(xiàn)從模塊①?⑤中選出3個放到模塊⑥上，使得模塊⑥成為一個棱長為3的大正

方體，則能夠完成任務(wù)的模塊為.

(2)E,D,F

⑶①②⑤或①?⑤

7.2多面體的結(jié)構(gòu)特征

78

知識點(diǎn)睛

L棱柱：

〈教師備案〉以運(yùn)動的觀點(diǎn)來看：棱柱可以理解為由一個平面多邊形沿某一確定方向平移形成的空間幾

何體.

兩個底面為全等多邊形，對應(yīng)邊互相平行

結(jié)構(gòu)性質(zhì)-側(cè)面都是平行四邊形，側(cè)棱平行且相等

棱柱

底面邊數(shù)：三枝?柱、四棱柱、五棱柱

分類卜疝棱與底面：垂直—直棱柱；不垂直二斜棱柱

特殊直棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱.

特殊的四棱柱：

側(cè)面積(SQ全面積(%)體積(V)

棱柱

每個側(cè)面的面積之和S側(cè)+2s底無?力

〈教師備案＞祖胞原理：然勢既同，則積不容異.

夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩

個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.

經(jīng)典精講

考點(diǎn)2：棱柱的基本概念

【例2】★★下列關(guān)于棱柱的命題，其中真命題的序號是

①棱長相等的直四棱柱是正方體；

②有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；

③若有兩個側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；

④若兩個過相對棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；

⑤若側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱；

⑥若四棱柱的四條體對角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱；

⑦若底面是正方形，且有兩個側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為正四棱柱；

⑧若每個側(cè)面都是全等的矩形，則該四棱柱為正四棱柱；

⑨若底面是正方形，且有一個頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直，則該四棱柱為正四棱柱;

⑩若底面是正方形，且有兩個側(cè)面是矩形，則該四棱柱為正四棱柱.

【解析】④⑥⑨.

考點(diǎn)3：棱柱的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)

【例3】⑴★正方體的對角線長為/,則側(cè)面對角線長是()

5D,顯I

A.—/B."C.向

23

⑵★?一個長方體共一個頂點(diǎn)的三個面的面積分別為夜,△，展,這個長方體的對角線長

為.

【解析】(DD：

(2)瓜；

尖子班學(xué)案1

【拓2】長方體中共點(diǎn)的三條棱長分別為a,b,c,分別過這三條棱中的一條及其對棱的對角面的面

積分別記為刃,Sh,Sc(Sc>Sb>S?),則()

A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.a<b<c

【解析】D；

知識點(diǎn)睛

2.棱錐：

〈教師備案)以運(yùn)動的觀點(diǎn)來看：棱錐可以理解為當(dāng)棱柱的一個底面收縮為一個點(diǎn)時，得到的幾何體.

底面為多邊形

〔結(jié)構(gòu)性質(zhì)，其余各nil是仃一個公共頂點(diǎn)的一:角形

棱錐

底而邊數(shù):二棱錐、四棱錐、五.棱錐

一底而形狀：正多邊形一正棱錐

正棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形，它們底邊上的高都相等，稱

為正棱錐的斜高.

80

正四面體：各棱長都相等的正三棱錐.

（本講最后有正多面體的剪紙，老師可以引導(dǎo)學(xué)生自己動手折）

〈教師備案〉正棱錐的性質(zhì)很多，要特別注意的是：

⑴平行于底面的截面的性質(zhì)：如果一個棱錐被平行于底面的一個平面所截，那么：

①棱錐的側(cè)棱和高被這個平面分成的線段成比例.

②所得的截面和底面是對應(yīng)邊互相平行的相似正多邊形.

③截面面積和底面面積的比，等于從頂點(diǎn)到截面和從頂點(diǎn)到底面的距離平方的比，即等

于截得的棱錐與已知棱錐的高的平方比.

⑵有關(guān)正棱錐的計算問題，要抓住四個直角三角形：

正棱錐的高、側(cè)棱及其在底面的射影、斜高及其在底面的射影、

底面邊長的一半可組成四個直角三角形，即右圖Rtz\SOH,

RtA5OC,RtASWC,RtAOHC,這是解決正棱錐計算問

題的基本依據(jù)，必須牢固掌握.

彳則面積（5州）全面積（5全）體積（V）

棱錐

各側(cè)面積之和s側(cè)+s底gs底

〈教師備案〉棱錐的體積公式的理解：

任何一個棱錐都可以分成一些三棱錐，從而只需考慮三棱錐的體積即可，

任何一個三棱錐S—MC,我們都可以選定其中一條棱，把底面沿著該棱

平移形成一個棱柱.

如圖，三棱錐S-Me可以得到三棱柱SDK-ABC,

而在三棱柱中連接DC,

可知此時棱柱被分為了三個三棱錐S-BCD,S-CDE.

而通過轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)和底面，可知：

^S-ABC=^C-SAB=Vf-SDB=^S-BCD=^S-ECD，

即分成的三個三棱錐體積相同，

從而可知三棱錐的體積為等底面積等高的棱柱體積的三分之

從而對于底面積和高都相等的棱錐和棱柱，有限推=3%柱,

經(jīng)典精講

考點(diǎn)4：棱錐的基本概念

【例4】?*下列關(guān)于棱錐的命題，其中真命題的序號是.

①棱錐被平面分成的兩部分不可能都是棱錐；

②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐;

③棱錐的高線可能在幾何體之外；

?若底面為正多邊形，則該棱錐為正棱錐；

⑤若各側(cè)棱都相等，則該棱錐為正棱錐；

⑥若各側(cè)面都是等腰三角形，則該棱錐為正棱錐；

【解析】③

【備選】①若各側(cè)面與底面都是全等的正三角形，則該棱錐為正棱錐；

②若底面是正三角形，各側(cè)面都是等腰三角形，則該棱錐為正棱錐

③若各側(cè)面都是全等的等腰三角形，則該棱錐為正棱錐.

【解析】①正確；

②不正確；

③不正確.

考點(diǎn)5：正棱椎的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)

提高班學(xué)案1

【鋪1】正四棱錐的斜高為2,側(cè)棱長為石，求中截面（即過高線的中點(diǎn)且平行于底面的截面）的面積.

【解析】1.

【例5】★?己知正三棱錐S-A8C的高SO=/z,斜高SM=/,求經(jīng)過SO的中點(diǎn)且平行于底面的截面

△A4G的面積，并求匕

【解析】匕的=向7（/-町.

尖子班學(xué)案2

【拓2】已知棱錐V-ABC的底面積是64cm2,平行于底面的截面面積是4cm2,棱錐頂點(diǎn)V在截面和底

面上的射影分別是Q、O,過。0的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面，求各截面的面積.

【解析】兩截面的面積分別為16cm2和36cm2.

目標(biāo)班學(xué)案1

【拓3】（2010年清華自主招生）在正四棱錐中，片，R分別為側(cè)棱PB,PD的中點(diǎn),

則四面體A8CQ的體積與四棱錐P-A88的體積之比為（）

A.1:6B.1:5C.1:4D.1:3

【解析】C.

知識點(diǎn)睛

3.棱臺:

82

棱銖被平行于底面的平面所截后,

根面和地面之間的部分

概念上底面

棱臺

.各側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)

結(jié)構(gòu)性質(zhì)｛上下底面平行且對應(yīng)邊成比例

正棱臺：由正棱錐截得的棱臺.

正棱臺的各個側(cè)面都是全等的等腰梯形，這些等腰梯形的高叫做棱臺的斜高.

右圖為一個正三棱臺，記為棱臺側(cè)棱A4',BB,CC'延長后

必交于一點(diǎn).O',0為上下底面的中心，它們的連線O'O是棱臺的高，是

棱臺的斜高.

〈教師備案〉有關(guān)正棱臺的計算問題，應(yīng)抓住三個直角梯形、兩個直角三角形：

即正棱臺的兩底面中心的連線、相應(yīng)的邊心距、相應(yīng)的外接圓半徑，側(cè)棱，斜高，兩底面

邊長的一半，組成三個直角梯形（梯形007777,OOCC,HH'RB）和兩個直角三角形

(△OHB,△O/ffi).

例：判斷下列說法是否正確.

①有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺；（x）

②用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺；（X）

③上、下底面為相似的正多邊形的棱臺一定是正棱臺.（X）

名稱側(cè)面積（SM）全面積（S全）體積（V）

棱臺各側(cè)面面積之和

棱

臺s側(cè)+s上底+s下底上底+s下底+Js味?S下底）

正棱臺

表中c'、C分別表示上、下底面周長，表示高，”表示斜高.

器i一.餐典精講

考點(diǎn)6：正棱臺的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)

【例6】⑴★*正四棱臺的側(cè)棱長為19,兩底面邊長分別是4和16,它的表面積和體積分別為

（2）**正六棱臺的上，下底面的邊長和側(cè)棱長分別為“，b,c,則它的高和斜高分別為

【解析】（1）表面積為5=272+200小，

體積為V=1904.

⑵/2一（6-6,Jc2y“）一；

提高班學(xué)案2

【拓1】如圖，正三棱臺ABC-ABC的側(cè)棱長為舊，o,q分別是上下底面的中心，，房為斜高,

HH,=2,上下底面面積比為1:4,求這個棱臺的上下底面邊長.

【解析】6,12；

7.3旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

知識點(diǎn)睛

1.圓柱、圓錐和圓臺:

圓柱：矩形繞其邊所在.直線旋轉(zhuǎn)周

圓錐：直角三角形繞其條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)周

形成史X）-

圓臺：直角梯形繞其垂直『底的腰所在直線旋轉(zhuǎn).周

柱

圓

錐

圓

臺

圓

____________平行于底面的截面都是網(wǎng)

T結(jié)構(gòu)性質(zhì)H軸截面分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形

名稱圓柱圓錐圓臺

s例2?！?1rl兀（4+々）/

S全2口（/+廠）7ir（/+r）兀（4+4）/+兀（42+片）

：?！ǎㄆ?代+片）

V冗產(chǎn)力（即nr2l）—nr2/?

3

表中/、人分別表示母線長、高，r表示圓柱、圓錐的底面半徑，八弓分別表示圓臺上、下底面半徑.

例：判斷下列命題的正誤：

①用一個平面去截一個圓柱，悔出的面一定是圓；（x）

②用一個平面去截圓錐，截出的面一定是三角形；（x）

84

經(jīng)典精講

考點(diǎn)7：旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)

【例7】(D★★用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上下底面半徑的比是1：4,截去的

圓錐的母線長是3,求圓臺的母線長.

⑵★?如果一個圓錐的底面半徑為3,側(cè)面積為18兀，那么此圓錐的母線與軸的夾角等

于;

⑶*★圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，軸截面的面積等于392cmZ,母線與底

面的夾角是45。，求這個圓臺的母線長.

【解析】⑴9.

(2)30°:

(3)1472.

【例8】⑴★★已知圓臺的上下底面半徑分別是2、5,且側(cè)面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺的

母線長.

⑵★?有一個軸截面是邊長為4的正方形的圓柱，將它的內(nèi)部挖去一個與它同底等高的圓錐，

求余下來的幾何體的表面積與體積.?C

⑶*★如圖，在四邊形中，ZZMB=90°,ZADC=135°,AB=5,

CD=26.,AD=2,求四邊形ABCD繞4)旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表\

面積及體積.I\

【解析】⑴絲4r?

7

(2)表面積為S=4(5+后)兀.體積為V=%兀.

3

(3)S=60兀+4應(yīng)兀；V=527i--=^^.

33

目標(biāo)班學(xué)案2

【拓3】如圖所示，己知等腰梯形498的上底4)=2cm,下底3c=10cm,底

角NABC=60。，現(xiàn)繞腰他旋轉(zhuǎn)一周，求所得的旋轉(zhuǎn)體的體積.

［解析】所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為248兀cm?.

知識點(diǎn)睛

2.球與球面:

1半圓繞其宜在所在宜線旋轉(zhuǎn)一周

,-------:形成方式I-------------------

，大圓：經(jīng)過球心的截面圓

球I——［相關(guān)概念H小圓：不過球心的截面圓

兩點(diǎn)間的球面距離：經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長

-｛結(jié)構(gòu)性質(zhì)H球的小圓的圓心與球心連線垂直小圓面

〈教師備案〉球面也可看做空間中到一個定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，球體可以看成到空間中一個

定點(diǎn)的距離小于等于定長的點(diǎn)的集合.

〈教師備案〉（1）緯線與緯度：赤道是一個大圓，它是0。緯線，其它緯線是由與赤道面平行的平面截球所

得到的小圓，某地的緯度就是經(jīng)過該點(diǎn)的球半徑與該半徑在赤道面上的正投影所成的角

的度數(shù).

圓o是赤道面，圓O'是緯線圈，

P點(diǎn)的緯度就等于NPQ4的度數(shù)，也等于NOPO的度數(shù).上廣卞廠一、

⑵經(jīng)線與經(jīng)度：經(jīng)線是地球表面上從北極到南極的半個大圓，在

同一條經(jīng)線上的點(diǎn)的經(jīng)度都相等，如圖P點(diǎn)的經(jīng)度與A點(diǎn)的經(jīng)*B

度相等，在地球上確立了一條經(jīng)線為本初子午線（0。經(jīng)線）.

任意點(diǎn)P的經(jīng)度就定義為經(jīng)過它的經(jīng)線與本初子午線在同一個緯線圈上的交點(diǎn)與該緯

線圈的圓心連線所成的角.（以后能證明，這樣的角必然相等，定義是合理的）如圖，如

果經(jīng)過8的經(jīng)線是本初子午線，則P點(diǎn)的經(jīng)度就等于NPOC的度數(shù)，也等于NAO3的

度數(shù).

〈教師備案〉（1）球面與球體是兩個不同的概念，要注意它們的區(qū)別與聯(lián)系.

⑵球面的概念可以用集合的觀點(diǎn)來描述.球面是由點(diǎn)組成的，球面上的點(diǎn)有什么共同的特

點(diǎn)呢？與定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)的集合（軌跡）叫球面.如果點(diǎn)到球心的距離小

于球的半徑，這樣的點(diǎn)在球的內(nèi)部，否則在外部.

⑶地球上的經(jīng)線的分布從本初子午線開始，往東往西分別是東經(jīng)與西經(jīng)，本初子午線既是

東經(jīng)0。線，又是西經(jīng)0。線，轉(zhuǎn)半圈后的東經(jīng)180°與西經(jīng)180°又重合成一條經(jīng)線，與本

初子午線合成一個大圓.

⑷如果球面上兩點(diǎn)的連線不是直徑，則經(jīng)過這兩點(diǎn)有且只有一個大圓，如果恰為直徑，則

可以作無數(shù)個大圓.

球的表面積和體積公式：5；.=4nR2,V=—TIR）.

3

〈教師備案〉（1）球的體積的推導(dǎo)方法.

由上圖可知，

裁到的每一個圓片的面積為兀/=7T（/?2-/?2）,每一個圓環(huán)的面積為兀斤-1th2,

124

由祖陶原理可知半球的體積V=兀/?2.氏—一兀代.R=一旅3從而球的體積為卜=一兀/?3.

333

86

⑵球的表面積公式推導(dǎo)

把球面任意分割為一些“小球面片”，它們的面積分別用△￡,△邑…表示,

則球的表面積為5=/\笠+/\52++△?+,皿.

以這些“小球面片”為底,球心為頂點(diǎn)的“小錐體”的體積的

和等于球的體積.而“小錐體’’的高",近似等于球半徑R,

底面積近似等于“小球面片”的面積，?‘[Ml''

所以匕小納二

而球的體積y=gR（Z\S|+Z\S2++△&+）=g/?S,

所以3TTR3=LRS,從而S=4?tR2.

33

經(jīng)典精講

〈教師備案〉新課標(biāo)對球面距離的要求不高，只需了解球面距離的定義，及簡單的球面距離的計算即可.

我們只在備選安排了一道題介紹球面距離，老師可以結(jié)合本班的情況選擇講解.

考點(diǎn)8：球的截面

【例9]⑴由已知半徑為10的球的兩個平行截面的周長分別為12兀和16兀，求這兩個截面間的距離.

⑵內(nèi)設(shè)M,N是球O的半徑OP上的兩點(diǎn)，且NP=MN=OM,分別過N,M,。作垂直于

OP的平面截球得三個圓，則這三個圓的面積之比為（）

A.3:5:6B.3:6:8C.5:7:9D.5:8:9

【解析】（1）2或14;

（2）D;

【備選】（D半徑為R的球面上有A,8兩點(diǎn)，已知45=/?,則A,3兩點(diǎn)間的球面距離為

⑵半徑為尺的球面上有4,8兩點(diǎn)，已知A,8兩點(diǎn)間的球面距離為[兀R,則4?=

2

【解析】（1）17rR;

3

(2)揚(yáng)?.

⑴判斷下列說法是否正確，并說明理由：

①四邊相等的四邊形是菱形；

②若四邊形的兩個對角都是直角，則這個四邊形是圓內(nèi)接四邊形.