高中數(shù)學(xué)7-5復(fù)數(shù)的三角表示（學(xué)案）

第。5講復(fù)數(shù)的三角表示

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.掌握復(fù)數(shù)的三角表示形式，能夠進(jìn)行復(fù)

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求理解復(fù)數(shù)的三角表示，接受復(fù)

數(shù)代數(shù)形式與三角形式的轉(zhuǎn)化，掌握復(fù)數(shù)

數(shù)三種形式的表達(dá)方式及其之間的關(guān)系，會(huì)用復(fù)數(shù)的三

的三種表達(dá)形式之間的關(guān)系.

角表示形式做復(fù)數(shù)的乘與除的運(yùn)算，理解復(fù)數(shù)三角表達(dá)

2.通過(guò)對(duì)復(fù)數(shù)的乘與除運(yùn)算的三角表示

形式的幾何意義及復(fù)數(shù)三角運(yùn)算的幾何意義，能進(jìn)行與

及幾何意義的理解，能進(jìn)行復(fù)數(shù)三角形式

復(fù)數(shù)相關(guān)的三角形式的運(yùn)算.

的相關(guān)運(yùn)算.

8K知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)

1.復(fù)數(shù)的輻角

以x軸的正半軸為始邊、向量0Z所在的射線為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角。

適合于0或＜2兀的輻角0的值，叫輻角的主值。記作：argz,即OWargzv27r.

2.復(fù)數(shù)的三角表達(dá)式

一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+加都可以表示成NcosG+isin。)的形式.其中，r是復(fù)數(shù)的

模；0是復(fù)數(shù)z=a+歷的輻角.r(cosO+isin。)叫做復(fù)數(shù)z=a+方的三角表示式，簡(jiǎn)稱三角形

式.為了與三角形式區(qū)分開(kāi)來(lái)〃+方叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡(jiǎn)稱代數(shù)形式.

注意：復(fù)數(shù)三角形式的特點(diǎn)

模非負(fù)，角相同，余弦前，加號(hào)連

3.兩個(gè)用三角形式表示的復(fù)數(shù)相等的充要條件：

兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們模與輻角的主值分別相等.

4.復(fù)數(shù)三角形式的乘法及其幾何意義

設(shè)Z|、z2的三角形式分別是：z}=r}(cos+zsin^),z2=r2(cos^2+zsin6,).

貝(Jz|-Z2=4G[COS(G+a)+isin(4+4)]

簡(jiǎn)記為：模數(shù)相乘，幅角相加.

幾何意義：把復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的向量0Z繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)Z。的一個(gè)輻角，長(zhǎng)度乘以z0的

模，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就是z?z0.

5.復(fù)數(shù)三角形式的除法及其幾何意義

設(shè)Z]、zz的三角形式分別是：Z]=4(以九耳+zsin^),z2=r2(cos02+ising).

則4+Z2=^[cos(a-%+詬近他-。2)]?

簡(jiǎn)記為：模數(shù)相除，幅角相減

幾何意義：把復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的向量0Z繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)Zo的一個(gè)輻角，長(zhǎng)度除以Z。的

模，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就是三.

Zo

【即學(xué)即練1】下列各式中已表示成三角形式的復(fù)數(shù)是().

A.\/5(cos/isi吟)B.A/5(COS/isin^)

C.0卜吟+icos^[D.-0卜os￡+isi吟)

【答案】B

【詳解】

復(fù)數(shù)的三角表示為：z=r(cos<z+isina),其中「20,B選項(xiàng)滿足.

故選：B.

【即學(xué)即練2]已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量為OZ(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，OZ與實(shí)軸正向的夾角為120。,

且復(fù)數(shù)z的模為2,則復(fù)數(shù)2為()

A.1+曲B.2

C.(-1,6)D.-1+5

【答案】D

【分析】

由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量與x軸正向夾角，及復(fù)數(shù)的模，應(yīng)用復(fù)數(shù)的三角表示寫出對(duì)應(yīng)坐標(biāo)，進(jìn)而寫

出復(fù)數(shù)z代數(shù)形式.

【詳解】

設(shè)復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則

x=|z|cosl200=2x(-1)=-1,y=|z|sinl200=2x*=6,

???復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-1,6),

z=—1+-V3Z.

故選：D.

【即學(xué)即練3】復(fù)數(shù)-sin30-zcos30的三角形式為()

A.sin30+isin30B.cos240+isin240

C.cos30+isin30D.sin240+zcos240

【答案】B

【分析】

利用誘導(dǎo)公式可得結(jié)果.

【詳解】

由誘導(dǎo)公式可知一sin30=-sin(90-60)=-cos60=cos(180+60)=cos240,

-cos30=-cos(90-60)=-sin60=sin(180+60)-sin240,

因此，-sin30-icos30=cos240+isin240.

故選：B.

【即學(xué)即練4】已知復(fù)數(shù)2+i和-3-i的輻角主值分別為a、夕，則tanQ+p)等于()

向

A.6B.-巨C.-1D.1

3

【答案】D

【分析】

根據(jù)題意，得到lana=；,tan/?=g,結(jié)合兩角和的正切公式，即可求解.

【詳解】

由題意，復(fù)數(shù)2+,?和-3-i的輻角主值分別為a,尸，

1II

eI八1ll…/八、tana+tan6?__3___,

則tanau7,tan/Ju7,所以tan(a+??)=---------------?=

231-tanatan\-LxL

~23

故選：D.

【即學(xué)即練5】.化下列復(fù)數(shù)為三角形式.

(1)-1+^z；

(2)l—i；

(3)2i；

(4)-1.

【答案】(1)2(cos*|;r+isin|■〃)；(2)V^cos;Tr+isin(乃)；(3)2(cosy+zsin^)；(4)

cosTr+isin兀.

【分析】

根據(jù)題中所給復(fù)數(shù)，先求得其模，以及福角正切，結(jié)合復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所屬的象限，

求得其輻角主值，得到結(jié)果.

【詳解】

(1)a=~\,<=6則)={(一1)2+(6)2=2,lan9=一6，

而對(duì)應(yīng)點(diǎn)M(—l,g)在第二象限，6的主值為:萬(wàn),

22

二?—1+百z=2(cos—^-4-zsin—.T).

(2)a=1,b=—\,WOr=^l2+(-l)2=72?

tan0=-1,

7

而對(duì)應(yīng)點(diǎn)Ml,7)在第四象限，。的主值為丁,

1—i=0(cos7-%+isin7—乃).

44

TTJTJT

(3)2i的模是2,輻角主值是萬(wàn)，故萬(wàn)=2(8$萬(wàn)+樂(lè)仙,).

(4)—1的模是1,角主值是兀，故一I=cos7r+isin7r.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式向三角形式的轉(zhuǎn)化，解題的關(guān)鍵是理解輻角

主值，以及復(fù)數(shù)三角形式的本質(zhì).

【即學(xué)即練6】計(jì)算:

c4..萬(wàn)J冗??4)

(1)8cos—+zsin—?2cos—+sin—：

I66I44「

22

(2)叫號(hào)+汴金川cos—萬(wàn)+isin—萬(wàn)

33

.\In..TT)

(3)(1+/)?cos-Hsin一：

I55廣

(4)2(cos120-Zsin120)。

【答案】⑴16kos卷%+isinQ⑵2c°s$+isin』

;(3)

I1212

94..9萬(wàn)

——4-zsm——

2020

(4)—(cos30°+zsin30°).

2

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算法則，結(jié)合兩角和、差的正余弦公式，逐一計(jì)算，即可

求得各題答案.

【詳解】

(1)原式=

71n.71.71..71冗.兀.冗、(717t\..(71)丫|

16cos—cos—+1cos—sin—+;sin—cos----sin—sm—=16cos—+—H-zsin一"F—=

I64646464jLV64J(64〃

16cos—^+/sin—

I1212

(2)原式=

=2cos—%+isin

I44JI33J

一4+isin—乃cos—萬(wàn)一isin一乃

33JI33

(72277272、

=2cos—;rcos—%-isin—;rcos—4+isin—JTCOS—4+sin—4sin—4

(43344343J

cos—/

=2=2

,U3JU3J1212)

(3)因?yàn)閘+i=

原式=

C71冗..11九\rz|冗71..7C71..7T71.71.7t

2cos—4-zsin—cos—Fzsin—=V2cos—cos—4-fsin—cos—+;sin—cos----sin—sm—

(44人55)(45544545

(4)-i=cos270°+isin2700，

2(cos1200-Zsinl20°)=2(cos240°+isin2400)

?百cos2700+isin270°(cos270°+isin270°)(cos240’一isin2400)

"式—2(cos240°+isin240")"2(cos2400+zsin240°)(cos2400-zsin240°)

=1(cos2700+/sin270°)(cos2400-zsin240°)

=；(cos270°cos24()-isin240cos270sin270cos240+sin270°sin240)

=1[cos(270°-240°)+/sin(270°-240°)]

=；(cos30+/sin30).

考法01

復(fù)數(shù)的三角表示：（1）判斷依據(jù)：三角形式的結(jié)構(gòu)特征：模非負(fù)，角相同，余弦前，加號(hào)連.

（2）變形步驟：首先確定復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限（此處可假定e為銳角），其次判斷是否要

變換三角函數(shù)名稱，最后確定輻角.此步驟可簡(jiǎn)稱為“定點(diǎn)一定名一定角

【典例1】復(fù)數(shù)2=-3t。53-心也（）的三角形式為（）

Bc.才31COS冗y+一ZSi冗ny

(67r..6九

D.31cos--zsin—

【答案】c

【分析】

結(jié)合復(fù)數(shù)的三角形式的概念可以直接求解.

【詳解】

因?yàn)殁?3,輻角主值為手所以z=_3"/嗚卜3卜與+，34

故選：C.

【典例2】求復(fù)數(shù)2tosg-isin胃的模與輻角.

【答案】答案見(jiàn)解析

【分析】

根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式得到21cos^-isin方）=2cos,^J+isin,m）］,得到答案.

【詳解】

，兀、兀.，兀、.兀

cos——=cos—,sin——=-sin—,

I3j3I3)3

由此可知，這個(gè)復(fù)數(shù)的模為2,輻角為-J2T+2E（々eZ）.

【典例3】求下列復(fù)數(shù)的模與輻角主值：

（1）-1+i

⑵-夜

-173.

（S）------------1

22

（4）-也+也i

22

【答案】

Q-JT

（1）模為夜，輻角主值為彳；（2）模為0,輻角主值為乃;

（3）模為]，輻角主值為三；（4）模為1,輻角主值為

【分析】

（1）直接求出模，根據(jù)其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可得輻角主值;

（2）直接求出模，根據(jù)其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可得輻角主值;

（3）直接求出模，根據(jù)其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可得輻角主值;

（4）直接求出模，根據(jù)其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可得輻角主值.

【解析】（1）|T+i|=J（_l）2+12=點(diǎn),其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（-L1）,輻角主值為充

（2）卜&卜血,其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為卜虛,0）,輻角主值為萬(wàn)

（3）V=1,其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為萬(wàn),-與，輻角主值為日

考+率=|4[+停]=1,其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為卜冬用，其輻角主值為華

(4)

考法02

復(fù)數(shù)的代數(shù)形工與三角形式的互化：

【典例4】將復(fù)數(shù)4cos['）+isin'化成代數(shù)形式，正確的是（）

A.4B.-4C.4/D.-4/

【答案】D

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)即可.

【詳解】4cos（-1）+isin=4[0+i（-l）]=-41,故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式的化簡(jiǎn)，只需計(jì)算對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值即可.

【典例5】復(fù)數(shù)-1+Gi的三角形式是（）

「J57r..54

B.21cos---Fisin—

(66

D.2cos^+zsin^

I66

【答案】A

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形公式z=r(cos6+zsin。)求解或利用定義直接求解即可.

【詳解】

解法一：設(shè)復(fù)數(shù)的三角形式為z=r(cos(9+isin6),則r="(T)]+(退了=2、tan(9=-石，可

取。=argz=等，從而復(fù)數(shù)-1+后的三角形式為2(cos-+ising).

解法二：_l+"=J(_l)2+(G)2x

7(-D2+(^)

L烏

22

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)的三角形式,屬于基礎(chǔ)題.

【典例6】把下列復(fù)數(shù)表示成三角形式，并畫出與它們對(duì)應(yīng)的向量.

(1)-1+后

(2)2-2i

(3)-立，

22

(4)3+4i

(6)-3

(7)2i

(8)-2i

【答案】答案見(jiàn)解析

【分析】將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的三角形式，再找到對(duì)應(yīng)的向量坐標(biāo)，畫出向量得到答案.

【解析】(1)-對(duì)應(yīng)向量為OA=(T,G).

對(duì)應(yīng)的向量為03=(2,-2).

(3)----i=cos—+isin—,對(duì)應(yīng)的向量為0C=

ij=5(cos^9+isin(p),其中cose=]34

(4)3+4i=5sin^=-,對(duì)應(yīng)的向量為

5

00=(3,4).

(5)2=2(cos0+isin0),對(duì)應(yīng)的向量為OE=(2,0).

(6)-3=3(cos7t+isinn),對(duì)應(yīng)向量為。戶=(-3,0).

(7)2i=2fcos—+isin—,對(duì)應(yīng)向量為OG=(0,2).

(8)—2i=2fcos—+isin—j,對(duì)應(yīng)向量為OH=(0,—2).

【典例7】在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)3-6i對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。，求與

所得的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)（用代數(shù)形式表示）.

【答案】-26i

【分析】

4=3-73i=273（cos3300+isin330°）,根據(jù)向量旋轉(zhuǎn)結(jié)合復(fù)數(shù)的三角運(yùn)算得到答案.

【詳解】

z,=3-y/3i=2y/3（cos330°+isin330°）,

對(duì)應(yīng)向量繞原點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。，

所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z1=26[85（330。-60。）+1$皿（330。-60。）]=一2杼.

考法03

復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運(yùn)算：

1.兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積還是一個(gè)復(fù)數(shù)，它的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，它的幅角等于各復(fù)數(shù)的幅

角的和。簡(jiǎn)單的說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)三角形式相乘的法則為：模數(shù)相乘，幅角相加.

2.兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商還是一個(gè)復(fù)數(shù)，它的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模，它的幅角等于

被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角。簡(jiǎn)單的說(shuō)切記兩個(gè)復(fù)數(shù)三角形式除法運(yùn)算法則：模數(shù)相除,

幅角相減.

【典例8】計(jì)算：

77i..7K兀71

(4)—4-isin—

101055

【答案】

(1)6i

(2)-3萬(wàn)

55G

(3)-+--------1

22

(4)

【分析】利用復(fù)數(shù)三角形式的乘除法法則運(yùn)算即可.

71..71

【解析】（1）原式=3x2x+isin=9cos—■i-ism—

22

37T7T=3后(cos^-+isin手)=-3V2i

⑵原式COS呼一+—

44

（3）原式

=5x(cos工+isin工]=5xj4+3]=9+述i

(33)[2222

...臺(tái)外>/ior(7萬(wàn)

(4)原式=—cos一

V2L(io

考法04

復(fù)數(shù)乘法幾何意義是解題關(guān)鍵.把復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量OZ繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)Z。的一個(gè)

輻角，長(zhǎng)度乘以z0的模，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就是z-z0.

復(fù)數(shù)除法幾何意義是解題關(guān)鍵.把復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的向量0Z繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)Z。的一個(gè)

輻角，長(zhǎng)度除以z°的模，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就是.

【典例9］如圖，向量0Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-1+i,把0Z繞點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)150,得到

oz\,求向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)（用代數(shù)形式表示）.

向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為

(-l+i)(cosl50+zsznl50)=(-l+i)-^y-+^-i=1一1i,

故答案為：史二1-史里i.

22

【典例10】在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛞来螢閆-Z2,Z3,。(其

中。是原點(diǎn))，已知Z1對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)4=1+杼.則Z、和Z&對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的乘積"3=.

【答案】-2石-2i

【詳解】設(shè)Z3對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z3,可得閆=聞=2，

7TTT

復(fù)平面上點(diǎn)Z1與X軸正半軸的夾角為?，則點(diǎn)Z3與X軸正半軸的夾角為Sr,

36

所以Z3=2^cos^+i-sin-^^=->/3+i,

所以Z34=N+i)(l+Gi)=_26_2i.

故答案為：—2>/3—2i.

【典例11】OZ對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)一1+i，將OZ按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120。后得到OZL求OZ，對(duì)應(yīng)復(fù)

數(shù)z.

【答案】a(cos*+isin*)

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角式，結(jié)合三角函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，直接計(jì)算即可得解.

【詳解】對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)一1+，的三角形式為夜(cos與+isin當(dāng))，

由復(fù)數(shù)三角形式法則旋轉(zhuǎn)后可得0Z'對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)Z為

四「cos(紅+包)+isin(紅+型)，向儂工zsin烏.

[4343J1212

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.復(fù)數(shù)sin40。-icos40。的輻角主值是()

A.-40°B.310°C.50°D.130°

【答案】B

【分析】

將復(fù)數(shù)寫成cos6?+isin(9(0<6?<360)即可求出所求復(fù)數(shù)的輻角.

【詳解】

復(fù)數(shù)sin40°-icos40°=cos310+isin310,所以該復(fù)數(shù)的輻角主值是310.

故選：B

2.已知a+》i(a,beR)的三角形式為r(cos6+isin。)，則-a+5的三角形式是().

A.r(cos6+isin。)B,r(cos(萬(wàn)-6)+isin(萬(wàn)一6))

C./"(cos(%+e)+isin(;r+e))D.r(cos(27一oo)+isin(2;r-e))

【答案】B

【分析】

根據(jù)三角形式的表達(dá)式知，-a+b\的三角形式是r(-cos6+isin。)，根據(jù)誘導(dǎo)公式判斷選項(xiàng)

符合的即可.

【詳解】

由題知，-a+b\的三角形式是r(—cosO+isin。),

結(jié)合誘導(dǎo)公式知，cos(乃-6)=-cose,sin(乃一，)=sin。,

故選：B

3..復(fù)數(shù)1—?^^—《門外白^^區(qū)兀》的三角形式是()

2sin^fcos^isin〃+兀]B.2sn^fco.sTl-0..Tl-0

A.+]--------bisin------

2122122

2sin-fcos^^4-isinD.2cos^cos71-0..71-0

c.------+1sin-------

2(22122

【答案】C

【分析】

根據(jù)余弦的二倍角公式以及誘導(dǎo)公式將復(fù)數(shù)的代數(shù)系數(shù)轉(zhuǎn)化為三角形式即可求解.

【詳解】

l-cos0-isin0=2sin2—-2isin—cos—

222

心fsin^-icos^兀一夕..n-0

=2si=2sin-[cos---------1sin-------

2I22J2l22

=2si/cosTl-0..

------4-1sm

22

=2sin^fcos0-n

--------Fisin

2

故選：C.

4.設(shè)Z1=-1+Gi,，貝IJargZ2=()

A.%115

BC.——乃D.—71

6-r63

【答案】B

【分析】

首先求z2,再求tan。，根據(jù)對(duì)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限，求復(fù)數(shù)的輔角主值.

【詳解】

2

z2=-z,=-!-（-l+M=-l-^i,復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是李］,位于第三象限，且

2414^）22t22J

tan0=-=73,所以argZ2=*.

a3

故選：B

2

5.把復(fù)數(shù)3—Gi對(duì)應(yīng)向量按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)彳加，所得向量對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為（）

A.B.一2乖,i

C.—3一乖）iD.3—豆i

【答案】C

【分析】

將復(fù)數(shù)3-后化成三角形式為z=26［cos（孚）+isin（坐）］,從而得到其對(duì)應(yīng)向量繞原點(diǎn)O

66

按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)手后，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

【詳解】

因?yàn)?-6i=26［cos（史）+isin（U）］,

66

其對(duì)應(yīng)向量繞原點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)與后，所得向量對(duì)?應(yīng)的復(fù)數(shù)為：

273［COS（---）+Jsin（--—）］=-3-&

6363

故選：C.

【點(diǎn)睛】

復(fù)數(shù)乘法的幾何意義：復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合是一一對(duì)應(yīng)的，復(fù)數(shù)集C

與復(fù)平面內(nèi)所有以原點(diǎn)。為起點(diǎn)的向量組成的集合也是一一對(duì)應(yīng)的.在用到復(fù)數(shù)的三角表

示式時(shí)，要先算出復(fù)數(shù)的模和輻角.求解時(shí)注意向量旋轉(zhuǎn)的方向.

6.如果非零復(fù)數(shù)有一個(gè)輻角為-丁，那么該復(fù)數(shù)的（）

A.輻角唯一B.輻角主值唯一

C.輻角主值為一停D.輻角主值為二

【答案】B

【分析】

由給出的非。復(fù)數(shù)有一個(gè)輻角為-子74，結(jié)合輻角主值的概念得答案.

【詳解】

解：輻角主值的范圍是［0，2"），任何一個(gè)復(fù)數(shù)都有唯一的輻角主值，

二非0復(fù)數(shù)有一個(gè)輻角為一尊，則該復(fù)數(shù)有唯一的一個(gè)輻角主值

44

故選：B.

已知復(fù)數(shù)的輻角為挈，的輻角為則復(fù)數(shù)等于（

7.z-1z+1z)

o3

1x/3.B.」+包D.亭苧

AA.-+——i

2222

【答案】B

【分析】

設(shè)z=a+抗（a疝eR）,根據(jù)輻角的定義得到方程組，解得即可;

【詳解】

解：^,z=a+bi(a,beR),

因?yàn)閦-l=a-l+bi的輻角為?所以tan*￡=q

因?yàn)閆+1S1+歷的輻角%,所以若=靠=6

1

"516

解得r,所以z=一一+—1

,V322

b=——

2

故選：B

71..71TTIT\

8.已知復(fù)數(shù)zi=cos—+/sin—cos-+zsin-,則ziZ2的代數(shù)形式是()

1212oo)

冗..717T..7t

A.—4-zsin—B.——+zsin——

441212

C.幣>—6iD.石+用

【答案】D

【分析】

利用復(fù)數(shù)三角形式的乘法法則，計(jì)算即可得解.

【詳解】

n..7T

—+ZS1cos—+zsin—

1266

=閑cos(3+芻+isin?■+芻］

12612o

=>/6(cos-4-/sin—)

44

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)三角形式的乘法法則，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.

9.設(shè)zi=l—2i,Z2=l+i,Z3=-l+3i則argzi+argZ2+argZ3=()

71

A.—B.,

2

171

C.符D.—

2

【答案】C

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)輻角主值的范圍，結(jié)合復(fù)數(shù)的性質(zhì)，先求Z「Z2-Z3,從而求得其輻角主值，進(jìn)而求得

結(jié)果.

【詳解】

Vzi-Z2-Z3=(l—2/)(1+/)(—1+30

=(3-0(-1+30=106

argzi+argZ2+argZ3=y+247r,kRZ.

?；argzie(耳,2乃)，argz2G(0,argz.iE'

/.argz?+argzj+argz?e(2》,與).

argz?+argZ2+argZ3=彗.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有多個(gè)復(fù)數(shù)輻角主值和的求解，屬于簡(jiǎn)單題

目.

10.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=a+Z?i(aeR,6eR)對(duì)應(yīng)向量oz(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，設(shè)|oz|=r,以

射線Ox為始邊，OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為。，則z=r(cos，+isin。)，法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)

棣莫弗定理:%=a(cos，i+isinq),z2=^(cos(^+/sin^),則

4z?=依[cos(q+名)+isin(a+幻],由棣莫弗定理導(dǎo)出了復(fù)數(shù)乘方公式：

z"=[r(cos0+isin0)]"=r"(cosnd+isinnO'),則(-1+Gi)=()

A.1024-1045/3?B.-1024+1024>/3z

C.512-512eD.-512+512后

【答案】D

【分析】

將復(fù)數(shù)化為4=/;(cosa+isina)的形式，再利用棣莫弗定理解得答案.

【詳解】

解：根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式：zn=[r(cos0+isin0)],，=rn(cosnO+/sinnd),得

(-l+V3z),0=2,0

=1024fcos—+/sin—V1024f--+—Z|=-512+512^.

I33)I22J

故選：D.

H.已知復(fù)數(shù)z=a+Ai可以寫成z=|z|(cos6+isin。)，這種形式稱為復(fù)數(shù)的三角式，其中。叫

復(fù)數(shù)z的輻角，。目0,2萬(wàn)).若復(fù)數(shù)z=l+Gi,其共扼復(fù)數(shù)為三，則下列說(shuō)法①?gòu)?fù)數(shù)z的虛

部為后；②|z「=|司2=z2;③Z與彳在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱；④復(fù)數(shù)Z的輻角為?；

其中正確的命題個(gè)數(shù)為()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】

對(duì)于①，z=l+gi的實(shí)部為1,虛部為6；對(duì)于②，宜接計(jì)算判斷即可；對(duì)于③，由點(diǎn)的

對(duì)稱關(guān)系判斷即可；對(duì)于④，由輻角的定義求解即可

【詳解】

解：對(duì)于①，復(fù)數(shù)z=l+也，?的虛部為世，所以①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，因?yàn)閦=l+后,所以5=1-/,所以|z「=|司2=2,

22=(1+后)2=1+2后+(后＞=-2+2后,所以,=|司2Hz2,所以②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，2=1+6,?和1=1-拘在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為(1,3),(1,-0)，兩點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)

稱，所以③正確；

對(duì)于④，z=l+Gi=2(1+且i)=2(cosg+ising),所以復(fù)數(shù)z的輻角為g,所以④正確,

22333

故選：B

12.任何一個(gè)復(fù)數(shù)2=。+為(其中。，beR,i為虛數(shù)單位)都可以表示成Z=r(cos6+isin，)

(其中rNO,0eR)的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式.法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：

[r(cos^+zsin0)J=r"(cosn0+/sinn61)(/jeZ),我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理.由棣莫弗定

理可知，“〃為偶數(shù)”是“復(fù)數(shù)(cosg+isi吟)(〃eZ)為實(shí)數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意得到sin半=0,故〃=23ZeZ,即可判斷.

【詳解】

illcos—4-zsin—=cos——4-zsm——為實(shí)數(shù)，

{22)22

得sin—=0,

故二-=攵乃，keZ,

2

即〃=2左，keZ,

故”為偶數(shù)是"復(fù)數(shù)kos^+isin])

(〃eZ)為實(shí)數(shù)”的充要條件.

故選：C.

13.4(cos^+isin^-)4-2^cosy+zsiny^=()

A.1+收B.1-收C.-l+6iD.-1-后

【答案】C

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式的除法法則，進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

什??x(九,,乃、

4(cos1+1sin4)+n2[cos1+1sin§J

=2cos(九一q)+isin]萬(wàn)一?

/24

=2cos-----Fzsin

I3

=-1+>/3i

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形式的除法法則，屬基礎(chǔ)題.

14.4(cos60°+isin60°)x3(cos150°+zsin150°)=()

A.6K+6iB.6A/3-6ZC.-6石+6iD.-6石-6i

【答案】D

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則，進(jìn)行整理化簡(jiǎn)即可.

【詳解】

4(cos600+zsin600)x3(cosl500+zsinl500)

=12[cos(60°+150°)+1sin(60°+150°)]

=12(cos210°+/sin2100)

=-65/3-6/

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的三角形式的乘法，屬基礎(chǔ)題.

15.1(cos30°+?sin30°)x2(cos60°+/sin60°)x3(cos45°+?sin45°)=()

.372,372.R3>/23>/2.「30,3&.n3&3夜.

22222222

【答案】C

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式乘法的運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

1(cos30°+/sin30°)x2(cos60°+isin60°)x3(cos45°+zsin45°)

=；x2x3[cos(30°+60°+45°)+zsin(30°+60°+45°)]

=3(cos1350+zsin1350)

=3產(chǎn)+烏]

I22J

3y/23&.

=--1--1.

22

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法法則，屬基礎(chǔ)題.

題組B能力提升練

1.設(shè)復(fù)數(shù)4=2$m。+江。$4?<。<￡)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)向量04，將向量04繞原點(diǎn)。按

順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn);?后得到向量OZ2,OZ2對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)Z2=r(cose+isine),則tane=()

2tan6+1門2tan。一1-1、1

A.------------B.------------C.------------D.------------

2tan0-12tan0+l2tan0+12tan0-1

【答案】A

【分析】

先把豆數(shù)化為三角形式，再根據(jù)題中的條件求出復(fù)數(shù)Z2,利用復(fù)數(shù)相等的條件得到sin。和

cos。的值，求出tan。

【詳解】

因?yàn)?>/4sin2^+cos20=Vl+3sin23,

2sin。icos?、

所以zyJl+Bsil?。廣=+—,

vl+3sin20vl+3sin20)

2sin。.ocos0八

設(shè)cos'=Vl+3sin2(9'S，nJl+3sin*'《咤,

COS。

則tanP=

2sin6'

=Vl+3sin20cos(萬(wàn)一弓)+isin1/一

即r=Jl+3sin2。，cos=cos*

sin

5萬(wàn)

故tan夕=—tan+￡j=tan[?+/?

[+cos。

_1+tan/?_2sin0_2tan0+l

1-tan]cos42tan^-l

2sin。

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算，較難.解答時(shí)要注意將4、％?化為三角形式然

后再計(jì)算.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=l,貝lj|z—4—3i|的最大值為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】

設(shè)z=8s6+sin。"，根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)運(yùn)算和三角恒等變換的知識(shí)可得到

|z-4-3i|=也6-IOsin(6+e),由此確定最大值.

【詳解】

由|z|=l可設(shè):z=cos6+sin"i,z-4-3i=(cos。-4)+(sin6-3)i,

|z-4-3f|=J(cos4-4)2+($山6-3)-=Jcos24+sin。：一(6sind+8cos，)+25

="26-10sin(6+e)(其中tane=1),

.?.當(dāng)sin('+0)=-1時(shí)，|z-4-3/|nm=J26+10=6.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)最值的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值的求解問(wèn)題.

3.已知i為虛數(shù)單位,若4={(cosa+isinq),z2=A;(cos6>,+isin(92),…，

z,=/(cos。+isin。),則z,…z“=44[cos(q+名+…+q)+isin(q+2+…+4).特別

地，如果Z|=Z2=i=z“=r(cos6+isin。),那么[r(cos6+isin。)]"=/'(cos〃e+isin〃。)，這

就是法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫佛(16677754年)創(chuàng)立的棣莫佛定理.根據(jù)上述公式，可判斷下列命題正

確的是()

A.^z=cos—+isin—,則/=-■-+—i

6622

B.若zucosq+isinq,則z=l+i

77r7乃5乃STT

C.若Z|=2(cos——+isin——),z2=3(cos--+isin—),則平2=-6+6]

D.若Z[=3(cos--isin-),z,=4(cos—+isin—)則平2=6+6i

121244

【答案】A

【分析】

A.z"=cos竺+ising乃—i,所以該選項(xiàng)正確；

6622

B.z5=cos"+isin)=一1,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C.z—=6(cos乃+isin;r)=-6,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤;

D.z}z2=12(cosU萬(wàn)+isinU乃)=6G+6i.所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.

66

【詳解】

A.若z=cos^+isin工，則z“=cos"+isin34=一'+立i,所以該選項(xiàng)正確；

666622

TT冗

B.若2=85《+15E不，則/=COS7T+isin"=一1,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

7乃5乃5乃

C.若Z[=2(cos——+isin——),z=3(cos—+isin—),則ZR?=6(cos)+isin乃)=-6,所以

121291212

該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.z.=3(cos-i-jsin,z=4(cos—+isin—),則

1212944

平2=12(cosU〃+isinU/r)=6G+6i.所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.

66

故選：A

4.設(shè)復(fù)數(shù)Z|=2sine+icos<(<9<：|在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)向量，將向量04繞原點(diǎn)。按

順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)手后得到向量0Z?,0Z2對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)Z2=r(cos/+isin9),則tane=()

2tan0+12tan0-1-1-1

A.------------B.------------C.------------D.------------

2tan0-12tan04-12tan8+12tan0-1

【答案】A

【分析】

先把復(fù)數(shù)Z|化為三角形式，再根據(jù)題中的條件求出復(fù)數(shù)Z2,利用復(fù)數(shù)相等的條件得到sin(P和

cos。的值，求出tang.

【詳解】

因?yàn)閨zj=，4sin2e+cos?0=Vl+3sin20,

\

b”n2sin。icos。

所以Z|=S+3