18直線與方程專題復(fù)習(xí)講義高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題講義（教師版）

目錄直線與方程 1【課前診斷】 1知識點(diǎn)一：直線的傾斜角與斜率 3【典型例題】 5考點(diǎn)一：直線的傾斜角 5考點(diǎn)二：直線的傾斜角直接求取 5考點(diǎn)三：直線傾斜角的含參類型 6知識點(diǎn)二：直線的方程 8【典型例題】 11考點(diǎn)一：直線的點(diǎn)斜式方程 11方法總結(jié)： 12考點(diǎn)二：直線的斜截式方程 13考點(diǎn)三：直線的兩點(diǎn)式方程 14考點(diǎn)四：直線的截距式方程 14方法總結(jié)： 15考點(diǎn)五：直線的一般式方程 17方法總結(jié)： 18【小試牛刀】 19【鞏固提高】 21

直線與方程【課前診斷】1.下列說法中，正確的是( )A．直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanαB．直線的斜率為tanα，則此直線的傾斜角為αC．若直線的傾斜角為α，則sinα＞0D．任意直線都有傾斜角α，且α≠90°時(shí)，斜率為tanα解析：對于A，當(dāng)α＝90°時(shí)，直線的斜率不存在，故不正確；對于B，雖然直線的斜率為tanα，但只有0°≤α＜180°時(shí)，α才是此直線的傾斜角，故不正確；對于C，當(dāng)直線平行于x軸時(shí)，α＝0°，sinα＝0，故C不正確，故選D.【答案】D2.若直線l的向上方向與y軸的正方向成30°角，則直線l的傾斜角為( )A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°【答案】D.解析：如圖，直線l有兩種情況，故l的傾斜角為60°或120°.3.設(shè)直線l過原點(diǎn)，其傾斜角為α，將直線l繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到直線l1，則直線l1的傾斜角為( )A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．當(dāng)0°≤α＜135°時(shí)為α＋45°，當(dāng)135°≤α＜180°時(shí)為α－135°解析：選D當(dāng)0°≤α＜135°時(shí)，l1的傾斜角是α＋45°.當(dāng)135°≤α＜180°時(shí)，結(jié)合圖形和傾斜角的概念，即可得到l1的傾斜角為α－135°，故應(yīng)選D.

知識點(diǎn)一：直線的傾斜角與斜率1：直線的傾斜角1.定義：當(dāng)直線與軸相交時(shí)，我們?nèi)≥S作為基準(zhǔn)，軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線的傾斜角．一條直線與軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為。2.傾斜角取值范圍：直線的傾斜角的取值范圍是.3．傾斜角與直線形狀的關(guān)系傾斜角直線【理解】(1)傾斜角定義中含有三個(gè)條件：①軸正向；②直線向上的方向；③小于的非負(fù)角．(2)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來看，直線的傾斜角是由軸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時(shí)所成的角．(3)傾斜角是一個(gè)幾何概念，它直觀地描述且表現(xiàn)了直線對軸的傾斜程度．(4)平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等；傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等.

2：直線的斜率1．斜率的定義：一條直線的傾斜角的正切值值叫做這條直線的斜率．常用小寫字母表示，即.2．斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的斜率公式為.當(dāng)時(shí)，直線沒有斜率．3．斜率作用：用實(shí)數(shù)反映了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線的傾斜程度。【理解】1．傾斜角與斜率的關(guān)系(1)直線都有傾斜角，但并不是所有的直線都有斜率．當(dāng)傾斜角是時(shí)，直線的斜率不存在，此時(shí)，直線垂直于軸(平行于軸或與軸重合)．(2)直線的斜率也反映了直線相對于軸的正方向的傾斜程度．當(dāng)時(shí)，斜率越大，直線的傾斜程度越大；當(dāng)時(shí)，斜率越大，直線的傾斜程度也越大．2．斜率公式(1)直線的斜率與兩點(diǎn)的順序無關(guān)，即兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)在公式中的次序可以同時(shí)調(diào)換，就是說，如果分子是，分母必須是；反過來，如果分子是，分母必須是，即.(2)用斜率公式時(shí)要一看，二用，三求值．一看，就是看所給兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在，若不相等，則進(jìn)行第二步；二用，就是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入斜率公式；三求值，就是計(jì)算斜率的值，尤其是點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)用斜率公式時(shí)要對參數(shù)進(jìn)行討論．

【典型例題】考點(diǎn)一：直線的傾斜角例1.下列說法中，正確的是( )A．直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanαB．直線的斜率為tanα，則此直線的傾斜角為αC．若直線的傾斜角為α，則sinα＞0D．任意直線都有傾斜角α，且α≠90°時(shí)，斜率為tanα解析：對于A，當(dāng)α＝90°時(shí)，直線的斜率不存在，故不正確；對于B，雖然直線的斜率為tanα，但只有0°≤α＜180°時(shí)，α才是此直線的傾斜角，故不正確；對于C，當(dāng)直線平行于x軸時(shí)，α＝0°，sinα＝0，故C不正確，故選D.【答案】D考點(diǎn)二：直線的傾斜角直接求取例2.若直線l的向上方向與y軸的正方向成30°角，則直線l的傾斜角為( )A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°【答案】D.解析：如圖，直線l有兩種情況，故l的傾斜角為60°或120°.例3.設(shè)直線l過原點(diǎn)，其傾斜角為α，將直線l繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到直線l1，則直線l1的傾斜角為( )A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．當(dāng)0°≤α＜135°時(shí)為α＋45°，當(dāng)135°≤α＜180°時(shí)為α－135°解析：選D當(dāng)0°≤α＜135°時(shí)，l1的傾斜角是α＋45°.當(dāng)135°≤α＜180°時(shí)，結(jié)合圖形和傾斜角的概念，即可得到l1的傾斜角為α－135°，故應(yīng)選D.例4.若直線過點(diǎn)(1,2)，(4，2＋eq\r(3))，則此直線的傾斜角是( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選A設(shè)直線的傾斜角為α，直線斜率k＝eq\f(2＋\r(3)－2,4－1)＝eq\f(\r(3),3)，∴tanα＝eq\f(\r(3),3).又∵0°≤α＜180°，∴α＝30°.考點(diǎn)三：直線傾斜角的含參類型例5.(1)已知過兩點(diǎn)A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角為135°，則y＝________；(2)過點(diǎn)P(－2，m)，Q(m,4)的直線的斜率為1，則m的值為________；(3)已知過A(3,1)，B(m，－2)的直線的斜率為1，則m的值為________．解析：(1)直線AB的斜率k＝tan135°＝－1，又k＝eq\f(－3－y,2－4)，由eq\f(－3－y,2－4)＝－1，得y＝－5.(2)由斜率公式k＝eq\f(4－m,m＋2)＝1，得m＝1.(3)當(dāng)m＝3時(shí)，直線AB平行于y軸，斜率不存在．當(dāng)m≠3時(shí)，k＝eq\f(－2－1,m－3)＝－eq\f(3,m－3)＝1，解得m＝0.例6.過兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，求的值.解析：直線的斜率由解得或當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，是同一個(gè)點(diǎn)，不符合條件.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，符合條件.所以例7.直線(1－a2)x＋y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)π))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π，π)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3,4)π))解析：直線的斜率k＝－(1－a2)＝a2－1，∵a2≥0，∴k＝a2－1≥－1.由傾斜角和斜率的關(guān)系(如圖所示),該直線傾斜角的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π，π)).故選C.

知識點(diǎn)二：直線的方程1：直線的點(diǎn)斜式方程1.定義：直線過定點(diǎn)，斜率為，則把方程叫做直線的點(diǎn)斜式方程，簡稱點(diǎn)斜式．2.說明：如圖所示，過定點(diǎn)，傾斜角是的直線沒有點(diǎn)斜式，其方程為,或.關(guān)于點(diǎn)斜式的幾點(diǎn)說明：(1)直線的點(diǎn)斜式方程的前提條件是：①已知一點(diǎn)和斜率；②斜率必須存在．只有這兩個(gè)條件都具備，才可以寫出點(diǎn)斜式方程．(2)方程與方程不是等價(jià)的，前者是整條直線，后者表示去掉點(diǎn)的一條直線．(3)當(dāng)取任意實(shí)數(shù)時(shí)，方程表示恒過定點(diǎn)的無數(shù)條直線．2：直線的斜截式方程1.定義：如圖所示，直線的斜率為，且與軸的交點(diǎn)為，則方程叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式．2.說明：一條直線與軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做直線在軸上的截距．傾斜角是直角的直線沒有斜截式方程．【理解】斜截式與一次函數(shù)的解析式相同，都是的形式，但有區(qū)別，當(dāng)k≠0時(shí)，即為一次函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，不是一次函數(shù)，一次函數(shù)必是一條直線的斜截式方程．截距不是距離，可正、可負(fù)也可為零．3：直線的兩點(diǎn)式方程經(jīng)過兩點(diǎn)，且的直線方程，叫做直線的兩點(diǎn)式方程。4：直線的截距式方程直線與軸交點(diǎn)；與軸交點(diǎn)，其中，則得直線方程，叫做直線的截距式方程。5：直線的一般式方程1．直線與二元一次方程的關(guān)系(1)在平面直角坐標(biāo)系中，對于任何一條直線，都可以用一個(gè)關(guān)于，的二元一次方程表示．(2)每個(gè)關(guān)于，的二元一次方程都表示一條直線．2．直線的一般式方程的定義我們把關(guān)于，的二元一次方程(其中，不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式．

【理解】1．求直線的一般式方程的策略(1)當(dāng)時(shí)，方程可化為，只需求，的值；若，則方程化為，只需確定，的值．因此，只要給出兩個(gè)條件，就可以求出直線方程．(2)在求直線方程時(shí)，設(shè)一般式方程有時(shí)并不簡單，常用的還是根據(jù)給定條件選用四種特殊形式之一求方程，然后可以轉(zhuǎn)化為一般式．2．直線的一般式轉(zhuǎn)化為其他形式的步驟(1)一般式化為斜截式的步驟①移項(xiàng)得；②當(dāng)時(shí)，得斜截式：.(2)一般式化為截距式的步驟①把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，得；②當(dāng)時(shí)，方程兩邊同除以，得；③化為截距式：.由于直線方程的斜截式和截距式是唯一的，而兩點(diǎn)式和點(diǎn)斜式不唯一，因此，通常情況下，一般式不化為兩點(diǎn)式和點(diǎn)斜式．

【典型例題】考點(diǎn)一：直線的點(diǎn)斜式方程例1.(1)經(jīng)過點(diǎn)(－5,2)且平行于y軸的直線方程為________．(2)直線y＝x＋1繞著其上一點(diǎn)P(3,4)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得直線l，則直線l的點(diǎn)斜式方程為________．(3)求過點(diǎn)P(1,2)且與直線y＝2x＋1平行的直線方程為________．解析：(1)∵直線平行于y軸，∴直線不存在斜率，∴方程為x＝－5.(2)直線y＝x＋1的斜率k＝1，所以傾斜角為45°.由題意知，直線l的傾斜角為135°，所以直線l的斜率k′＝tan135°＝－1，又點(diǎn)P(3,4)在直線l上，由點(diǎn)斜式方程知，直線l的方程為y－4＝－(x－3)．(3)由題意知，所求直線的斜率為2，且過點(diǎn)P(1,2)，∴直線方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.例2.從原點(diǎn)O向直線作垂線，垂足為點(diǎn)，則直線的方程為.【答案】例3.求證：不論為何值時(shí)，直線總過第二象限．證明法一直線l的方程可化為y－3＝(m－1)(x＋2)，∴直線l過定點(diǎn)(－2,3)，由于點(diǎn)(－2,3)在第二象限，故直線l總過第二象限．法二直線l的方程可化為m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,x＋y－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝3.))∴無論m取何值，直線l總經(jīng)過點(diǎn)(－2,3)．∵點(diǎn)(－2,3)在第二象限，∴直線l總過第二象限．

方法總結(jié)：已知直線上一點(diǎn)的坐標(biāo)以及直線斜率或已知直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，均可用直線方程的點(diǎn)斜式表示，直線方程的點(diǎn)斜式，應(yīng)在直線斜率存在的條件下使用．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為.

考點(diǎn)二：直線的斜截式方程例1.(1)傾斜角為150°，在y軸上的截距是－3的直線的斜截式方程為________．(2)已知直線l1的方程為y＝－2x＋3，l2的方程為y＝4x－2，直線l與l1平行且與l2在y軸上的截距相同，求直線l的方程．解析：(1)∵傾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3)，由斜截式可得所求的直線方程為y＝－eq\f(\r(3),3)x－3.(2)由斜截式方程知直線l1的斜率k1＝－2，又∵l∥l1，∴l(xiāng)的斜率k＝k1＝－2.由題意知l2在y軸上的截距為－2，∴l(xiāng)在y軸上的截距b＝－2，由斜截式可得直線l的方程為y＝－2x－2.例2.根據(jù)條件寫出下列直線的斜截式方程．(1)斜率為2，在軸上的截距是5；(2)傾斜角為，在軸上的截距是－2；(3)傾斜角為，與軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3.解(1)由直線方程的斜截式方程可知，所求直線方程為y＝2x＋5.(2)∵傾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3).由斜截式可得方程為y＝－eq\f(\r(3),3)x－2.(3)∵直線的傾斜角為60°，∴其斜率k＝tan60°＝eq\r(3)，∵直線與y軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3，∴直線在y軸上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直線方程為y＝eq\r(3)x＋3或y＝eq\r(3)x－3.

考點(diǎn)三：直線的兩點(diǎn)式方程例1.(1)若直線l經(jīng)過點(diǎn)A(2，－1)，B(2,7)，則直線l的方程為________．(2)若點(diǎn)P(3，m)在過點(diǎn)A(2，－1)，B(－3,4)的直線上，則m＝________.解析：(1)由于點(diǎn)A與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相等，所以直線l沒有兩點(diǎn)式方程，所求的直線方程為x＝2.(2)由兩點(diǎn)式方程得，過A，B兩點(diǎn)的直線方程為eq\f(y－－1,4－－1)＝eq\f(x－2,－3－2)，即x＋y－1＝0.又點(diǎn)P(3，m)在直線AB上，所以3＋m－1＝0，得m＝－2.例2.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，求邊所在直線的方程，以及該邊上中線所在的直線方程.解析：如圖所示，過，的兩點(diǎn)式方程為整理得.這就是邊所在直線的方程.邊上的中線是頂點(diǎn)與邊中點(diǎn)所連線段，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得的坐標(biāo)為，過和的直線方程易得：.考點(diǎn)四：直線的截距式方程1．截距相等問題例1.求過點(diǎn)A(4,2)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線l的方程．解析：(1)當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，它在x軸、y軸上截距都是0，滿足題意，此時(shí)直線斜率為eq\f(1,2)，所以直線方程為y＝eq\f(1,2)x.(2)當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，由題意可設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，又過A(4,2)，∴a＝6，∴方程為x＋y－6＝0，綜上，直線方程為y＝eq\f(1,2)x或x＋y－6＝0.2．截距和為零問題例2.求過點(diǎn)A(4,2)且在兩坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線l的方程．解析：(1)當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，它在x軸、y軸上截距都是0，滿足題意，此時(shí)直線斜率為eq\f(1,2)，所以直線方程為y＝eq\f(1,2)x.(2)當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，由題意可設(shè)直線方程為eq\f(x,a)－eq\f(y,a)＝1.又過A(4,2)，∴eq\f(4－2,a)＝1，即a＝2，∴x－y＝2.綜上，直線l的方程為y＝eq\f(1,2)x或x－y＝2.3．截距成倍數(shù)問題例3.求過點(diǎn)A(4,2)且在x軸上截距是在y軸上截距的3倍，求直線l的方程．解析：(1)同上(2)當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，由題意可設(shè)直線方程為eq\f(x,3a)＋eq\f(y,a)＝1，又直線過A(4,2)，所以eq\f(4,3a)＋eq\f(2,a)＝1，解得a＝eq\f(10,3)，方程為x＋3y－10＝0.綜上，所求直線方程為y＝eq\f(1,2)x或x＋3y－10＝0.4．截距和是定數(shù)問題例4.求過點(diǎn)A(4,2)且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為12的直線l的方程．解析：設(shè)直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，由題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(2,b)＝1，,a＋b＝12.))∴4b＋2a＝ab，即4(12－a)＋2a＝a(12－a)，∴a2－14a＋48＝0，解得a＝6或a＝8.因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝6，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝8，,b＝4.))∴所求直線l的方程為x＋y－6＝0或x＋2y－8＝0.方法總結(jié)：1.求直線的兩點(diǎn)式方程的策略以及注意點(diǎn)(1)當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過這兩點(diǎn)的直線方程時(shí)，首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件：兩點(diǎn)的連線不平行于坐標(biāo)軸，若滿足，則考慮用兩點(diǎn)式求方程．(2)由于減法的順序性，一般用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)常會將字母或數(shù)字的順序錯(cuò)位而導(dǎo)致錯(cuò)誤．在記憶和使用兩點(diǎn)式方程時(shí)，必須注意坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系．2.用截距式方程解決問題的優(yōu)點(diǎn)及注意事項(xiàng)(1)由截距式方程可直接確定直線與軸和軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，因此用截距式畫直線比較方便．(2)在解決與截距有關(guān)或直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積、周長等問題時(shí)，經(jīng)常使用截距式．(3)但當(dāng)直線與坐標(biāo)軸平行時(shí)，有一個(gè)截距不存在；當(dāng)直線通過原點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)截距均為零．在這兩種情況下都不能用截距式，故解決問題過程中要注意分類討論．

考點(diǎn)五：直線的一般式方程例1.根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式．(1)斜率是，經(jīng)過點(diǎn)；(2)經(jīng)過點(diǎn)，平行于軸；(3)在軸和軸上的截距分別是；(4)經(jīng)過兩點(diǎn)．解析：選擇合適的直線方程形式．(1)由點(diǎn)斜式得y－(－2)＝－eq\f(1,2)(x－8)，即x＋2y－4＝0.(2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0.(3)由截距式得eq\f(x,\f(3,2))＋eq\f(y,－3)＝1，即2x－y－3＝0.(4)由兩點(diǎn)式得eq\f(y－(－2),－4－(－2))＝eq\f(x－3,5－3)，即x＋y－1＝0.例2.(1)求與直線3x＋4y＋1＝0平行且過點(diǎn)(1,2)的直線l的方程；(2)求經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)且與直線2x＋y－10＝0垂直的直線l的方程．解：(1)法一：設(shè)直線l的斜率為k，∵l與直線3x＋4y＋1＝0平行，∴k＝－eq\f(3,4).又∵l經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，可得所求直線方程為y－2＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y－11＝0.法二：設(shè)與直線3x＋4y＋1＝0平行的直線l的方程為3x＋4y＋m＝0.∵l經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11.∴所求直線方程為3x＋4y－11＝0.(2)法一：設(shè)直線l的斜率為k.∵直線l與直線2x＋y－10＝0垂直，∴k·(－2)＝－1，∴k＝eq\f(1,2).又∵l經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)，∴所求直線l的方程為y－1＝eq\f(1,2)(x－2)，即x－2y＝0.法二：設(shè)與直線2x＋y－10＝0垂直的直線方程為x－2y＋m＝0.∵直線l經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)，∴2－2×1＋m＝0，∴m＝0.∴所求直線l的方程為x－2y＝0.方法總結(jié)：1．直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.2．與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋m＝0，(m≠C)，與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋m＝0.

【小試牛刀】1．關(guān)于直線的傾斜角和斜率，下列說法正確的是()A．任一直線都有傾斜角，都存在斜率B．傾斜角為135°的直線的斜率為1C．若一條直線的傾斜角為α，則它的斜率為k＝tanαD．直線斜率的取值范圍是(－∞，＋∞)解析：選D任一直線都有傾斜角，但當(dāng)傾斜角為90°時(shí)，斜率不存在．所以A、C錯(cuò)誤；傾斜角為135°的直線的斜率為－1，所以B錯(cuò)誤；只有D正確．2．已知經(jīng)過兩點(diǎn)(5，m)和(m,8)的直線的斜率等于1，則m的值是( )A．5 B．8C.eq\f(13,2) D．7解析：選C由斜率公式可得eq\f(8－m,m－5)＝1，解之得m＝eq\f(13,2).3．直線l經(jīng)過原點(diǎn)和(－1,1)，則它的傾斜角為________．解析：kl＝eq\f(1－0,－1－0)＝－1，因此傾斜角為135°.4．已知三點(diǎn)A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一條直線上，實(shí)數(shù)a的值為________．解析：∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴kAB＝kBC，即eq\f(5,3－a)＝eq\f(9a＋7,5)，∴a＝2或eq\f(2,9).5．直線y＝2x－3的斜率和在y軸上的截距分別等于()A．2,3 B．－3，－3C．－3,2 D．2，－3答案：D6．直線l經(jīng)過點(diǎn)P(2，－3)，且傾斜角α＝45°，則直線的點(diǎn)斜式方程是()A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋3解析：選A∵直線l的斜率k＝tan45°＝1，∴直線l的方程為y＋3＝x－2.7．(1)求經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，且與直線y＝2x＋7平行的直線的方程；(2)求經(jīng)過點(diǎn)(－2，－2)，且與直線y＝3x－5垂直的直線的方程．解：(1)由y＝2x＋7得其斜率為2，由兩直線平行知所求直線的斜率是2.∴所求直線方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.(2)由y＝3x－5得其斜率為3，由兩直線垂直知，所求直線的斜率是－eq\f(1,3).∴所求直線方程為y＋2＝－eq\f(1,3)(x＋2)，即x＋3y＋8＝0.8.三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三邊所在直線的方程．解析：由兩點(diǎn)式，直線AB所在直線方程為：eq\f(y－－1,0－－1)＝eq\f(x－3,－1－3)，即x＋4y＋1＝0.同理，直線BC所在直線方程為：eq\f(y－3,－1－3)＝eq\f(x－1,3－1)，即2x＋y－5＝0.直線AC所在直線方程為：eq\f(y－3,0－3)＝eq\f(x－1,－1－1)，即3x－2y＋3＝0.9.求過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等的直線的方程．解法一設(shè)直線在x軸、y軸上的截距分別為a、b.①當(dāng)a≠0，b≠0時(shí)，設(shè)l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.∵點(diǎn)(4，－3)在直線上，∴eq\f(4,a)＋eq\f(－3,b)＝1，若a＝b，則a＝b＝1，直線的方程為x＋y－1＝0.若a＝－b，則a＝7，b＝－7，直線的方程為x－y－7＝0.②當(dāng)a＝b＝0時(shí)，直線過原點(diǎn)，且過點(diǎn)(4，－3)，∴直線的方程為3x＋4y＝0.綜上知，所求直線l的方程為x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.法二顯然直線l的斜率存在且不為0.設(shè)直線l的方程為y＋3＝k(x－4)，k≠0.令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝eq\f(4k＋3,k).又∵直線在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，∴|－4k－3|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4k＋3,k)))，解得k＝1或k＝－1或k＝－eq\f(3,4).∴所求直線的方程為x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.

【鞏固提高】1．下列說法正確的有①若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行；②若l1∥l2，則k1＝k2；③若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線垂直；④若兩條直線的斜率都不存在且兩直線不重合，則這兩條直線平行．A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：選A若k1＝k2，則這兩條直線平行或重合，所以①錯(cuò)；當(dāng)兩條直線垂直于x軸時(shí)，兩條直線平行，但斜率不存在，所以②錯(cuò)；若兩直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，才有這兩條直線垂直，所以③錯(cuò)；④正確．2．已知△ABC中，A(0,3)、B(2，－1)，E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，則直線EF的斜率為________．解析：∵E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，∴EF∥AB.∴kEF＝kAB＝eq\f(－1－3,2－0)＝－2.3.已知兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是_______________【答案】4.直線的傾斜角是（A） （B） （C） （D）【答案】A

5．若直線與直線分別交于點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率為（A） （B）（C）（D）【答案】B6．直線xsinα＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是()A．[0，π)B．[0，eq\f(π,4)]∪[eq\f(3π,4)，π)C．[0，eq\f(π,4)]D．[0，eq\f(π,4)]∪(eq\f(π,2)，π)解析：直線xsinα＋y＋2＝0的斜率為k＝－sinα，又|sinα|≤1，∴|k|≤1，∴傾斜角的取值范圍是[0，eq\f(π,4)]∪[eq\f(3,4)π，π)．故選B.【答案】B7．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直線AC的斜率等于直線BC的斜率的3倍，求m的值．解：由題意直線AC的斜率存在，即m≠－1.∴kAC＝eq\f(－m＋3－4,m＋1)，kBC＝eq\f(m－1－4,2－－1).∴eq\f(－m＋3－4,m＋1)＝3·eq\f(m－1－4,2－－1).整理得：－m－1＝(m－5)(m＋1)，即(m＋1)(m－4)＝0，∴m＝4或m＝－1(舍去)．∴m＝4.8.已知直線過，且與以，為端點(diǎn)的線段相交，求直線的斜率的取值范圍．解析：根據(jù)題中的條件可畫出圖形，如圖所示，又可得直線PA的斜率kPA＝－eq\f(3,2)，直線PB的斜率kPB＝eq\f(4,3)，結(jié)合圖形可知當(dāng)直線l由PB變化到與y軸平行的位置時(shí)，它的傾斜角逐漸增大到90°，故斜率的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))，當(dāng)直線l由與y軸平行的位置變化到PA位置時(shí)，它的傾斜角由90°增大到PA的傾斜角，故斜率的變化范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2))).綜上可知，直線l的斜率的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)).9．直線eq\f(x,3)－eq\f(y,4)＝1在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為()A．1 B．－1C．7 D．－7解析：選B直線在x軸上截距為3，在y軸上截距為－4，因此截距之和為－1.10．直線l過點(diǎn)(－1,2)和點(diǎn)(2,5)，則直線l的方程為_