力學(xué)第一章作業(yè)答案

作業(yè)參考答案2013年9月設(shè)質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)能場(chǎng)U(r)中運(yùn)動(dòng)，在笛卡爾坐標(biāo)系中寫(xiě)出其拉格朗日方程。解：拉格朗日方程為：L為拉格朗日函數(shù)笛卡爾坐標(biāo)中的坐標(biāo)變量為 ，那么所以，帶入拉格朗日方程得到這就是笛卡爾坐標(biāo)系中的拉格朗日方程即牛頓第二定律已知柱坐標(biāo) 與笛卡爾坐標(biāo)的關(guān)系是如圖．設(shè)質(zhì)點(diǎn)在軸對(duì)稱勢(shì)能場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，寫(xiě)出其拉格朗日方程。解：由柱坐標(biāo)和笛卡爾坐標(biāo)的關(guān)系可知等式兩邊同時(shí)除以dt那么，系統(tǒng)的動(dòng)能為那么，系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為所以帶入拉格朗日方程，則有：長(zhǎng)度為l的細(xì)繩系一小球，懸掛點(diǎn)按照 方式運(yùn)動(dòng)，如圖所示，小球被限制在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，時(shí)懸線豎直向下。（a）求懸線和豎直線偏離所對(duì)應(yīng)的虛位移（b）已知在這一時(shí)刻的角速度為，求經(jīng)過(guò)時(shí)間后的位移。問(wèn)：當(dāng)時(shí)，與有何差別？

（a）在任意時(shí)刻，約束所容許的位移為虛位移，途中的小球，受到細(xì)繩的和自身重力的約束，在這個(gè)時(shí)刻，解：x小球只能圍繞O點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)偏離角為時(shí)，對(duì)應(yīng)的虛位移為。（b）小球經(jīng)過(guò)時(shí)間后的位移，可以看作由兩部分組成：（1）小球繞O點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的位移（2）小球隨O點(diǎn)一起作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的位移所以，小球的位移為

和的區(qū)別如圖所示：x虛位移和實(shí)際位移的主要區(qū)別在于虛位移只和約束有關(guān),某一時(shí)刻約束所允許的位移。實(shí)際位移除了和約束有關(guān)以外，還和物體當(dāng)前的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)；運(yùn)動(dòng)方程和約束允許，在時(shí)間間隔內(nèi)所發(fā)生的位移。長(zhǎng)度同為l的輕棒四根，相互連接成一個(gè)可以無(wú)摩擦的改變頂角的菱形ABCD，AB和AD兩棒無(wú)摩擦的支于處于同一水平線上且相距2a的兩根釘上，BD之間用一根輕質(zhì)棒連接，在連接點(diǎn)（B和D處），各棒之間可以無(wú)摩擦的轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)上系有一重物W，C點(diǎn)和重物受到約束，只能上下運(yùn)動(dòng)，設(shè)A點(diǎn)兩棒之間的夾角為,試用虛功原理求平衡時(shí)聯(lián)結(jié)棒BD中的張力，討論的方向與

的大小的關(guān)系。問(wèn)：在什么情況下有，說(shuō)明其意義。4.由虛蛾功原析理，跡在平汽衡狀拖態(tài)下接可得解：為了損求棒慰中的味張力冠，可代將棒哥的約感束予蘋(píng)以“撇釋放另”，爹以張努力檢作餡為主覆動(dòng)力暫代替柜棒。豎此時(shí)秧系統(tǒng)憲的自們由度素為1，系乳統(tǒng)受3個(gè)外勤力作捎用：擊作用牙于B的張適力嘆，作權(quán)用于D的張捏力脾，作拋用于C點(diǎn)的W。坐標(biāo)巾系：各兩根叉釘連背線的重中點(diǎn)漿為坐梁標(biāo)原嘩點(diǎn)，搶連線所在廢直線霸為x軸（軌向右租為正逗），氏垂直描連線符為y軸（向夾下為蛇正）配，并筋取念為廣花義坐身標(biāo)。B、D點(diǎn)的x坐標(biāo)盟：C點(diǎn)的y坐標(biāo)狠：最后醋可得兆：即有檢：杠對(duì)B的作壇用力錄向內(nèi)杠對(duì)B的作會(huì)用力電向外杠對(duì)B無(wú)作今用力9．質(zhì)榮量為M的斜亮面可慮以無(wú)疤摩擦灘地在摩水平抽桌面蒜上滑歡動(dòng)。墾斜面邪上無(wú)蜻摩擦鍋地放催一滑臂塊m，如浴圖所賽示。芬寫(xiě)出鼓拉格害朗日表方程喇，并輝求斜維面的丑加速雹度既和滑站塊相稈對(duì)于則斜面歇的加標(biāo)速度儀。解：季系統(tǒng)行的拉壤格朗轉(zhuǎn)日函嘉數(shù)為即有市：解之拳得：帶入聰拉氏祝方程永：滑塊蓋的能辨量斜面碼的能斑量系統(tǒng)星的總財(cái)能量K系（息桌面綱坐標(biāo)盆系）K’系（遵沿X方向毅以速虛度V相對(duì)列于桌金面運(yùn)版動(dòng)的敏坐標(biāo)徒系）P3雞7第5題系統(tǒng)島的能吸量在k系和祖系之肝間的況變換福方程10．直報(bào)接用永拉格封朗日蒼方程[奮1.妖1.書(shū)2確(2伏.2夢(mèng)1)式]證明港，由滴相差追一廣腥義坐濤標(biāo)和丹時(shí)間巧的函役數(shù)的建時(shí)間則全導(dǎo)諒數(shù)的躍兩個(gè)悶拉格奮朗日記函數(shù)L`和L[1耍.1被.3泥(慌3.夾13明)式]得到隸的運(yùn)盟動(dòng)方率程相早同。證明吃：L和L’相差登一個(gè)花廣義儉坐標(biāo)斬和時(shí)良間的僑全微屋分那么由L`和L得到復(fù)的運(yùn)緊動(dòng)方扎程相望同。將拉格朗日方程代入上兩式那么12．已揪知一紡維運(yùn)喪動(dòng)自察由質(zhì)殺點(diǎn)的株拉氏災(zāi)量是(a豈)證明乖：當(dāng)愚按真石實(shí)運(yùn)介動(dòng)方然式運(yùn)崇動(dòng)時(shí)券，作萌用量暢是(b宅)設(shè)娛，求敞；并松任意鳥(niǎo)假定筆一種施非真舍實(shí)的降運(yùn)動(dòng)差方式瓦，計(jì)丑算相綁應(yīng)的穿作用紫量驚，驗(yàn)療證銅。解：敬按真席實(shí)情兼況運(yùn)迅動(dòng)時(shí)軌，自掛由質(zhì)闊點(diǎn)作步勻速隨直線凳運(yùn)動(dòng)半，速注度為雕常數(shù)猛。將糧帶閱入得揉到將搏帶辰