知識點(diǎn)37解直角三角形及其應(yīng)用2018-2

一、選擇題1.（2018吉林省長春市，6，3）如圖，某地修建高速公路，要從A地向B地修一條隧道（點(diǎn)A、B在同一水平面上）.為了測量A、B兩地之間的距離，一架直升飛機(jī)從A地出發(fā)，垂直上升800米到達(dá)C處，在C處觀察B地的俯角為，則A、B兩地之間的距離為（A）800sin米（B）800tan米（C）米（D）米【答案】D【解析】由題中條件可知，在RT△ABC中，∠ABC=，AC=800米，建立數(shù)學(xué)模型tan=，可得AB=米.【知識點(diǎn)】解直角三角形，銳角三角函數(shù)，俯角問題.2.（2018江蘇蘇州，8，3分）如圖，某海監(jiān)船以20海里/小時(shí)的速度在某海域執(zhí)行巡航任務(wù)，當(dāng)海監(jiān)船由西向東航行至A處時(shí)，測得島嶼P恰好在其正北方向，繼續(xù)向東航行1小時(shí)到達(dá)B處，測得島嶼P在其北偏兩30°方向，保持航向不變又航行2小時(shí)到達(dá)C處，此時(shí)海監(jiān)船與島嶼P之問的距離（即PC的長）為A．40海里 B．60海里 C．20海里 D．40海里【答案】D【解析】本題解答時(shí)要利用直角三角形的邊角關(guān)鍵和勾股定理來進(jìn)行計(jì)算.由題意可知AB=20，∠APB=30゜，∴PA=20，∵BC=220=40，∴AC=60，∴PC=（海里），故選D.二、填空題1.（2018湖北省江漢油田潛江天門仙桃市，15，3分）我國海域遼闊，漁業(yè)資源豐富．如圖，現(xiàn)有漁船B在海島A，C附近捕魚作業(yè)，已知海島C位于海島A的北偏東45°方向上．在漁船B上測得海島A位于漁船B的北偏西30°的方向上，此時(shí)海島C恰好位于漁船B的正北方向nmile處，則海島A，C之間的距離為nmile．【答案】【解析】本題主要考察三角函數(shù)的應(yīng)用．過A作AD⊥BC于D．設(shè)，∵∠C45°，∠B30°，∴，，．∵，∴，解得．∴．【知識點(diǎn)】三角函數(shù)的應(yīng)用2.（湖北省咸寧市，13，3）如圖，航拍無人機(jī)從A處測得一幢建筑物頂部的仰角為45°，測得底部C的俯角為60°此時(shí)航拍無人機(jī)與該建筑物的水平距離AD為110m，那么該建筑物的高度BC約為_________m.(結(jié)果保留整數(shù)，)【答案】300【解析】在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝110m，在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AD＝110m∴CD＝，∴BC＝BD+CD=110+≈300m【知識點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用3.(2018遼寧葫蘆島，15，3分)如圖，某景區(qū)的兩個(gè)景點(diǎn)A、B處于同一水平地面上，一架無人機(jī)在空中沿水平方向飛行進(jìn)行航拍作業(yè)，MN與AB在同一鉛直平面內(nèi)，當(dāng)無人機(jī)飛行至C處時(shí)，測得景點(diǎn)A的俯角為45°，景點(diǎn)B為的俯角為30°，此時(shí)C到地面的距離CD為100米，則兩景點(diǎn)A、B間的距離為__________米(結(jié)果保留根號)．【答案】：100+100，【解析】∵M(jìn)N∥AB，∴∠A＝∠MCA＝45°，∠B＝∠NCB＝30°．∵CD＝100，∴AD＝＝100，DB＝＝100．∴AB＝AD＋DB＝100＋100．4.（2018廣西南寧，16，3）如圖，從甲樓底部A處測得乙樓頂部C處的仰角是30°，從甲樓頂部B處測得乙樓底部D處的俯角是45°．已知甲樓的高AB是120m，則乙樓的高CD是m．（結(jié)果保留根號）甲甲樓ABCD乙樓30°第16題圖45°【答案】40EQ\R(,3)，【解析】∵俯角是45°，∴∠BDA＝45°，∴AB＝AD＝120m，又∵∠CAD＝30°∴在Rt△ADC中，tan∠CDA＝tan30°＝EQ\F(CD,AD)＝EQ\F(EQ\R(,3),3)．∴CD＝40EQ\R(,3)．5.(2018湖北黃石，14，3分)如圖，無人機(jī)在空中C處測得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別為60°、45°，如果無人機(jī)距地面高度CD為米，點(diǎn)A、D、E在同一水平直線上，則A、B兩點(diǎn)間的距離是____________米．(結(jié)果保留根號)第14題圖【答案】100(1＋)【解析】由題意可知∠A＝30°，∠B＝45°，∴AD＝＝100米，BD＝CD＝米，∴AB＝AD＋BD＝100＋＝100(1＋)米.6.（2018·寧夏，15，3）一艘貨輪以18km/h的速度在海面上沿正東方向航行，當(dāng)行駛至A處時(shí)，發(fā)現(xiàn)它的東南方向有一燈塔B，貨輪繼續(xù)向東航行30分鐘后到達(dá)C處，發(fā)現(xiàn)燈塔B在它的南偏東15°方向，則此時(shí)貨輪與燈塔B的距離為____________km．【答案】18．【解析】如下圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則∠CAD＝45°，∠ACB＝105°，從而∠B＝30°，AC＝×18＝9．在Rt△ACD中，sin∠CAD＝，從而CD＝ACsin∠CAD＝9×sin45°＝9×＝9．在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝2CD＝18（km），故填18．【知識點(diǎn)】解直角三角形；方向角7.（2018遼寧錦州，16，3分）如圖，射線OM在第一象限，且與x軸正半軸的夾角為60°，過點(diǎn)D（6，0）作DA⊥OM于點(diǎn)A，作線段OD的垂直平分線BE交x軸于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)B，作射線OB，以AB為邊的△AOB的外側(cè)作正方形ABCA1，延長A1C交射線OB于點(diǎn)B1，以A1B1為邊在△A1OB1的外側(cè)作正方形A1B1C1A2，延長A2C1交射線OB于點(diǎn)B2，以AB為邊在△A2OB2的外側(cè)作正方形A2B2C2A3……按此規(guī)律進(jìn)行下去，則正方式A2017B2017C2017A2018的周長為【答案】4×，【解析】本題為規(guī)律探究題，先根據(jù)圖形運(yùn)用三角函數(shù)∠AOD=60°,OD=3,AD=3,BD=2,AB=,B1C=1,A1B1=+1,B2C1=tan30°A1B1=A1B1,A2B2=A1B1+A1B1=A1B1(+1)=(+1)2B3C2=A2B2,A3B3=A2B2+A2B2=A2B2(+1)=()2(+1)3A2017B2017=()2016(+1)2017A2017B2017C2017A2018的周長4A2017B2017=4×()2016(+1)2017三、解答題1.（2018廣西省桂林市，23，8分）如圖所示，在某海域，一艘指揮船在C處收到漁船在B處位于C處的南偏西45°方向上，且BC＝60海里；指揮船搜索發(fā)現(xiàn)，在C處的南偏西60°方向上有一艘海監(jiān)船A，恰好位于BA前往救援，已知海監(jiān)船A的航行速度為30海里/小時(shí)，問漁船在B處需要等待多長時(shí)間才能得到海監(jiān)船A的救援？（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45，結(jié)果精確到0.1小時(shí)）【思路分析】過點(diǎn)B作BD⊥DC于點(diǎn)D，由題意可知，∠BCD＝45°，∠ACD＝60°，先根據(jù)BC＝60，利用特殊角的三角函數(shù)值求出BD的長，再求出AD的長即可．【解題過程】解：如圖（1），過點(diǎn)B作BD⊥DC于點(diǎn)D，由題意可知，∠BCD＝45°，∠ACD＝60°，DC＝BD，則在Rt△DEF中，∵BC＝60，∴sin∠BCD＝，即，解得BD＝，∴DC＝BD＝，則在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，即，解得AD＝，∴AB＝AD－BD＝－≈30（－）＝31.2（海里），∴漁船在B處等待得到海監(jiān)船A的救援需要的時(shí)間為＝1.04≈1.0（小時(shí)），答：漁船在B處等待得到海監(jiān)船A的救援需要約1.0小時(shí)．【知識點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用；二次根式的化簡2.（2018海南省，22，8分）如圖10，某數(shù)學(xué)興趣小組為測量一棵古樹BH和教學(xué)樓CG的高，先在AH的仰角∠HDE為45°，此時(shí)教學(xué)樓頂端G恰好在視線DH上，再向前走7米到達(dá)B處，又測得教學(xué)樓頂端G的仰角∠GEF為60°，點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)在同一水平線上．（1）計(jì)算古樹BH的高；（2）計(jì)算教學(xué)樓CG的高．（參考數(shù)據(jù)：，）【思路分析】（1）在Rt△DEH中，∠HDE=45°，∴HE=DE，BH=HE+BE，從而求出BH的長．（2）設(shè)EF=x米，在Rt△GEF中，∠GEF=60°，用x表示出GF的長，GF=x，在Rt△GDF中，∠GDF=45°，∴DF=GF，7+x=x，求解出x，從而得到GF的長，GC=GF+FC，故求得CG的長．【解題過程】（1）在Rt△DEH中，∵∠DEH=90°，∠HDE=45°，∴HE=DE=7米．∴BH=HE+BE米．（2）設(shè)EF=x米，在Rt△GEF中，∵∠GFE=90°，∠GEF=60°，∴GF=EF·tan60°=x．在Rt△GDF中，∵∠GFD=90°，∠GDF=45°，∴DF=GF．∴7+x=x．將代入上式，解得x=10．GF=x=17．∴GC=GF+FC米．答：古樹高為，教學(xué)樓高為．【知識點(diǎn)】解直角三角形，解直角三角形的應(yīng)用3.如圖，甲、乙兩座建筑物的水平距離為，從甲的頂部處測得乙的頂部處的俯角為，測得底部處的俯角為，求甲、乙建筑物的高度和（結(jié)果取整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：，.【答案】甲建筑物的高度約為，乙建筑物的高度約為.【解析】分析：首先分析圖形：根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形；本題涉及兩個(gè)直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造關(guān)系式，進(jìn)而可求出答案．詳解：如圖，過點(diǎn)作，垂足為.則.由題意可知，，，，，.可得四邊形為矩形.∴，.在中，，∴.在中，，∴.∴.∴.答：甲建筑物的高度約為，乙建筑物的高度約為.點(diǎn)睛：本題考查解直角三角形的應(yīng)用--仰角俯角問題，首先構(gòu)造直角三角形，再借助角邊關(guān)系、三角函數(shù)的定義解題，難度一般．4.(2018甘肅省蘭州市,23,7分)(7分)如圖,斜坡BE,坡頂B到水平地面的距離AB為3米,坡底AE為18米,在B處,E處分別測得CD頂部點(diǎn)D的仰角為30°,60°.求CD的高度.(結(jié)果保留根號)BBADCFE【思路分析】作BF⊥CD于F,然后在兩個(gè)直角三角形中分別表示出BF,CE,然后利用BF和CE相等即可求解.【解題過程】作BF⊥CD于F,設(shè)CE=x米,因?yàn)椤螪EC=60°,所以DC=x米?DF=(x-2)米,因?yàn)椤螰BD=30°,所以BF=(x-2)米?因?yàn)锽A⊥AC,DC⊥AC,所以四邊形BACF為矩形,所以BF=AC,所以(x-2)=x+18,解得x=12+10.答:CD的高度是(12+10)米?【知識點(diǎn)】解直角三角形三角函數(shù)5.（2018黑龍江省齊齊哈爾市，題號23，分值12）折紙是一項(xiàng)有趣的活動(dòng)，同學(xué)們小時(shí)候都玩過折紙，可能折過小動(dòng)物、小花、飛機(jī)、小船等，折紙活動(dòng)也伴隨著我們初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).在折紙過程中，我們可以通過研究圖形的性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)、確定圖形位置等，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念，在經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程中，我們會初步建立幾何直觀.折紙往往從矩形紙片開始，今天，就讓我們帶著數(shù)學(xué)的眼光來玩一玩折紙，看看折疊矩形的對角線之后能得到哪呰數(shù)學(xué)結(jié)論.實(shí)踐操作如圖1，將矩形紙片ABCD沿對角線AC翻折，使點(diǎn)B’落在矩形所在平面內(nèi)，B’C和AD相交于點(diǎn)E，連接B’D.解決問題(1)在圖1中，①B’D和AC的位置關(guān)系為______________;②將△AEC剪下后展開，得到的圖形是_________________;(2)若圖1中的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅螘r(shí)(AB≠BC)，如圖2所示，結(jié)論①和結(jié)論②是否成立，若成立，請?zhí)暨x其中的一個(gè)結(jié)論加以證明，若不成立，請說明理由；（3）小紅沿對角線折疊一張矩形紙片，發(fā)現(xiàn)所得圖形是軸對稱圖形，沿對稱軸再次折疊后，得到的仍是軸對稱圖形.則小紅折疊的矩形紙片的長寬之比為____________；拓展應(yīng)用(4)在圖2中，若∠B=30°，AB=，當(dāng)△AB’D恰好為直角三角形時(shí)，BC的長度為__________. .【思路分析】(1)由折疊的性質(zhì)可知，∠ACB=∠ACE,再由四邊形ABCD為矩形，AC為對角線可知，∠ACB=∠DAC，∴∠DAC=∠ACE，即AE=CE，∵BC=AD=B’C,∴B’E=DE,∴∠EB’D=∠EDB’,又∵∠B’ED=∠AEC為對頂角，∴∠DAC=∠ACE=∠EB’D=∠EDB’，∴B’D∥AC,將△AEC剪下展開后，能得到四條邊均相等的四邊形，即菱形，故答案為①B’D∥AC，②菱形；(2)利用（1）的思路即可得出矩形變平行四邊形時(shí)也可得到B’D∥AC和菱形的結(jié)論；（3）當(dāng)矩形為正方形時(shí)符合題意，即長寬之比為1：1；當(dāng)∠ACB=30°時(shí)符合題意，即長寬之比為：1；（4）由（2）可知，AE=CE，B’E=DE,AC∥B’D.當(dāng)∠AB’D=90°，且點(diǎn)B’在AD上方時(shí)，可得出∠B’AC=∠AB’D=90°,∴BC=;當(dāng)點(diǎn)B’在AD下方，∠ADB’=90°時(shí)，∠ADC=∠B=30°，得出BC=AD=cos∠ADC×CD.當(dāng)∠B’AD=90°,且點(diǎn)B’在AD上方時(shí)，∵∠AB’C=30°，AE=CE,AB’=AB=4，可得出BC=B’E+CE=B’E+AE=+tan∠AB’C×AB’.當(dāng)∠B’AD=90°,且點(diǎn)B’在AD下方時(shí)，∠ADC=30°，∵B’E=DE,∴AB’=AB=AE+B’E=AD×tan∠ADC+.【解題過程】解：（1）由折疊的性質(zhì)可知，∠ACB=∠ACE.再由四邊形ABCD為矩形，AC為對角線可知，∠ACB=∠DAC，∴∠DAC=∠ACE，即AE=CE，∵BC=AD=B’C,∴B’E=DE,∴∠EB’D=∠EDB’.又∵∠B’ED=∠AEC為對頂角，∴∠DAC=∠ACE=∠EB’D=∠EDB’.∴B’D∥AC.將△AEC剪下展開后，能得到四條邊均相等的四邊形，即菱形.故答案為①B’D∥AC，②菱形.（2）結(jié)論仍然成立.若選擇結(jié)論①證明：∵B’C=AD,AE=CE,∴B’E=DE.∴∠CB’D=∠ADB’.∵∠AEC=∠B’ED,∠ACB’=∠CAD.∴∠ADB’=∠DAC.∴B’D∥AC.若選擇結(jié)論②證明：如圖所示，設(shè)點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CF∥AE.∴∠DAC=∠ACF.由折疊可得，∠ACE=∠ACF，CE=CF.∴∠DAC=∠ACE.∴AE=CE.∴AE=CF.∴四邊形AECF是菱形.（3）當(dāng)矩形為正方形時(shí)符合題意，即長寬之比為1：1；當(dāng)∠ACB=30°時(shí)符合題意，即長寬之比為：1.（答對一個(gè)得1分，寫成“1或”也正常給分）（4）由（2）可知，AE=CE，B’E=DE,AC∥B’D.當(dāng)∠AB’D=90°，且點(diǎn)B’在AD上方時(shí)，可得出∠B’AC=∠AB’D=90°.∵∠B=∠AB’C=30°，∴在Rt△AB’C中，BC==8；當(dāng)點(diǎn)B’在AD下方，∠ADB’=90°時(shí)，∠ADC=∠B=30°，得出BC=AD=cos∠ADC×CD=6.當(dāng)∠B’AD=90°,且點(diǎn)B’在AD上方時(shí)，∵∠AB’C=30°，AE=CE,AB’=AB=4，可得出BC=B’E+CE=B’E+AE=+tan∠AB’C×AB’=12.當(dāng)∠B’AD=90°,且點(diǎn)B’在AD下方時(shí)，∠ADC=30°，∵B’E=DE,∴AB’=AB=AE+B’E=AD×tan∠ADC+=4，解得AD=4.故答案為4或6或8或12.（答對一個(gè)得1分）【知識點(diǎn)】折疊的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，菱形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì).6.（2018湖南省懷化市，23，12分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，點(diǎn)E為CD邊上一點(diǎn)，AE與BE分別為DAB和CBA的平分線．（1）請你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件________，使得四邊形ABCD是平行四邊形，并證明你的結(jié)論；（2）作線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)O，并以AB為直徑作?O（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫做法)；（3）在（2）的條件下，?O交邊AD于點(diǎn)F，連接BF，交AE于點(diǎn)G，若AE＝4，sinAGF＝，求?O的半徑．【思路分析】（1）在四邊形中，一組對邊平行且相等，那么這個(gè)四邊形為平行四邊形．（2）由AB為圓的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到，通過AE為的角平分線，可知，所以在三角形AFG和三角形AEB中有兩角對應(yīng)相等，所以兩三角形相似，所以sinAGF＝sinABE，又已知AE＝4，所以通過直角三角形的三角函數(shù)可求出直徑AB的值，繼而求出半徑的值．【解題過程】（1）令A(yù)D＝BC，又∵AD//BC，根據(jù)平行四邊行的判定定理，∴四邊形ABCD是平行四邊形．（2）∵?O交邊AD于點(diǎn)F，∴點(diǎn)F為圓上一點(diǎn)，∴，因?yàn)锳E與BE分別為DAB和CBA的平分線，AD//BC，所以，即得，在中，又∵AE為的角平分線，∴，所以在三角形AFG和三角形AEB中，有，，∴∽，∴sinAGF＝＝sin＝，已知AE＝4，所以可得出直徑AB＝5，即半徑等于2.5．【知識點(diǎn)】平行四邊形的判定定理尺規(guī)作圖三角形相似的判定定理和相似三角形的性質(zhì)直角三角形的三角函數(shù)求值圓周角的性質(zhì)7.（2018年江蘇省南京市，23，8分）如圖，為了測量建筑物的高度，在處樹立標(biāo)桿，標(biāo)桿的高是.在上選取觀測點(diǎn)、，從測得標(biāo)桿和建筑物的頂部、的仰角分別為、，從測得、的仰角分別為、.求建筑物的高度（精確到）.（參考數(shù)據(jù)：，，.）【思路分析】在△CED中，得出DE，在△CFD中，得出DF，進(jìn)而得出EF，列出方程即可得出建筑物AB的高度?！窘忸}過程】解：在中，，∵.∴.在中，，∵∴.∴.同理.∴.解得.因此，建筑物的高度約為.【知識點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用8.（2018浙江嘉興，22，10）如圖1，滑動(dòng)調(diào)節(jié)式遮陽傘的立柱AC垂直于地面AB，P為立柱上的滑動(dòng)調(diào)節(jié)點(diǎn)，傘體的截面示意圖為△PDE，F(xiàn)為PD中點(diǎn)，AC＝2.8m，PD＝2m，CF＝1m，∠DPE＝20°．當(dāng)點(diǎn)P位于初始位置P0時(shí)，點(diǎn)D與C重合（圖2）．根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)太陽光線與PE垂直時(shí)，遮陽效果最佳．（1）上午10:00時(shí)，太陽光線與地面的夾角為60°（圖3），為使遮陽效果最佳，點(diǎn)P需從P0上調(diào)多少距離？（結(jié)果精確到0.1m）（2）中午12:00時(shí)，太陽光線與地面垂直（圖4），為使遮陽效果最佳，點(diǎn)P在（1）的基礎(chǔ)上還需上調(diào)多少距離？（結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）【思路分析】（1）只要證明△CFP1是等腰直角三角形，即可解決問題；（2）解直角三角形求出CP2的長即可解決問題；【解答過程】（1）如圖2中，當(dāng)P位于初始位置時(shí)，CP0=2m，如圖3中，上午10：00時(shí)，太陽光線與地面的夾角為65°，上調(diào)的距離為P0P1．∵∠1=90°，∠CAB=90°，∠ABE=65°，∴∠AP1E=115°，∴∠CP1E=65°，∵∠DP1E=20°，∴∠CP1F=45°，∵CF=P1F=1m，∴∠C=∠CP1F=45°，∴△CP1F是等腰直角三角形，∴P1C=m，∴P0P1=CP0﹣P1C=2﹣≈0.6m，即為使遮陽效果最佳，點(diǎn)P需從P0上調(diào)0.6m．（2）如圖4中，中午12：00時(shí)，太陽光線與地面垂直（圖4），為使遮陽效果最佳，點(diǎn)P調(diào)到P2處．∵P2E∥AB，∴∠CP2E=∠CAB=90°，∵∠DP2E=20°，∴∠CP2F=70°，作FG⊥AC于G，則CP2=2CG=1×cos70°≈0.68m，∴P1P2=CP1﹣CP2=﹣0.68≈0.7m，即點(diǎn)P在（1）的基礎(chǔ)上還需上調(diào)0.7m．9.（2018湖南婁底，22，8）如圖，長沙九龍倉國際金融中心主樓高達(dá)，是目前湖南省第一高樓，和它處于同一水平面上的第二高樓高，為了測量高樓上發(fā)射塔的高度，在樓底端點(diǎn)測得的仰角為，，在頂端E點(diǎn)測得A的仰角為，求發(fā)射塔的高度.【思路分析】本題通過構(gòu)造方程，先求出CD的長，在求出AC，最后求AB【解題過程】解：過E作，由題意得，四邊形EDCF是矩形EF=CD，CF=DE=340設(shè)CD=x，則EF=x，在中，在中，，AC=AF+CF，解得x=140CD=140，AC=480，AB=AC-BC=480-452=28米答：發(fā)射塔AB的高度為28米【知識點(diǎn)】三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用10.（2018吉林省，21,7分）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)為測量旗桿高度，先制定了如下測量方案，使用工具是測角儀和皮尺.請幫助組長林平完成方格內(nèi)容，用含a,b,c的代數(shù)式表示旗桿AB的高度.【思路分析】將所求AB的長度轉(zhuǎn)化為AE和EB的長度，在直角三角形AED，利用三角函數(shù)，求得AE的長度,而BE=CD，所以AB=AE+CD.【解題過程】測量步驟：（1）測角儀（2）皮尺計(jì)算過程：如圖，∠ADE=α，DE=BC=a，BE=CD=b，在Rt△ADE中，∠AED=90°，∵tan∠ADE=∴DE=AE·tan∠ADE=a·tanα∴AB=AE+BE=(b+a·tanα)（米）【知識點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用11.（2018江蘇揚(yáng)州，27，12）問題呈現(xiàn)如圖1，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點(diǎn)D，N和E，C，DN和EC相交于點(diǎn)P，求tan∠CPN的值．方法歸納求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構(gòu)造出）一個(gè)直角三角形．觀察發(fā)現(xiàn)問題中∠CPN不在直角三角形中，我們常常利用網(wǎng)格畫平行線等方法解決此類問題，比如連接格點(diǎn)M，N，可得MN∥EC，則∠DNM=∠CPN，連接DM，那么∠CPN就變換到Rt△DMN中．問題解決（1）直接寫出圖1中tan∠CPN的值為_________；（2）如圖2，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，AN與CM相交于點(diǎn)P，求cos∠CPN的值；思維拓展（3）如圖3，AB⊥BC，AB=4BC，點(diǎn)M在AB上，且AM=BC，延長CB到N，使BN=2BC，連接AN交CM的延長線于點(diǎn)P，用上述方法構(gòu)造網(wǎng)格求∠CPN的度數(shù)．【思路分析】（1）根據(jù)方法歸納，運(yùn)用勾股定理分別求出MN和DM的值，即可求出tan∠CPN的值；（2）仿（1）的思路作圖，即可求解；（3）利用網(wǎng)格，構(gòu)造等腰直角三角形解決問題即可；【解題過程】解：（1）如圖進(jìn)行構(gòu)造：由勾股定理得：DM=，MN=,DN=，∵()2+()2=()2，∴DM2+MN2=DN2，∴△DMN是直角三角形；∵M(jìn)N∥EC，∴∠CPN=∠DNM，∵tan∠DNM=QUOTE=QUOTE=2，∴tan∠CPN=2．也可以這樣做：（1）如圖1中，∵EC∥MN，∴∠CPN=∠DNM，∴tan∠CPN=tan∠DNM，∵∠DMN=90°，∴tan∠CPN=tan∠DNM=2．（2）如圖，cos∠CPN=cos∠QCM=．也可以這樣做：如圖2中，取格點(diǎn)D，連接CD，DM．∵CD∥AN，∴∠CPN=∠DCM，∵△DCM是等腰直角三角形，∴∠DCM=∠D=45°，∴cos∠CPN=cos∠DCM=．(3)如圖，∠CPN=∠CMQ=45°．也可以這樣：如圖3中，如圖取格點(diǎn)M，連接AN、MN．∵PC∥MN，∴∠CPN=∠ANM，∵AM=MN，∠AMN=90°，∴∠ANM=∠MAN=45°，∴∠CPN=45°．【知識點(diǎn)】正方形網(wǎng)圖，非直角三角形中銳角三角函數(shù)值12.（2018青海，24，8分）A處觀測對岸點(diǎn)C，測得∠CAD=45°，小英同學(xué)在距點(diǎn)A處60米遠(yuǎn)的B點(diǎn)測得∠CBD=30°，請根據(jù)這些數(shù)據(jù)算出河寬（精確到0.01米，2≈1.414，3【思路分析】先添加輔助線：過C作CE⊥AB于E，然后設(shè)CE＝米，借助三角函數(shù)將AE、BE都用x的代數(shù)式表示，最后通過EB=EA+AB列方程求得答案．【解題過程】過C作CE⊥AB于E，設(shè)CE＝米．Rt△AEC中，∠CAE＝45°，AE＝CE＝x．在Rt△ABC中，∠CBE＝30°，BE＝CE＝x．∴x＝x＋60．解得x＝≈81.96．答：河寬為米．【知識點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理13.（2018貴州銅仁，22，10）如圖，有一鐵塔AB，為了測量其高度，在水平選取C，D兩點(diǎn)，在點(diǎn)C處測得A的仰角為45°，距點(diǎn)C的10米D處測得A的仰角為60°，且C、D、B在同一水平直線上，求鐵塔AB的高度.（結(jié)果精確到0.1米，）【思路分析】分別在Rt△ABC和Rt△ABD中，利用特殊角的銳角三角函數(shù)分別表示出CB、BD的長度，然后列方程，解方程可得鐵塔AB的高度．解答過程】由題意，易得：AB⊥BC，∴∠ABC=90°，設(shè)AB=，在Rt△ABC中，，∴BC=；在Rt△ABD中，，BD=；∵CB-BD=CD，CD=10米，∴，（米）.答：鐵塔AB的高度約為23.7米.14.(2018湖南湘西州，23，8分)如圖，某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路l經(jīng)過A、B兩個(gè)景點(diǎn)，景區(qū)管委會又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)C．經(jīng)測量，C位于A的北偏東60°的方向上，C位于B的北偏東30°的方向上，且AB＝10km．(1)求景點(diǎn)B與C的距離；(2)為了方便游客到景點(diǎn)C游玩，景區(qū)管委會準(zhǔn)備由景點(diǎn)C向公路l修一條距離最短的公路，不考慮其他因素，求出這條最短公路的長．(結(jié)果保留根號)第23題圖【解答過程】(1)根據(jù)題意可得：∠CAB＝30°，∠CBA＝120°．∴∠C＝180°－120°－30°＝30°．∴∠CAB＝∠C．∴AB＝BC．∵AB＝10，∴BC＝10．即景點(diǎn)B與點(diǎn)C的距離為10km．(2)如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D．根據(jù)“垂線段最短”可得CD即為最短公路．∵∠CBA＝120°，∴∠CBD＝60°．在Rt△CBD中，BC＝10，∠CBC＝60°．sin60°＝＝＝．∴CD＝5．即：這條最短公路的長為5km．15.（2018江蘇常州，25，8）(本小題滿分8)京杭大運(yùn)河是世界歷史文化遺產(chǎn)，綜合實(shí)踐活動(dòng)小組為了測出某段運(yùn)河的河寬(岸沿是平行的)，如圖，在岸邊分別選定了點(diǎn)A、B和點(diǎn)C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m．再用測角儀測得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求該段運(yùn)河的河寬(即CH的長)【解答過程】過D作DE⊥AB，垂足為E。易知四邊形CDEH為矩形，CD=HE=40m，DE=CH設(shè)河寬為xm，則DE=CH=xm，在RtΔACH中，∠CAB=30°，可得AH=m在RtΔDEB中，∠DBA=60°，可得BE=m∵AH+HE+EB=160m解得m答：該段運(yùn)河的河寬為m。16.（2018?徐州，26，8分）如圖，1號數(shù)在2號樓的南側(cè)，兩樓的高度均為90m，樓間距為AB．冬至日正午，太陽光線與水平面所成的角為32.3°，1號數(shù)在2號樓墻面上的影高為CA；春分日正午，太陽光線與水平面所成的角為55.7°，1號數(shù)在2號樓墻面上的影高為DA．已知CD＝42m．（1）求樓間距AB；（2）若2號樓共有30層，層高均為3m，則點(diǎn)C位于第幾層？（參考數(shù)據(jù)：sin，cos，tan，sin，cos，tan）．【解答過程】解：（1）過點(diǎn)C，D分別作CE⊥PB，DF⊥PB，垂足分別為E，F(xiàn)．則有AB＝CE＝DF，EF＝CD＝42．由題意可知：∠PCE＝32.3°，∠PDF＝55.7°，在Rt△PCE中，PE＝CEtan32.3°＝CE；在Rt△PDF中，PF＝CEtan55.7°＝CE；∵PF－PE＝EF，∴CE－CE＝42，∴AB＝CE＝50（m）答：樓間距為50m．（2）由（1）得：PE＝CE＝（m），∴AC＝BP－PE＝90－＝（m），＝，∴點(diǎn)C位于第20層答：點(diǎn)C位于第20層．17.（2018內(nèi)蒙古通遼，20，6分）我市304國道通遼至霍林郭勒段在修建過程中經(jīng)過一座山峰，如圖所示，其中山腳A、C兩地的海拔高度約為1000米，山頂B處的海拔高度約為1400米，由B處望山腳A處的俯角為30°，由B處望山腳C處的俯角為45°，若在A、C兩地間打通一條隧道，求隧道最短為多少米（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)EQ\R(,3)）．【思路分析】過B作BD⊥AC垂足為D，在Rt△ABD中利用三角函數(shù)求得AD，然后再在Rt△BCD中求得BD，根據(jù)AC＝AD＋DC即可求解．【解題過程】作BD⊥AC垂足為D，（如答圖）由題意可得BD＝1400－1000＝400（米）∠BAC＝30°，∠BCA＝45°在Rt△ABD中，∵tan30°＝EQ\F(BD,AD)，即EQ\F(400,AD)＝\F(\R(,3),3)，∴AD＝400EQ\R(,3)（米）在Rt△BCD中，∵∠BCA＝45°，∴DC＝DB＝400（米）∴AC＝AD＋DC＝400EQ\R(,3)＋400≈1092.8≈1093（米）答：隧道最短約為1093米．18.（2018山東萊蕪，20，9分）在小水池旁有一盞路燈，已知支架AB的長是，A端到地面的距離AC為4m，支架AB與燈柱AC的夾角為65°．小明在水池的外沿D測得支架B端的仰角為45°，在水池的內(nèi)沿E測得支架A端的仰角為50°（點(diǎn)C、E、D在同一直線上），求小水池的寬DE．（結(jié)果精確到）（sin65°≈，cos65°≈，tan50°≈）【思路分析】過點(diǎn)B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G．先解Rt△ABF求出AF和BF的長；再解Rt△ACE求出CE的長；利用DE=CD－CE可解．【解題過程】解：過點(diǎn)B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G．在Rt△BAF中，∠BAF=65°，BF=AB·sin∠BAF×．AF=AB·cos∠BAF×，∴FC=AF+AC．由題意可知四邊形FCGB是矩形，∴BG=FC，CG=BF．∵∠DBG=45°，∴∠DBG=∠GBD，∴GD=GB，∴CD=CG+GD．在Rt△ACE中，∠AEC=50°，CE==≈．∴DE=CD－CE－≈．答：小水池的寬是m．【知識點(diǎn)】解直角三角形；銳角三角函數(shù)19.（2018上海，21，10分）如圖7，已知△ABC中，AB=AC=5，tan∠ABC=.(1)求邊AC的長；(2)設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點(diǎn)為D，求的值.【思路分析】(1)過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E.在Rt△AEB中，根據(jù)tan∠ABC==，設(shè)出AE=3x，BE=4x，根據(jù)勾股定理求出AB的長，進(jìn)而求出x的值和BE、CE的長，再在Rt△AEC中，運(yùn)用勾股定理求出AC的長.(2)根據(jù)條件得出DF∥AE，再運(yùn)用平行線分線段成比例定理求解.【解答過程】(1)過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E.在Rt△AEB中，∠AEB=900，tan∠ABC==，設(shè)AE=3x，BE=4x，根據(jù)勾股定理，得AB=5x=5，則x=1，∴AE=3，BE=4，∴CE=BC-BE=5-4=1.在Rt△AEC中，∠AEC=900，∴AC=.(2)如圖BC的垂直平分線交AB于D，交BC于F，則BF=CF=BC=2.5，∴EF=FC=EC=2.5-1=1.5.∵∠AEC=∠DFC=900，∴DF∥AE，∴.20.（2018云南省昆明市，19，7分）小婷在放學(xué)路上，看到隧道上方有一塊宣傳“中國——南亞博覽會”的豎直標(biāo)語牌CD．她在A點(diǎn)測得標(biāo)語牌頂端D處的仰角為42°，測得隧道底端B處的俯角為30°（B，C，D在同一條直線上），AB＝10m，隧道高6．5m（即BC＝6．5m），求標(biāo)語牌CD的長．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后1位）（參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0．67，cos42°≈0．74，tan42°≈0．90，≈1．73）【思路分析】（如上圖（1），連接CB，過點(diǎn)A作AE⊥BD于E，在Rt△ACE中，利用特殊角的三角函數(shù)值求出CE的長，再在在Rt△ADE中，求出DE的長，即可求得CD的長度．【解題過程】解：如上圖（1），連接CB，過點(diǎn)A作AE⊥BD于E，則在Rt△ACE中，∵∠EAB＝30°，AB＝10m，∴AE＝AB·cos30°＝10×＝5，BE＝AB·sin30°＝10×＝5，又∵BC＝6．5m，∴CE＝BC－BE＝CE＝6．5－5＝1．5，在Rt△ADE中，∵∠EAD＝42°，AE＝5，∴DE＝AE·tan42°＝5×0．9≈5×1．73×0．9＝7．785，∴CD＝DE－CE≈7．785－1．5＝6．285≈6．3（m）．【知識點(diǎn)】解直角三角形；勾股定理，三角函數(shù)；相似三角形的判定和性質(zhì)；一元二次方程的解法；矩形的判定和性質(zhì)21.(2018黑龍江大慶，22，6)如圖一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°方向。與燈塔P的距離為80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間之后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向的B處，求此時(shí)輪船所在的B處與燈塔P的距離。(參考數(shù)據(jù):≈2.449，結(jié)果保留整數(shù))【思路分析】作PC⊥AB于C，由已知可得△ABO中∠A＝60°，∠B＝45°且PA＝80m，要求OB的長，可以先求出PC和BC的長．【解答過程】解：由題意可知：作PC⊥AB于C，∠ACP＝∠BCP＝90°，∠APC＝30°，∠BPC＝45°．在Rt△ACO中，∵∠ACP＝90°，∠APC＝30°∴AC＝AP＝40m，PC＝AC＝40m．在Rt△BPC中，∵∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，∴BC＝PC＝40m．∴PB＝＝40≈40×2.449≈98(海里)．答：輪船所在的B處與燈塔P的距離大約為98海里．22.（2018湖北恩施州，20，8分）如圖9所示，為測量旗臺A與圖書館C之間的直線距離，小明在A處測得C在北偏東30方向上，然后向正東方向前行100米至B處，測得此時(shí)C在北偏西15方向上，求旗臺與圖書館之間的距離．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)1．41，1．73）【思路分析】這是一個(gè)有關(guān)三角形的實(shí)際應(yīng)用問題，考慮用勾股定理．而勾股定理的應(yīng)用前提是在直角三角形中，因此必須在三角形內(nèi)作垂線，構(gòu)造出直角三角形．過點(diǎn)B作BD⊥AC，這樣就得到等腰直角△BCD和一個(gè)角為的Rt△，各邊邊長迎刃而解．【解答過程】過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D．∵∠ABD＝30°，AB＝100m，∴AD＝50m，BD＝，又∵△BDC為等腰直角三角形，∴CD＝BD＝m，∴AC＝AD＋CD＝m即旗臺與圖書館之間的距離為()m．23.（2018湖北十堰，19，7分）如圖，一艘海輪位于燈塔C的北偏東45度方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔C的南偏東30度方向上的B處，求此時(shí)船距燈塔的距離（參考數(shù)據(jù)：EQ\R(,2)≈1.414，EQ\R(,3)≈1.732，結(jié)果取整數(shù)）【思路分析】過C作CD垂直于AB，根據(jù)題意求出AD與BD的長，由AD＋DB求出AB的長即可．【解答過程】作CD⊥AB于D．（如答圖）在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，∠ACD＝90°－45°＝45°．∴CD＝AC?cos45°＝100×EQ\F(\R(,2),2)＝50EQ\R(,2)在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，∠CBD＝30°．∴BC＝2CD＝100EQ\R(,2)海里≈173海里答：B處距離燈塔P有173海里．24.（2018湖北隨州20，8分）（本題滿分8分）隨州新厥水一橋（如圖1）設(shè)計(jì)靈感來源于市花——蘭花，采用蝴蝶蘭斜拉橋方案，設(shè)計(jì)長度為258米，寬32米，為雙向六車道，2018年4月3日通車．斜拉橋又稱斜張橋，主要由索塔、主梁、斜拉索組成．某座斜拉橋的部分截面圖如圖2所示，索塔AB和斜拉索（圖中只畫出最短的斜拉索DE和最長的斜拉索AC）均在同一水平面內(nèi)，BC在水平橋面上．已知∠ABC＝∠DEB＝45°，∠ACB＝30°，BE＝6米，AB＝5BD．（1）求最短的斜拉索DE的長；（2）求最長的斜拉索AC的長．【思路分析】（1）證明∠BDE＝90°后，在Rt△BDE中，已知∠ABC＝45°及斜邊BE的長，求∠ABC的對邊DE的長，需用∠ABC的余弦求解．（2）根據(jù)BD＝DE，AB＝5BD，先求得AB長，再過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，利用解直角三角形知識和直角三角形中30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半求解．【解答過程】（1）∵∠ABC＝∠DEB＝45°，∴∠BDE＝90°，BD＝DE，在Rt△BDE中，DE＝BE·sin∠ABC＝6×sin45°＝3(米)．即最短斜拉索DE的長為3米．（2）過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，由（1）知，BD＝DE＝3，AB＝5BD＝5×3＝15．在Rt△ABM中，AM＝AB·sin∠ABC＝15×sin45°＝15(米)．∵∠ACB＝30°，∠AMC＝90°，∴AC＝2AM＝2×15＝30（米）．即最長斜拉索AC的長為30米．25.(2018湖南邵陽，24，8分)某商場為方便消費(fèi)者購物，準(zhǔn)備將原來的階梯式自動(dòng)扶梯改造成斜坡式自動(dòng)扶梯．如圖(十四)所示，已知原階梯式自動(dòng)扶梯AB長為10m，坡角∠ABD為30°；改造后的斜坡式自動(dòng)扶梯的坡角∠ACB為15°，請你計(jì)算改造后的斜坡式自動(dòng)扶梯AC的長度．，溫馨提示：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)【思路分析】本題考查的是解直角三角形.在Rt△ABD中，根據(jù)“含30°角直角三角形的性質(zhì)”求出AD的長；再在Rt△ACD中，根據(jù)sin∠ACD＝，求出AC即可．【解答過程】解：由題意可知，在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10m，∴AD＝AB＝5m．在Rt△ACD中，sin∠ACD＝．因?yàn)椤螦CD＝15°，AD＝5m，所以．解得AC．答：AC的長度約為19.2m.26.（2018湖南省株洲市，22，8）下圖為某區(qū)域部分交通線路圖，其中直線l1∥l2∥l3，直線l與直線l1、l2、l3都垂直，垂足分別為點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C，（高速線右側(cè)邊緣），l2上的點(diǎn)M位于點(diǎn)A的北偏東30°方向上，且BM＝千米，l3上的點(diǎn)N位于點(diǎn)M的北偏東α方向上，且cosα＝，MN＝2千米，點(diǎn)A和點(diǎn)N是城際鐵路線L上的兩個(gè)相鄰的站點(diǎn)．道路線道路線l1道路線l2道路線l3αMNABC城際鐵路線L第22題圖（1）求l2和l3之間的距離；（2）若城際火車的平均時(shí)速為150千米/小時(shí)，求市民小強(qiáng)乘坐城際火車從站點(diǎn)A到站點(diǎn)N需要多少小時(shí)？（結(jié)果用分?jǐn)?shù)形式表示）【思路分析】（1）直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出DM的長即可得出答案；（2）添加輔助線，得到包含MN的直角三角形，再解直角三角形即可．【解題過程】（1）過點(diǎn)M作MD⊥NC于點(diǎn)D．∵cosα＝，MN＝2千米，∴cosα＝．解得DM＝2（千米）．2分答：l2和l3之間的距離為2千米．（2）∵點(diǎn)M位于點(diǎn)A的北偏東30°方向上，且BM＝千米．∴tan30°＝．解得AB＝3（千米）．可得AC＝3＋2＝5（千米）．4分∵M(jìn)N＝km，DM＝2千米，∴DN＝（千米）．則NC＝DN＋BM＝5（千米）．6分∴AN＝＝＝10（千米）．∵城際火車平均時(shí)速為150千米/小時(shí)，∴市民小強(qiáng)乘坐城際火車從站點(diǎn)A到站點(diǎn)N需要：小時(shí)．8分道路線道路線l1道路線l2道路線l3αMNABC城際鐵路線L第22題答圖D【知識點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用?方向角問題27.（2018遼寧省撫順市，題號21，分值12）如圖，BC是路邊坡角30°，長為10米的一道斜坡，在坡頂燈桿CD的頂端D處有一探射燈，射出的邊緣光線DA和DB與水平路面AB所成的夾角∠DAN和∠DBN分別是37°和60°（圖中的點(diǎn)A，B，C，D，M，N均在同一平面內(nèi)，CM∥AN）.（1）求燈桿CD的高度；（2）求AB的長度(結(jié)果精確到0.1米）.(參考數(shù)據(jù)：)【思路分析】（1）延長DC交AN于E，根據(jù)題意，得∠DBN=60°，BC=10米，∠CBN=30°，CM∥AN，∴∠BDE=30°，∠DEB=90°.∴CE=BC=5米,BE=BC=米.∴DE=BC=15米.∵DE=DC+CE,∴CD=10米.（2）由（1）可知，DE=15米，BE=米.由AE=AB+BE，tan∠DAN=,∠DAN=37°，即可求出AB的長度.【解題過程】解：（1）延長DC交AN于E，∵∠DBN=60°，BC=10米，∠CBN=30°，∠DCM=90°，CM∥AN，∴∠BDE=30°，∠DEB=90°.∴CE=BC=5米,BE==BC=米.∴tan∠DBE==,解得CD=10米.（2）由（1）可知，DE=15米，BE=米.∵AE=AB+BE，tan∠DAN=,∠DAN=37°，∴,解得AB≈11.4米.【知識點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用—坡度，銳角三角函數(shù)的定義，特殊角三角函數(shù)值.28.（2018·寧夏，21，6）已知點(diǎn)E為正方形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)C作CN⊥BE，垂足為M，交AB于點(diǎn)N．（1）求證：△ABE≌△BCN；（2）若N為AB的中點(diǎn)，求tan∠ABE．【思路分析】（1）先利用正方形的性質(zhì)，得AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，再利用CN⊥BE，結(jié)合同角的余角相等的性質(zhì)，得∠ABE＝∠BCN，最后利用兩角及夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等即可證明△ABE≌△BCN；（2）由線段中點(diǎn)定義，得BN＝AB，再根據(jù)△ABE≌△BCN，得AE＝BN，最后利用正切函數(shù)定義即可得到tan∠ABE的值．【解題過程】解及證：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°．∴∠ABE＋∠CBM＝90°．∵CN⊥BE，∴∠BCN＋∠CBM＝90°．∴∠ABE＝∠BCN．在△ABE和△BCN中，，∴△ABE≌△BCN（ASA）．（2）∵△ABE≌△BCN，∴AE＝BN．∵N為AB的中點(diǎn)，∴BN＝AB．在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝＝．【知識點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定；銳角三角函數(shù)29.（2018四川眉山，22，8分）知識改變世界，科技改變生活。導(dǎo)航裝備的不斷更新極大方便了人們的出行．如圖，某校組織學(xué)生乘車到黑龍灘（用C表示）開展社會實(shí)踐活動(dòng)，車到達(dá)A地后，發(fā)現(xiàn)C地恰好在A地的正北方向，且距離A地13千米，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏東60°方向行駛至B地，再沿北偏西37°方向行駛一段距離才能到達(dá)C地，求B、C兩地的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈)【思路分析】本題考查銳角三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過作高將原三角形分割成兩個(gè)直角三角形，設(shè)線段的長，運(yùn)用三角函數(shù)表示出其余各邊的長，最后列方程解決問題．【解答過程】過B作BD⊥AC，垂足為D，設(shè)AD＝x，在Rt△ABD中，tan∠A＝，即：∴BD＝，在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，即：，∴CD＝，＋x＝13，解方程得：x＝．∴BD＝12－，在Rt△BCD中，cos∠CBD＝，即：，∴BC＝．答：B、C兩地的距離為（）千米．30.（2018年浙江省義烏市，21，10）如圖1，窗框和窗扇用“滑