專題08基本不等式（六大題型）

專題08基本不等式【題型歸納目錄】題型一：對(duì)基本不等式的理解及簡(jiǎn)單應(yīng)用題型二：利用基本不等式比較大小題型三：利用基本不等式證明不等式題型四：利用基本不等式求最值（1）直接法求最值（2）常規(guī)湊配法求最值（3）消參法求最值（4）換元求最值（5）“1”的代換求最值（6）條件等式求最值題型五：利用基本不等式求解恒成立問(wèn)題題型六：基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：基本不等式1、對(duì)公式及的理解．（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實(shí)數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；（2）取等號(hào)“=”的條件在形式上是相同的，都是“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)”．2、由公式和可以引申出常用的常用結(jié)論①（同號(hào)）；②（異號(hào)）；③或知識(shí)點(diǎn)詮釋：可以變形為：，可以變形為：．知識(shí)點(diǎn)二：基本不等式的證明方法一：幾何面積法如圖，在正方形中有四個(gè)全等的直角三角形．設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為、，那么正方形的邊長(zhǎng)為．這樣，4個(gè)直角三角形的面積的和是，正方形的面積為．由于4個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：．當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即時(shí)，正方形縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有．得到結(jié)論：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）特別的，如果，，我們用、分別代替、，可得：如果，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）．通常我們把上式寫作：如果，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）方法二：代數(shù)法∵，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）．知識(shí)點(diǎn)詮釋：特別的，如果，，我們用、分別代替、，可得：如果，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）．通常我們把上式寫作：如果，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）．知識(shí)點(diǎn)三：基本不等式的幾何意義如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，，，過(guò)點(diǎn)作交圓于點(diǎn)D，連接、．易證，那么，即．這個(gè)圓的半徑為，它大于或等于，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與圓心重合，即時(shí)，等號(hào)成立．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、在數(shù)學(xué)中，我們稱為的算術(shù)平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù)．因此基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．2、如果把看作是正數(shù)的等差中項(xiàng)，看作是正數(shù)的等比中項(xiàng)，那么基本不等式可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)．知識(shí)點(diǎn)四：用基本不等式求最大（?。┲翟谟没静坏仁角蠛瘮?shù)的最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三取等．①一正：函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、兩個(gè)不等式：與成立的條件是不同的，前者要求a，b都是實(shí)數(shù)，后者要求a，b都是正數(shù)．2、兩個(gè)不等式：與都是帶有等號(hào)的不等式，對(duì)于“當(dāng)且僅當(dāng)……時(shí)，取“=”號(hào)這句話的含義要有正確的理解．3、基本不等式的功能在于“和積互化”．若所證不等式可整理成一邊是和，另一邊是積的形式，則考慮使用平均不等式；若對(duì)于所給的“和式”中的各項(xiàng)的“積”為定值，則“和”有最小值，對(duì)于給出的“積式”中的各項(xiàng)的“和”為定值，則“積”有最大值．4、利用兩個(gè)數(shù)的基本不等式求函數(shù)的最值必須具備三個(gè)條件：①各項(xiàng)都是正數(shù)；②和（或積）為定值；③各項(xiàng)能取得相等的值．5、基本不等式在解決實(shí)際問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用，在應(yīng)用時(shí)一般按以下步驟進(jìn)行：①先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；②建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題；③在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大或最小值；④寫出正確答案．【典例例題】題型一：對(duì)基本不等式的理解及簡(jiǎn)單應(yīng)用例1．（2023·福建寧德·高一福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù).通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無(wú)字證明；如圖所示圖形，點(diǎn)、在圓上，點(diǎn)在直徑上，且，，于點(diǎn)，設(shè)，，該圖形完成，的調(diào)和平均數(shù)、平方平均數(shù)的線段分別是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】由圖形可知：，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，因?yàn)椋?，則，即，所以圖中表示，的調(diào)和平均數(shù)、平方平均數(shù)的線段分別是，，故選：C例2．（2023·上海靜安·高一校考期中）給出下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（

）①已知，則成立；②已知且，則成立；③已知，則的最小值為2；④已知，，則成立．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，①中的不等式是錯(cuò)誤的，①錯(cuò)；因?yàn)榕c同號(hào)，所以是正確的，且，即時(shí)等號(hào)成立，所以②中的基本不等式計(jì)算是正確的，②對(duì)；（當(dāng)時(shí)，無(wú)解，等號(hào)不成立），故③錯(cuò)；因?yàn)?，所以且，且，即時(shí)等號(hào)成立，所以④中的基本不等式運(yùn)算是正確的，④對(duì)．故選:B．例3．（2023·上海普陀·高一校考期中）下列不等式中等號(hào)可以取到的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，故等號(hào)不成立，故A不符合；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，故等號(hào)不成立，故B不符合；對(duì)于C，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故C符合；對(duì)于D，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即，故等號(hào)不成立，故D不符合.故選：C.變式1．（2023·北京豐臺(tái)·高一北京市第十二中學(xué)校考期中）下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，的最小值是C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，的最小值為1【答案】C【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故C正確，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤，故選：C題型二：利用基本不等式比較大小例4．（2023·重慶沙坪壩·高一重慶市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿足，則稱x比y遠(yuǎn)離m．(1)解不等式(2)若比遠(yuǎn)離，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(3)若，，試問(wèn)：與哪一個(gè)更遠(yuǎn)離，并說(shuō)明理由．【解析】（1）令，即有，所以x比3遠(yuǎn)離0，從數(shù)軸上可得x的取值范圍是；（2）由x比遠(yuǎn)離1，則，即，∴或，解得或，∴的取值范圍是；（3）因?yàn)?，有，因?yàn)?，所以，從而，①?dāng)時(shí)，，即；②當(dāng)時(shí)，，又，則，∴，即，綜上，，即比x更遠(yuǎn)離m．例5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若，且，試找出2，2ab中的最大者．【解析】∵，且，∴,，∴四個(gè)數(shù)中最大者應(yīng)從中選擇．而，∵，∴，∴，即最大.例6．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）某種產(chǎn)品的兩種原料相繼提價(jià)，產(chǎn)品生產(chǎn)者決定根據(jù)這兩種原料提價(jià)的百分比，對(duì)產(chǎn)品分兩次提價(jià)，現(xiàn)在有三種提價(jià)方案：方案甲：第一次提價(jià)，第二次提價(jià)；方案乙：第一次提價(jià)，第二次提價(jià)；方案丙：第一次提價(jià)，第二次提價(jià).其中，比較上述三種方案，哪一種提價(jià)少？哪一種提價(jià)多？【解析】不妨設(shè)提價(jià)前的價(jià)格為1，則方案甲：兩次提價(jià)后的價(jià)格為：方案乙：兩次提價(jià)后的價(jià)格為：方案丙：由于，由均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故，且，故等號(hào)不成立，即因此方案丙提價(jià)最多，方案甲、乙少，且提價(jià)一樣變式2．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）（1），比較與的大小；（2）已知，求代數(shù)式的最小值及取最小值時(shí)的值.【解析】（1），，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以.（2）由（1）知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，顯然要使成立，需滿足，解得綜上可知，當(dāng)，代數(shù)式取得最小值20.變式3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知a>b>c，你能比較出4與(a-c)的大小嗎？【解析】(a-c)≥4，理由如下：因?yàn)閍-c=(a-b)+(b-c)，所以[(a-b)+(b-c)]=2++，又a>b>c，所以+≥2，故(a-c)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)，取等號(hào).題型三：利用基本不等式證明不等式例7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）證明：（1）；（2）.【解析】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立.（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，顯然的值不存在，所以等號(hào)不成立，所以.例8．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知，求證.【解析】∵，①，②，③①+②+③得；.∴(當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立).例9．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）利用基本不等式證明：已知都是正數(shù)，求證：【解析】都是正數(shù)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即.變式4．（2023·高一單元測(cè)試）若，則下列不等式哪些是成立的？若成立，給予證明；若不成立，請(qǐng)舉出反例.（1）；（2）；（3）.【解析】（1）正確（2）正確（3）正確題型四：利用基本不等式求最值（1）直接法求最值例10．（2023·新疆省直轄縣級(jí)單位·高一校考開(kāi)學(xué)考試）若，，且，則的最大值為（

）A．5 B．6 C．8 D．9【答案】D【解析】因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為9.故選:D.例11．（2023·新疆昌吉·高一?？计谀┮阎?，且，則的最大值為（

）A． B．25 C．36 D．49【答案】C【解析】因?yàn)?，，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，故的最大值為36.故選：C例12．（2023·云南·高一統(tǒng)考期末）已知，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．5【答案】D【解析】由可知，利用基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為5.故選：D變式5．（2023·江蘇連云港·高一期末）設(shè)，，且，求的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，且，所以，，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故選：A.變式6．（2023·廣西桂林·高一統(tǒng)考期末）設(shè)x，，且，則的最小值為（

）A．10 B． C． D．18【答案】D【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：D.（2）常規(guī)湊配法求最值變式7．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．12【答案】A【解析】因?yàn)樗裕?當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立故最小值為，故選：A變式8．（2023·黑龍江哈爾濱·高一?？茧A段練習(xí)）若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A【解析】因，則，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以當(dāng)時(shí)，有最大值.故選：A變式9．（2023·天津薊州·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最小值是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以函數(shù)的最小值是.故選：D.變式10．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，則的最值情況是（

）A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2【答案】B【解析】若，則，當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，所以若時(shí)，有最小值為6，無(wú)最大值.故選：B.（3）消參法求最值變式11．（2023·安徽·涇縣中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)、、滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、、滿足，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故的最大值為.故選：C.變式12．（2023·貴州遵義·高一期末）負(fù)實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)樨?fù)實(shí)數(shù)、滿足，則，可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故的最小值為.故選：A.變式13．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是（

）A． B．3 C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，令，則，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值是.故選：A.（4）換元求最值變式14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的最小值（1）；（2）.【解析】（1）∵（當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時(shí)取等號(hào)）的最小值為3；（2）令，則，當(dāng)且僅當(dāng)即t=3時(shí)取等號(hào)y的最小值為10變式15．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）求下列函數(shù)的最小值（1）；（2）；（3）.【解析】（1）∵（當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時(shí)取“=”）即的最小值為3；（2）令，則在是單增，∴當(dāng)t=2時(shí)，y取最小值；即y的最小值為（3）令，則可化為：當(dāng)且僅當(dāng)t=3時(shí)取“=”即y的最小值為10變式16．（2023·全國(guó)·高一單元測(cè)試）若正數(shù)a，b滿足，則的最小值是__．【答案】【解析】設(shè)，則，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，取得最小值．故答案為：．（5）“1”的代換求最值變式17．（2023·高一校考課時(shí)練習(xí)）已知，，，則的最小值是（

）A． B．4 C． D．5【答案】C【解析】，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），故選：C變式18．（2023·河南·高一校聯(lián)考期中）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．3 B．1 C．9 D．【答案】B【解析】因?yàn)?，變形?由題意，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故選：B.變式19．（2023·吉林延邊·高一統(tǒng)考期末）已知，，且，則的最小值是（

）A．23 B．26 C．22 D．25【答案】D【解析】由題意得，，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值是25，故選：D變式20．（2023·湖南衡陽(yáng)·高一衡陽(yáng)市一中?？计谥校┤粽龜?shù)，b滿足，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解析】正數(shù)，b滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為8.故選：C變式21．（2023·河南安陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）若，，且，則的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為1．故選：B．變式22．（2023·河南洛陽(yáng)·高一校考階段練習(xí)）正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C．5 D．【答案】B【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故的最小值是.故選:B.變式23．（2023·青海玉樹(shù)·高一校聯(lián)考期末）若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】由題設(shè)，且，，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以目標(biāo)式的最小值為4.故選：A變式24．（2023·江西吉安·高一永新中學(xué)?？计谥校┤?，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)檎龜?shù)、滿足，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：D.變式25．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A．20 B．32 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，則，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即（舍）或時(shí)取等，故的最小值為.故選：D變式26．（2023·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，若，則的最小值是（

）A．7 B．9 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是.故選：D.變式27．（2023·四川南充·高一四川省南充市白塔中學(xué)校考期中）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，則，.當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.故選：C（6）條件等式求最值變式28．（2023·山東濰坊·二模）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以，即，所以，即，因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以，因此，故的最大值為，此時(shí)，故選：B.題型五：利用基本不等式求解恒成立問(wèn)題例13．（2023·北京豐臺(tái)·高一北京市第十二中學(xué)?？计谥校┮阎遥艉愠闪?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______________．【答案】【解析】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為9，因此，故答案為：.例14．（2023·廣東深圳·高一深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）?？计谥校┎坏仁剑ǎ?duì)恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】由題意得對(duì)恒成立，只需即可，因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以，即，解得.故答案為：.例15．（2023·福建泉州·高一福建省德化第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，若不等式恒成立，則的最大值為_(kāi)_________．【答案】【解析】，，，恒成立，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），，解得：，則的最大值為.故答案為：.變式29．（2023·貴州遵義·高一遵義四中校考階段練習(xí)）若正實(shí)數(shù)，滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】?jī)蓚€(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，，若不等式恒成立，則應(yīng)，解得，，故答案為：．變式30．（2023·上海閔行·高一上海市七寶中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若不等式對(duì)于任意正數(shù)成立，則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)__________.【答案】【解析】因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意正數(shù)恒成立，所以對(duì)任意正數(shù)恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，，即實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為：.變式31．（2023·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則a的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，故.故答案為：變式32．（2023·江蘇泰州·高一?？茧A段練習(xí)），，且恒成立，則的最大值為_(kāi)_．【答案】4【解析】由于恒成立，且即恒成立只要的最小值即可，，故，因此故答案為：4．變式33．（2023·江蘇蘇州·高一常熟中學(xué)?？计谥校┤魧?shí)數(shù)滿足，且不等式恒成立，則c的取值范圍是________.【答案】【解析】，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立，又不等式恒成立，，的取值范圍是．故答案為：．題型六：基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用例16．（2023·江蘇揚(yáng)州·高一?？茧A段練習(xí)）已知、、、為正實(shí)數(shù)，利用平均不等式證明（1）（2）并指出等號(hào)成立條件，然后解（3）中的實(shí)際問(wèn)題．(1)請(qǐng)根據(jù)基本不等式，證明：；(2)請(qǐng)利用（1）的結(jié)論，證明：；(3)如圖，將邊長(zhǎng)為米的正方形硬紙板，在它的四個(gè)角各減去一個(gè)小正方形后，折成一個(gè)無(wú)蓋紙盒．如果要使制作的盒子容積最大，那么剪去的小正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)為多少米?【解析】（1）證明：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立,所以當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（2）由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令,得，即，故.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（3）做成的長(zhǎng)方體的底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，高為.所以.由（2）中已證的不等式，可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以，因此，綜上所述，當(dāng)米，長(zhǎng)方體盒子的容積取到最大值立方米.例17．（2023·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）近日，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發(fā)，為最大程度減少人員流動(dòng)，減少疫情發(fā)生的可能性，高郵政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動(dòng)，鼓勵(lì)企業(yè)在國(guó)慶期間留住員工在本市過(guò)節(jié)并加班追產(chǎn)，為此，高郵政府決定為波司登制衣有限公司在國(guó)慶期間加班追產(chǎn)提供（萬(wàn)元）的專項(xiàng)補(bǔ)貼．波司登制衣有限公司在收到高郵政府（萬(wàn)元）補(bǔ)貼后，產(chǎn)量將增加到（萬(wàn)件）．同時(shí)波司登制衣有限公司生產(chǎn)（萬(wàn)件）產(chǎn)品需要投入成本為（萬(wàn)元），并以每件元的價(jià)格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出．注：收益=銷售金額政府專項(xiàng)補(bǔ)貼成本．(1)求波司登制衣有限公司國(guó)慶期間，加班追產(chǎn)所獲收益（萬(wàn)元）關(guān)于政府補(bǔ)貼（萬(wàn)元）的表達(dá)式；(2)高郵政府的專項(xiàng)補(bǔ)貼為多少萬(wàn)元時(shí)，波司登制衣有限公司國(guó)慶期間加班追產(chǎn)所獲收益（萬(wàn)元）最大？【解析】（1）．因?yàn)?，所以?）因?yàn)椋忠驗(yàn)椋?，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）所以即當(dāng)萬(wàn)元時(shí)，取最大值30萬(wàn)元．例18．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）為迎接四川省第十六屆少數(shù)民族傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)會(huì)，州民族體育場(chǎng)進(jìn)行了改造翻新，在改造州民族體育場(chǎng)時(shí)需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限為15年，已知每千套座椅建造成本是8萬(wàn)元，設(shè)每年的管理費(fèi)用為萬(wàn)元與總座椅數(shù)千套，兩者滿足關(guān)系式：．15年的總維修費(fèi)用為80萬(wàn)元，記為15年的總費(fèi)用．（總費(fèi)用=建造成本費(fèi)用+使用管理費(fèi)用+總維修費(fèi)用）．請(qǐng)問(wèn)當(dāng)設(shè)置多少套座椅時(shí)，15年的總費(fèi)用最小，并求出最小值．【解析】由題意得：建造成本費(fèi)用為，使用管理費(fèi)：，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即千套時(shí)，取得最小值為180萬(wàn)元．變式34．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知某公司計(jì)劃生產(chǎn)一批產(chǎn)品總共萬(wàn)件（），其成本為（萬(wàn)元/萬(wàn)件），其廣告宣傳總費(fèi)用為萬(wàn)元，若將其銷售價(jià)格定為萬(wàn)元/萬(wàn)件．(1)將該批產(chǎn)品的利潤(rùn)（萬(wàn)元）表示為的函數(shù)；(2)當(dāng)廣告宣傳總費(fèi)用為多少萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元?【解析】（1），；（2），，，當(dāng)即宣傳費(fèi)用為萬(wàn)元時(shí)，利潤(rùn)最大為萬(wàn)元．變式35．（2023·安徽蕪湖·高一校考階段練習(xí)）某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級(jí)污水處理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造單價(jià)為每米400元，中間一條隔壁建造單價(jià)為每米100元，池底建造單價(jià)每平方米60元（池壁忽略不計(jì)）.問(wèn)：污水處理池的長(zhǎng)設(shè)計(jì)為多少米時(shí)可使總價(jià)最低.【解析】設(shè)污水處理池的長(zhǎng)為x米，則寬為米.總造價(jià)（元）當(dāng)且僅當(dāng)（），即時(shí)等號(hào)成立．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋傻?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為.故選：C.2．（2023·河南信陽(yáng)·高一校聯(lián)考期中）設(shè)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．故選：B.3．（2023·廣東佛山·高一佛山市榮山中學(xué)?？计谥校┤裘}“對(duì)任意的，恒成立”為真命題，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，對(duì)任意的，恒成立，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以.故選：D4．（2023·湖南·高一桃江縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）若正實(shí)數(shù)、滿足，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：A.5．（2023·河南·高一校聯(lián)考期中）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．3 B．1 C．9 D．【答案】B【解析】因?yàn)?，變形?由題意，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故選：B.6．（2023·江蘇南京·高一南京市第二十九中學(xué)校考期中）實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)；故選：C.7．（2023·黑龍江大慶·高一大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某工廠過(guò)去的年產(chǎn)量為，技術(shù)革新后，第一年的年產(chǎn)量增長(zhǎng)率為，第二年的年產(chǎn)量增長(zhǎng)率為，這兩年的年產(chǎn)量平均增長(zhǎng)率為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知：，即，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，故選：B.8．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若不等式對(duì)任意正數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)x的最大值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】C【解析】由題意不等式對(duì)任意正數(shù)恒成立，即恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，即實(shí)數(shù)x的最大值為，故選：C二、多選題9．（2023·安徽·高一校聯(lián)考期中）已知正實(shí)數(shù)、滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，對(duì)于A選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，D對(duì).故選：AD.10．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知.若，則（

）A．的最小值為10 B．的最小值為9C．的最大值為 D．的最小值為【答案】BC【解析】對(duì)選項(xiàng)A，B，因?yàn)橐阎裕?dāng)且僅當(dāng)，即，取等號(hào)，故A錯(cuò)誤，B正確.對(duì)選項(xiàng)C，D，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC11．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．的最大值為1 B．的最大值為2C．的最小值為2 D．的最大值為1【答案】BCD【解析】因?yàn)椋?，，所以，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，所以的最大值為1，故A正確；當(dāng)，時(shí)，，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，即有最大值為2，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：BCD．12．（2023·湖南株洲·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)a，b均為正數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若則有最大值 B．若則有最大值8C．若則 D．若則【答案】AD【解析】因?yàn)樗?，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以，則有，A正確；由可得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，又由可得又因?yàn)?，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最小值8，B錯(cuò)誤；因?yàn)樗?，所以，C錯(cuò)誤；等價(jià)于，等價(jià)于，也等價(jià)于成立，所以成立，D正確，故選:AD.三、填空題13．（2023·天津和平·高一耀華中學(xué)?？计谥校┮阎龑?shí)數(shù)a，b滿足則ab的最大值為_(kāi)_________.【答案】5【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，解得，則的最大值5．故答案為：5．14．（2023·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考期中）如圖，一份印刷品的排版面積（矩形）為，它的兩邊都留有寬為的空白，頂部和底部都留有寬為的空白，若，則紙張的用紙面積最少為_(kāi)_____