概率與理論分布

關于概率與理論分布第1頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三第一節(jié)事件、概率和隨機變量◆

事件和事件發(fā)生的概率◆

事件之間的關系◆

計算概率的法則◆

隨機變量第四章第2頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三一、事件和事件發(fā)生的概率事件：每種可能出現(xiàn)的情況稱為事件。它是指事物發(fā)生某種情況或試驗中獲得某種結果。概率：就是用來度量每一事件出現(xiàn)的可能性大小的數(shù)字特征。頻率：在n次試驗中，事件Ａ出現(xiàn)的次數(shù)叫做Ａ在這n次試驗中的頻數(shù)，而Ａ的頻數(shù)與試驗次數(shù)的比叫事件Ａ在n次試驗中出現(xiàn)的頻率．記為第3頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

頻率和概率是不相同的，只有當試驗次數(shù)無限增大時，任一事件的頻率趨于穩(wěn)定，這時頻率又稱統(tǒng)計概率．這時的頻率和概率才是一樣的．調查株數(shù)（n）５２５５０１００２００５００１０００１５００２０００受害株數(shù)（a）２１２１５３３７２１７７３５１５２５７０４植株受害頻率（a/n）0.400.480.300.330.360.3540.3510.3500.352第4頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

隨機事件：指在同一組條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。也就是說，在某一特定的條件下，可能這樣出現(xiàn)也可能那樣出現(xiàn)，可能發(fā)生的只是其中的幾種情況，這種事件稱為隨機事件。

第5頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三二、事件之間的關系１．和事件：事件A和事件B至少有一個發(fā)生構成的新事件稱事件A和事件B的和事件。記作A+B。２．積事件：事件A和事件B同時發(fā)生構成的新事件，又叫變事件，記作AB３．互斥事件：A和B不可能同時存在（或發(fā)生）即AB為不可能事件，那么稱事件A和事件B是互斥事件。４．對立事件：事件A和B不可能同時發(fā)生，但必須發(fā)生其一，即A+B為必然事件，AB為不可能事件，這樣A、B互為對立事件B是A的對立,記為第6頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三５．完全事件系：n個事件兩兩互斥，且每次試驗必有其一出現(xiàn)。則這n個事件構成完全事件系。６．事件的獨立性（獨立事件）：事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的可能性，反之亦然，那么就稱事件A對于事件B是獨立的。簡稱獨立事件。

第7頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三三、計算概率的法則法則1：互斥事件的加法：假定兩互斥事件的概率分別為P（A）和P（B）。則事件A與B的和事件的概率等于事件A的概率與事件B的概率之和，即P(A+B)=P(A)+P(B)。加法定理對于多個兩兩互斥的事件也成立。P(A+B+…+N)=P(A)+P(B)+…P(N)。推理1：完全事件系的概率：完全事件系的和事件概率等于1。P(A+B+…N)=P(A)+P(B)+…P(N)=1。推理2：對立事件的概率：對立事件的概率互補。若事件A的概率為P（A），那么其對立事件的概率為

因為第8頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三法則2：獨立事件的乘法：假定P（A）和P（B）是兩個獨立事件A與B各自出現(xiàn)的概率，則事件A與B同時出現(xiàn)的概率就等于兩獨立事件出現(xiàn)概率的乘積，即，乘法定理對于n個相互獨立的事件也成立，即推理1：若n個事件A、B、…N彼此獨立，且當P(A)=P(B)=…P(N)時，則P(AB…N)=[P(A)]n。推理2：非獨立事件的乘法：如果事件A和B是非獨立的，那么事件A與B同時發(fā)生的概率為事件A的概率P（A）乘以事件A發(fā)生的情況下事件B發(fā)生的概率P（B/A），即Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ／Ａ）

第9頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三四、隨機變量

隨機變量：是指從隨機變數(shù)中所取得的某一實數(shù)值。隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量第10頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三離散型隨機變量：試驗只有幾個確定的結果，并可一一列出，變量y的取值可用實數(shù)表示，且y取某一值時，其概率是確定的，這種類型的變量稱為離散型隨機變量。將這種變量所有可能取值及其對應概率一一列出所形成的分布稱離散型隨機變量的概率分布，也可用函數(shù)f(y)表示，稱為概率函數(shù)。連續(xù)型隨機變量：變量y的取值僅是一個范圍，且y在該范圍內取值時，其概率是確定的。這時取y為一固定值是無意義的，因為在連續(xù)尺度上一點的概率幾乎為0。這種類型的變量稱為連續(xù)型隨機變量。第11頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三對于隨機變量，若存在非負可積函數(shù)對任意a和b(a<b)都有則稱y為連續(xù)型隨機變量，f(y)稱為y的概率密度函數(shù)或分布密度。因此，它的分布由密度函數(shù)所確定。若已知密度函數(shù)，則通過定積分可求得連續(xù)型隨機變量在某一區(qū)間的概率。第12頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三第二節(jié)二項式分布◆

二項總體、二項式分布◆

二項式分布的概率的計算方法◆

二項式分布的形狀和參數(shù)

第四章第13頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三一、二項總體、二項式分布二項總體：這種由“非此即彼”的事件構成的總體，叫做二項總體。為便于研究，通常將二項總體中的“此”事件以變量“1”表示，記為概率p；將“彼”事件以變量“0”表示，具概率q。因此二項總體又稱為“0、1”總體，其概率為p+q=1或q=1-p。第四章第14頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三二項式分布：如果從二項總體抽取n個個體，可能得到y(tǒng)個個體屬于“此”，那么屬于“彼”的個體為n-y。由于是隨機獨立地從總體中抽取個體的，每項一次抽取的個體均有可能屬于“此”，也有可能屬于“彼”，那么得到的y個“此”個體的數(shù)目可能為0、1、2、…n個。此處將y作為間斷性資料的變量，則y共有n+1種取值，這n+1種取值又各有其概率，因而由變量及其概率就構成了一個分布，這個分布叫做二項式概率分布，簡稱二項式分布或二項分布。第15頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三二、二項式分布概率的計算方法

舉例說明：大豆子葉顏色由2對隱性重疊基因控制，在其F2代黃子葉表現(xiàn)為顯性，黃和青以3:1比例分離。（以二粒莢為例來說明）。全部可能的結果有四種：⑴兩粒都是黃的（YY）3/4×3/4=9/16⑵第一次是青的第二次是黃的（GY）1/4×3/4=3/16⑶第一次是黃的第二次是青的（YG）3/4×1/4=3/16⑷兩粒都是青的（GG）1/4×1/4=1/16假設y(黃子葉粒數(shù)）為變量，黃色子葉的概率為0.75，青色子葉的概率為0.25。那么其概率分別為（見上面）。第16頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

如果一粒豆莢中有三粒種子，那么就有8種可能的情況。⑴全部是青子葉（GGG）1/64⑵僅有一粒黃子葉種子（GGY、GYG、YGG）9/64⑶具有兩粒黃了葉種子（YYG、YGY、GYY）27/64⑷全部是黃子葉種子（YYY）27/64數(shù)學上的組合公式為n相當于豆莢內種子數(shù)，y相當于黃子葉種子數(shù)。因此由此可以推知二項分布的概率函數(shù)為：第17頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

例如：某種昆蟲在某地區(qū)的死亡率為40%，即p=0.4，現(xiàn)對這種害蟲用一種新藥進行治療試驗，每次抽樣10頭為一組治療。試問如新藥無療效，則在10頭中死3頭、2頭、1頭以及全部愈好的概率為多少？按照上面的公式進行計算：7頭愈好，3頭死去的概率為：8頭愈好，2頭死去的概率為：9頭愈好，1頭死去的概率為：10頭全部愈好的概率為：

第18頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三受害株數(shù)概率函數(shù)P（y）P(y)F(y)nP(y)P（0）0.11600.116046.40P（1）0.31240.4284124.96P（2）0.33640.7648134.56P（3）0.18110.954972.44P（4）0.04880.994719.52P（5）0.00531.00002.12如果每次抽5個單株，抽n=400次，則理論上我們能夠得到y(tǒng)=2的次數(shù)應為：理論次數(shù)=400╳P（2）=400╳0.3364=134.56（次）對于任意y，其理論次數(shù)為：理論次數(shù)=nP(y)。

第19頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三三、二項式分布的形狀和參數(shù)

對于一個二項式總體，如果p=q，二項式分布呈對稱形狀，如果pq，二項式分布則表現(xiàn)偏斜形狀。但如果n時，即使pq，二項式總體分布的情況也趨于對稱形狀，所以二項分布的形狀是由n和p兩個參數(shù)決定的。二項總體的平均數(shù)、方差2和標準差的公式為：=np，2=npq，。例如上述棉田受害調查結果，n=5,p=0.35，所以可求得總體參數(shù)為：=np=5×0.35=1.75株，株。

第20頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三第21頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三第三節(jié)

普松分布

普松分布的平均數(shù)、方差和標準差為：=m,2=m,，這一分布包括一個參數(shù)m（m=np），而且其分布的的形狀與m的大小有關，m值越小分布越偏斜，當m值適當大時，則分布趨于對稱形狀。普松分布的概率函數(shù)為:

第四章第22頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三第四節(jié)

正態(tài)分布

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正態(tài)分布的研究意義★二項式分布的極限——正態(tài)分布★正態(tài)分布曲線的特性★計算正態(tài)分布曲線區(qū)間面積或概率的方法

第四章第23頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三一、正態(tài)分布的研究意義

⑴自然界許多現(xiàn)象趨于正態(tài)分布⑵許多其他非正態(tài)分布的資料在一定條件下也接近正態(tài)分布⑶絕少部分資料的抽樣分布，當n適當大時，接近正態(tài)分布

第24頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三二、二項式分布的極限——正態(tài)分布

因為正態(tài)分布是二項分布的極限，所以可以由二項分布導出正態(tài)分布。對于二項分布，當p=q=0.5時，無論n值大小，二項分布的多邊形都必定是對稱的；如pq，而n又很大時，這一多邊仍然是對稱的。當n時，則可進一步推導出一個表示觀察值y出現(xiàn)的概率函數(shù)方程：

第25頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三三、正態(tài)分布曲線的特性

⒈它是一條對稱分布的曲線，且對稱軸為y=，即以平均數(shù)為對稱軸。⒉隨著和的不同，呈現(xiàn)一系列曲線而并不是一條曲線。確定它在y軸上的位置，確定它的變異度。不同和的總體具有不同的曲線位置和變異度，所以任何一個正態(tài)分布曲線，必須在確定了和后，才能確定曲線位置和形狀。⒊從原點所豎立的縱軸是FN(y)的最大值y0，，所以正態(tài)分布曲線的算術平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)三者是相等的，都合于點上。且多數(shù)次數(shù)分布在平均數(shù)附近。

第四章第26頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三⒋正態(tài)分布曲線在-=1處有拐點，曲線兩尾向左右延伸，永不接觸，所以y時，分布曲線以y軸為漸近線。⒌正態(tài)分布曲線與軸之間的總面積等于1。⒍正態(tài)曲線的任何兩個y的定值間的面積或概率完全以曲線和而確定。第27頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三下面為幾對常見的區(qū)間與其相對應的面積或概率的數(shù)字：

區(qū)間

1

面積或概率=0.682720.954530.99731.9600.9500

2.5760.9900

第28頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三四、計算正態(tài)分布曲線區(qū)間面積或概率的方法

如果變數(shù)y取值介于a、b之間，且abP(ayb)或者簡寫為P(ayb)

可以通過正態(tài)分布曲線下區(qū)間的面積來表示其概率。我們知道求曲線下區(qū)間的面積，數(shù)學上通常用定積分來表示第29頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三先將y轉換為u

，轉化的公式為：例題假定y是一隨機變數(shù)，具有正態(tài)分布，平均數(shù)=30，標準差=5，試計算小于26，小于40的概率，或者介于26和40之間的概率以及大于40的概率。第30頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

查附表2，當=-0.8時，F(xiàn)N（26）=0.2119，說明這一分布從-到26范圍內的變量占全部變量數(shù)的21.19%，或者說y26的概