概率與理論分布

關(guān)于概率與理論分布第1頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三第一節(jié)事件、概率和隨機(jī)變量◆

事件和事件發(fā)生的概率◆

事件之間的關(guān)系◆

計(jì)算概率的法則◆

隨機(jī)變量第四章第2頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三一、事件和事件發(fā)生的概率事件：每種可能出現(xiàn)的情況稱為事件。它是指事物發(fā)生某種情況或試驗(yàn)中獲得某種結(jié)果。概率：就是用來度量每一事件出現(xiàn)的可能性大小的數(shù)字特征。頻率：在n次試驗(yàn)中，事件Ａ出現(xiàn)的次數(shù)叫做Ａ在這n次試驗(yàn)中的頻數(shù)，而Ａ的頻數(shù)與試驗(yàn)次數(shù)的比叫事件Ａ在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率．記為第3頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

頻率和概率是不相同的，只有當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)無限增大時(shí)，任一事件的頻率趨于穩(wěn)定，這時(shí)頻率又稱統(tǒng)計(jì)概率．這時(shí)的頻率和概率才是一樣的．調(diào)查株數(shù)（n）５２５５０１００２００５００１０００１５００２０００受害株數(shù)（a）２１２１５３３７２１７７３５１５２５７０４植株受害頻率（a/n）0.400.480.300.330.360.3540.3510.3500.352第4頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

隨機(jī)事件：指在同一組條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。也就是說，在某一特定的條件下，可能這樣出現(xiàn)也可能那樣出現(xiàn)，可能發(fā)生的只是其中的幾種情況，這種事件稱為隨機(jī)事件。

第5頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三二、事件之間的關(guān)系１．和事件：事件A和事件B至少有一個(gè)發(fā)生構(gòu)成的新事件稱事件A和事件B的和事件。記作A+B。２．積事件：事件A和事件B同時(shí)發(fā)生構(gòu)成的新事件，又叫變事件，記作AB３．互斥事件：A和B不可能同時(shí)存在（或發(fā)生）即AB為不可能事件，那么稱事件A和事件B是互斥事件。４．對立事件：事件A和B不可能同時(shí)發(fā)生，但必須發(fā)生其一，即A+B為必然事件，AB為不可能事件，這樣A、B互為對立事件B是A的對立,記為第6頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三５．完全事件系：n個(gè)事件兩兩互斥，且每次試驗(yàn)必有其一出現(xiàn)。則這n個(gè)事件構(gòu)成完全事件系。６．事件的獨(dú)立性（獨(dú)立事件）：事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的可能性，反之亦然，那么就稱事件A對于事件B是獨(dú)立的。簡稱獨(dú)立事件。

第7頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三三、計(jì)算概率的法則法則1：互斥事件的加法：假定兩互斥事件的概率分別為P（A）和P（B）。則事件A與B的和事件的概率等于事件A的概率與事件B的概率之和，即P(A+B)=P(A)+P(B)。加法定理對于多個(gè)兩兩互斥的事件也成立。P(A+B+…+N)=P(A)+P(B)+…P(N)。推理1：完全事件系的概率：完全事件系的和事件概率等于1。P(A+B+…N)=P(A)+P(B)+…P(N)=1。推理2：對立事件的概率：對立事件的概率互補(bǔ)。若事件A的概率為P（A），那么其對立事件的概率為

因?yàn)榈?頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三法則2：獨(dú)立事件的乘法：假定P（A）和P（B）是兩個(gè)獨(dú)立事件A與B各自出現(xiàn)的概率，則事件A與B同時(shí)出現(xiàn)的概率就等于兩獨(dú)立事件出現(xiàn)概率的乘積，即，乘法定理對于n個(gè)相互獨(dú)立的事件也成立，即推理1：若n個(gè)事件A、B、…N彼此獨(dú)立，且當(dāng)P(A)=P(B)=…P(N)時(shí)，則P(AB…N)=[P(A)]n。推理2：非獨(dú)立事件的乘法：如果事件A和B是非獨(dú)立的，那么事件A與B同時(shí)發(fā)生的概率為事件A的概率P（A）乘以事件A發(fā)生的情況下事件B發(fā)生的概率P（B/A），即Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ／Ａ）

第9頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三四、隨機(jī)變量

隨機(jī)變量：是指從隨機(jī)變數(shù)中所取得的某一實(shí)數(shù)值。隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量第10頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三離散型隨機(jī)變量：試驗(yàn)只有幾個(gè)確定的結(jié)果，并可一一列出，變量y的取值可用實(shí)數(shù)表示，且y取某一值時(shí)，其概率是確定的，這種類型的變量稱為離散型隨機(jī)變量。將這種變量所有可能取值及其對應(yīng)概率一一列出所形成的分布稱離散型隨機(jī)變量的概率分布，也可用函數(shù)f(y)表示，稱為概率函數(shù)。連續(xù)型隨機(jī)變量：變量y的取值僅是一個(gè)范圍，且y在該范圍內(nèi)取值時(shí)，其概率是確定的。這時(shí)取y為一固定值是無意義的，因?yàn)樵谶B續(xù)尺度上一點(diǎn)的概率幾乎為0。這種類型的變量稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。第11頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三對于隨機(jī)變量，若存在非負(fù)可積函數(shù)對任意a和b(a<b)都有則稱y為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(y)稱為y的概率密度函數(shù)或分布密度。因此，它的分布由密度函數(shù)所確定。若已知密度函數(shù)，則通過定積分可求得連續(xù)型隨機(jī)變量在某一區(qū)間的概率。第12頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三第二節(jié)二項(xiàng)式分布◆

二項(xiàng)總體、二項(xiàng)式分布◆

二項(xiàng)式分布的概率的計(jì)算方法◆

二項(xiàng)式分布的形狀和參數(shù)

第四章第13頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三一、二項(xiàng)總體、二項(xiàng)式分布二項(xiàng)總體：這種由“非此即彼”的事件構(gòu)成的總體，叫做二項(xiàng)總體。為便于研究，通常將二項(xiàng)總體中的“此”事件以變量“1”表示，記為概率p；將“彼”事件以變量“0”表示，具概率q。因此二項(xiàng)總體又稱為“0、1”總體，其概率為p+q=1或q=1-p。第四章第14頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三二項(xiàng)式分布：如果從二項(xiàng)總體抽取n個(gè)個(gè)體，可能得到y(tǒng)個(gè)個(gè)體屬于“此”，那么屬于“彼”的個(gè)體為n-y。由于是隨機(jī)獨(dú)立地從總體中抽取個(gè)體的，每項(xiàng)一次抽取的個(gè)體均有可能屬于“此”，也有可能屬于“彼”，那么得到的y個(gè)“此”個(gè)體的數(shù)目可能為0、1、2、…n個(gè)。此處將y作為間斷性資料的變量，則y共有n+1種取值，這n+1種取值又各有其概率，因而由變量及其概率就構(gòu)成了一個(gè)分布，這個(gè)分布叫做二項(xiàng)式概率分布，簡稱二項(xiàng)式分布或二項(xiàng)分布。第15頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三二、二項(xiàng)式分布概率的計(jì)算方法

舉例說明：大豆子葉顏色由2對隱性重疊基因控制，在其F2代黃子葉表現(xiàn)為顯性，黃和青以3:1比例分離。（以二粒莢為例來說明）。全部可能的結(jié)果有四種：⑴兩粒都是黃的（YY）3/4×3/4=9/16⑵第一次是青的第二次是黃的（GY）1/4×3/4=3/16⑶第一次是黃的第二次是青的（YG）3/4×1/4=3/16⑷兩粒都是青的（GG）1/4×1/4=1/16假設(shè)y(黃子葉粒數(shù)）為變量，黃色子葉的概率為0.75，青色子葉的概率為0.25。那么其概率分別為（見上面）。第16頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

如果一粒豆莢中有三粒種子，那么就有8種可能的情況。⑴全部是青子葉（GGG）1/64⑵僅有一粒黃子葉種子（GGY、GYG、YGG）9/64⑶具有兩粒黃了葉種子（YYG、YGY、GYY）27/64⑷全部是黃子葉種子（YYY）27/64數(shù)學(xué)上的組合公式為n相當(dāng)于豆莢內(nèi)種子數(shù)，y相當(dāng)于黃子葉種子數(shù)。因此由此可以推知二項(xiàng)分布的概率函數(shù)為：第17頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

例如：某種昆蟲在某地區(qū)的死亡率為40%，即p=0.4，現(xiàn)對這種害蟲用一種新藥進(jìn)行治療試驗(yàn)，每次抽樣10頭為一組治療。試問如新藥無療效，則在10頭中死3頭、2頭、1頭以及全部愈好的概率為多少？按照上面的公式進(jìn)行計(jì)算：7頭愈好，3頭死去的概率為：8頭愈好，2頭死去的概率為：9頭愈好，1頭死去的概率為：10頭全部愈好的概率為：

第18頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三受害株數(shù)概率函數(shù)P（y）P(y)F(y)nP(y)P（0）0.11600.116046.40P（1）0.31240.4284124.96P（2）0.33640.7648134.56P（3）0.18110.954972.44P（4）0.04880.994719.52P（5）0.00531.00002.12如果每次抽5個(gè)單株，抽n=400次，則理論上我們能夠得到y(tǒng)=2的次數(shù)應(yīng)為：理論次數(shù)=400╳P（2）=400╳0.3364=134.56（次）對于任意y，其理論次數(shù)為：理論次數(shù)=nP(y)。

第19頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三三、二項(xiàng)式分布的形狀和參數(shù)

對于一個(gè)二項(xiàng)式總體，如果p=q，二項(xiàng)式分布呈對稱形狀，如果pq，二項(xiàng)式分布則表現(xiàn)偏斜形狀。但如果n時(shí)，即使pq，二項(xiàng)式總體分布的情況也趨于對稱形狀，所以二項(xiàng)分布的形狀是由n和p兩個(gè)參數(shù)決定的。二項(xiàng)總體的平均數(shù)、方差2和標(biāo)準(zhǔn)差的公式為：=np，2=npq，。例如上述棉田受害調(diào)查結(jié)果，n=5,p=0.35，所以可求得總體參數(shù)為：=np=5×0.35=1.75株，株。

第20頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三第21頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三第三節(jié)

普松分布

普松分布的平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差為：=m,2=m,，這一分布包括一個(gè)參數(shù)m（m=np），而且其分布的的形狀與m的大小有關(guān)，m值越小分布越偏斜，當(dāng)m值適當(dāng)大時(shí)，則分布趨于對稱形狀。普松分布的概率函數(shù)為:

第四章第22頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三第四節(jié)

正態(tài)分布

★

正態(tài)分布的研究意義★二項(xiàng)式分布的極限——正態(tài)分布★正態(tài)分布曲線的特性★計(jì)算正態(tài)分布曲線區(qū)間面積或概率的方法

第四章第23頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三一、正態(tài)分布的研究意義

⑴自然界許多現(xiàn)象趨于正態(tài)分布⑵許多其他非正態(tài)分布的資料在一定條件下也接近正態(tài)分布⑶絕少部分資料的抽樣分布，當(dāng)n適當(dāng)大時(shí)，接近正態(tài)分布

第24頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三二、二項(xiàng)式分布的極限——正態(tài)分布

因?yàn)檎龖B(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限，所以可以由二項(xiàng)分布導(dǎo)出正態(tài)分布。對于二項(xiàng)分布，當(dāng)p=q=0.5時(shí)，無論n值大小，二項(xiàng)分布的多邊形都必定是對稱的；如pq，而n又很大時(shí)，這一多邊仍然是對稱的。當(dāng)n時(shí)，則可進(jìn)一步推導(dǎo)出一個(gè)表示觀察值y出現(xiàn)的概率函數(shù)方程：

第25頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三三、正態(tài)分布曲線的特性

⒈它是一條對稱分布的曲線，且對稱軸為y=，即以平均數(shù)為對稱軸。⒉隨著和的不同，呈現(xiàn)一系列曲線而并不是一條曲線。確定它在y軸上的位置，確定它的變異度。不同和的總體具有不同的曲線位置和變異度，所以任何一個(gè)正態(tài)分布曲線，必須在確定了和后，才能確定曲線位置和形狀。⒊從原點(diǎn)所豎立的縱軸是FN(y)的最大值y0，，所以正態(tài)分布曲線的算術(shù)平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)三者是相等的，都合于點(diǎn)上。且多數(shù)次數(shù)分布在平均數(shù)附近。

第四章第26頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三⒋正態(tài)分布曲線在-=1處有拐點(diǎn)，曲線兩尾向左右延伸，永不接觸，所以y時(shí)，分布曲線以y軸為漸近線。⒌正態(tài)分布曲線與軸之間的總面積等于1。⒍正態(tài)曲線的任何兩個(gè)y的定值間的面積或概率完全以曲線和而確定。第27頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三下面為幾對常見的區(qū)間與其相對應(yīng)的面積或概率的數(shù)字：

區(qū)間

1

面積或概率=0.682720.954530.99731.9600.9500

2.5760.9900

第28頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三四、計(jì)算正態(tài)分布曲線區(qū)間面積或概率的方法

如果變數(shù)y取值介于a、b之間，且abP(ayb)或者簡寫為P(ayb)

可以通過正態(tài)分布曲線下區(qū)間的面積來表示其概率。我們知道求曲線下區(qū)間的面積，數(shù)學(xué)上通常用定積分來表示第29頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三先將y轉(zhuǎn)換為u

，轉(zhuǎn)化的公式為：例題假定y是一隨機(jī)變數(shù)，具有正態(tài)分布，平均數(shù)=30，標(biāo)準(zhǔn)差=5，試計(jì)算小于26，小于40的概率，或者介于26和40之間的概率以及大于40的概率。第30頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

查附表2，當(dāng)=-0.8時(shí)，F(xiàn)N（26）=0.2119，說明這一分布從-到26范圍內(nèi)的變量占全部變量數(shù)的21.19%，或者說y26的概